4.4 一次函数的应用 第3课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数应用，核心为借助两个一次函数图象解决问题。通过“小强与爷爷爬山”的距离时间关系情境导入，衔接一次函数基础，搭建从具体情境到图象分析的学习支架。 其亮点是以生活实例（如销售收入与成本、景区追赶）为载体，培养数学眼光观察现实，通过函数表达式推导和交点分析发展推理意识，用模型解决问题强化应用意识。采用探究式教学，帮助学生提升实际问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

第四章　一次函数 4.4 一次函数的应用 第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题 导入新课 王教授和孙子小强经常一起爬山．有一天，小强让爷爷先走，然后追赶爷爷，图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(m)与爬山所用时间(min)的关系(从小强开始爬山时计时)． (1)小强让爷爷先走了多少米？ (2)小强经过多长时间追上了爷爷？ 2 如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2 反应了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象填空： 探究新知 (2) 当销售量为 6 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； (1) 当销售量为 2 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； 2000 3000 6000 5000 销售量 销售收入 销售成本 (3) 当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本； 4 t (4) 当销售量 时， 该公司盈利(收入大于成本)； ＞4 t ＜4 t 销售量 销售收入 销售成本 当销售量 时， 该公司亏损(收入小于成本)； 直线l1与直线l2 的交点 直线l1在直线l2上方的部分 直线l1在直线l2下方的部分 从图象上看 (5) l1 对应的函数表达式是 ， y＝1000x 销售收入 销售成本 l1 的图过原点 (4,4000) y1 = kx 4000 = 4k k = 1000 y = 1000x 关系式设为 y1 = kx 只需要一个点的坐标 l2 对应的函数表达式是 . y＝500x＋2000 l2 的图不过原点 (4,4000) y2 = k2x + b k2 = 500 关系式设为 y2 = kx + b 只需要两个点的坐标 (0,2000) b = 2000 4k2+b = 4000 y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 (6) 当销售量等于 时，该公司盈利（收入减成本）1000元. 销售量 销售收入 销售成本 分析： 利润 = 销售收入 - 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 由于盈利1000 元，则 1000x - (500x＋2000) = 1000 解得 x = 6. 6 l1 对应的一次函数 y＝k1x ＋b1中，k1 和 b1的实际意义各是什么？ l2对应的一次函数 y＝k2x ＋b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ 思考 k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元； k2表示每销售1吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元； y＝1000x y＝500x＋2000 2．在交点 P 的右边 (即当 x > x0)， y1 的图象比 y2 的高 (即y1____y2)； 3．在交点 P 的左边 (即当 x < x0)， y1 的图象比 y2 的低 (即 y1____y2). 1．如图，两直线的交点P (x0，y0)，交点的意义是 当 x＝x0 时，y1 ______y2______y0； ＝ ＝ > < 归纳总结 例1 下图是某景区游览路线示意图. 甲在观景台1 联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图中 l1，l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s （单位：m）与追赶时间 t（单位：min）之间的关系. 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m t/min 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1) 哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系？ t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 解：(1) 当 t = 0 时， 甲到观景台1 的路程为 0 m， 即 s = 0， 故 l1 表示甲到观景台1 的路程 与追赶时间之间的关系. t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m (2) t 从 0 增加到 20 时， l1 上点的纵坐标增加了 1000，l2上点的纵坐标增加了 600， 即 20 min内，甲行走了1000 m，乙行走了 600 m， 所以甲的速度快。 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m (2) 甲和乙哪个人的速度快? t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 (3) 如图，延长 l1，l2，可以看出， 当 t = 30 时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方， 这表明，30 min 时甲尚未追上乙. (3) 30 min 内甲能否追上乙? t/min (4) 到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 t/min 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m (4) 在图中，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于(800+1300=)2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 t/min P 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m (5) 设 l1 与 l2 对应的两个一次函数分别为 s = k1t + b1 与 s = k2t + b2，k1，k2 的 实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少? 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 t/min P (5) k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度. 甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 你能用其他方法解决例3（1）~（5）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”， 求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法二 t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 乙 甲 求出 l1 和 l2 对应的函数表达式， s＝50t，s＝30t＋800，再依据实际意义解决. 方法三 t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 乙 甲 【合作探究】如图所示，已知一次函数 y1 =x + a 和 y2 = -x + b 的图象都经过点 A(-4，0)， 且与 y 轴分别交于 B，C 两点， 求△ABC 的面积. A B C O y x 思考：求面积还需要知道哪些条件？怎么利用两个一次函数的表达式求出 B、C 的坐标？ S△ABC ＝×OA×BