第4章 4.2.1 对数运算（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦对数运算核心知识，涵盖对数概念、指数式与对数式互化、对数性质及恒等式。通过纳皮尔发明对数的历史背景导入，结合指数方程求解问题，衔接指数函数知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过指数方程无法求解的情境引导学生发现对数必要性，结合例题与跟踪训练发展数学思维，如指对互化、对数求值中强化推理能力，规范符号表达体现数学语言精确性。分层练习助力学生巩固，教师可高效开展教学，提升学生数学素养。

4.2.1 对数运算 第四章　§4.2　对数与对数函数 <<< 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化. 2.理解对数的底数和真数的取值范围. 3.掌握对数的基本性质及对数恒等式. 学习目标 苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源自于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 导 语 一、对数的概念 二、指数式与对数式的互相转化 课时对点练 三、利用对数的定义计算 随堂演练 内容索引 四、对数的性质及对数恒等式 对数的概念 一 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 问题1 1.对数的概念：在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b= ，其中a称为对数的 ，N称为对数的 . 2.两种特殊对数 常用对数：以10为底的对数称为 ，log10N可简写为 .  自然对数：以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为 ，logeN通常简写为 .  logaN 底数 真数 常用对数 lg N 自然对数 ln N 知识梳理 3.对数式与指数式的互化关系： 若a>0且a≠1，则ax=N⇔logaN= . x 知识梳理 (1)因为对数是由指数转化而来，所以底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 注 意 点 <<< 9 　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是 A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 例 1 要使对数式log(t-2)3有意义， 需 解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞). 解析 √ 10 将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围. 延伸探究 由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞). 解 11 关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 反 思 感 悟 12 二 指数式与对数式的互相转化 提示　x=log23；x=log1.112；x=log105. 现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 问题2 将下列指数式与对数式互化： (1)2-2=； 例 2 log2=-2. 解 (2)102=100； log10100=2，即lg 100=2. 解 15 (3)ea=16； loge16=a，即ln 16=a. 解 (4)6=； log64=-. 解 16 (5)log39=2； 32=9. 解 (6)logxy=z(x>0且x≠1，y>0). xz=y. 解 17 指数式与对数式互化的思路 (1)将指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)将对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 反 思 感 悟 18 　将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4； 跟踪训练 1 因为log216=4，所以24=16. 解 (2)lox=6； 因为lox=6，所以()6=x. 解 19 (3)43=64； 因为43=64，所以log464=3. 解 (4)3-3=. 因为3-3=，所以log3=-3. 解 20 利用对数的定义计算 三 (1)求下列各式中x的值： ①log64x=-； 例 3 x=6=(43=4-2=. 解 ②logx8=6； 因为x6=8，x>0，且x≠1， 所以x=(x6==(23==. 解 22 ③lg 100=x； 因为10x=100=102，所以x=2. 解 ④-ln e2=x. 由-ln e2=x，得-x=ln e2， 即e-x=e2. 所以x=-2. 解 23 (2)设a=log310，b=log37，求3a-b的值. 因为a=log310，b=log37， 所以3a=10，3b=7. 则3a-b==. 解 24 对数式中求值的基本方法 (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. (2)利用指数幂的运算性质求解. 反 思 感 悟 25 求下列各式中x的值. (1)log3x=-3； 跟踪训练 2 由题意得x=3-3=. 解 (2)logx49=4； 由x4=49，x>0且x≠1，得x=. 解 26 (3)lg 0.000 01=x； 由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. 解 (4)ln =-x. 由e-x==，得x=-. 解 27 对数的性质及对数恒等式 四 1.对数恒等式：= (a>0且a≠1)；logaab= (a>0且a≠1). 2.对数的性质 (1)loga1= (a>0且a≠1). (2)logaa= (a>0且a≠1). (3)0和负数没有对数. N b 0 1 29 对数恒等式中logaN前系数为1. 注 意 点 <<< 30 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)=0； 例 4 ∵log2(log5x)=0， ∴log5x=20=1，∴x=51=5. 解 31 (2)log3(lg x)=1； ∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. 解 (3)x=. x===. 解 32 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0⇒N=1；logaN=1⇒N=a可频繁使用，应在理解的基础上灵活运用. (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：=N，logaaN=N. 反 思 感 悟 33 (1)若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0，则x+y+z的值为 A.9 B.8 C.7 D.6 跟踪训练 3 ∵log2(log3x)=0，∴log3x=1.∴x=3. 同理y=4，z=2.∴x+y+z=9. 解析 √ 34 (2)设=27，则x=　　.  ∵=27， ∴2x+1=27，解得x=13. 解析 13 35 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)指数式与对数式的互相转化. (3)利用对数的定义计算. (4)对数的性质及对数恒等式. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 A.e0=1与ln 1=0 B.=与log8=- C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7 由指对互化的关系ax=N⇔x=logaN可知A，B，D都正确； C中，log39=2⇔9=32. 解析 √ √ √ 1 2 3 4 2.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是 A.(-∞，5) B.(-3，5) C.(-3，-2)∪(-2，5) D.(-3，+∞) 要使对数log(a+3)(5-a)有意义， 则解得-3<a<5，且a≠-2， 故实数a的取值范围是(-3，-2)∪(-2，5). 解析 √ 1 2 3 4 3.若log2(logx3)=-1，则x的值为 A.3 B. C. D.9 ∵log2(logx3)=-1，∴logx3=2-1=， ∴==3，解得x=9. 解析 √ 1 2 3 4 4.计算：+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　.  +2log31-3lg 10+3ln 1 =3+2×0-3×1+3×0=0. 解析 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACD B A B C BD 4-π 题号 11 12 13 14 15 　 答案 B B -3 A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为log2x=-， 所以x====. (2)因为logx3=-，所以=3， 即x=3-3=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵log189=a，log1854=b， ∴18a=9，18b=54，∴182a-b===. (2)logx27==3×=3×2=6. ∴x6=27，∴x6=33， 又x>0且x≠1，∴x=. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lox=m，所以=x，x2=. 因为loy=m+2， 所以=y，y=. 所以====16. 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的有 A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数称为常用对数 D.以e为底的对数称为自然对数 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，C，D正确，B不正确，只有当a>0且a≠1时，ax=N才能化为对数式. 解析 √ √ √ 2.log3等于 A.4 B.-4 C. D.- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵3-4=，∴log3=-4. 解析 √ 3.方程=的解是 A.x= B.x= C.x= D.x=9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=2-2，所以log3x=-2， 所以x=3-2=. 解析 √ 4.化简-2-lg 0.01+ln e3等于 A.14 B.0 C.1 D.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=4-(33-lg+3=4-32-(-2)+3=0. 解析 √ 5.若loga3=m，loga5=n(a>0且a≠1)，则a2m+n的值是 A.15 B.75 C.45 D.225 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由loga3=m，得am=3， 由loga5=n，得an=5， ∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45. 解析 √ 6.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 A.54=625与log4625=5 B.10-2=0.01与lg 0.01=-2 C.=16与log-416= D.=与log27=- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54=625可化为log5625=4，故A不正确； 10-2=0.01可化为lg 0.01=-2，故B正确； =16可化为lo16=-4，故C不正确； =可化为log27=-，故D正确. 解析 7.ln(lg 10)+=　　　　.  ln(lg 10)+=ln 1+4-π =0+4-π=4-π. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4-π 8.对数式log2(1-3x)中x的取值范围为　　 　　.  由题意可得，1-3x>0，解得x<， 所以x的取值范围为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值. (1)log2x=-； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为log2x=-， 所以x====. 解 (2)logx3=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为logx3=-，所以=3， 即x=3-3=. 解 10.(1)已知log189=a，log1854=b，求182a-b的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵log189=a，log1854=b， ∴18a=9，18b=54，∴182a-b===. 解 (2)已知logx27=，求x的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 logx27==3×=3×2=6. ∴x6=27，∴x6=33， 又x>0且x≠1，∴x=. 解 11.“2a=2b”是“ln a=ln b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2a=2b⇔a=b，ln a=ln b⇔ 所以“2a=2b”是“ln a=ln b”的必要不充分条件. 解析 √ 12.若a>0，=，则loa等于 A.2 B.3 C.4 D.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为=，a>0，所以a==， 所以loa=3. 解析 13.若log(1-x)(1+x)2=1，则x=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log(1-x)(1+x)2=1， 得(1+x)2=1-x， ∴x2+3x=0，∴x=0或x=-3. 又∴x=-3. 解析 -3 14.已知log5(log3(log2 a))=0，则3的值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为log5(log3(log2a))=0，所以log3(log2a)=1，所以log2a=3，解得a=8，所以3=3=(62==()2=82=64. 解析 15.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值为 A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 解析 16.若lox=m，loy=m+2，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lox=m，所以=x，x2=. 因为loy=m+2， 所以=y，y=. 所以====16. 解 第四章　§4.2　对数与对数函数 <<< $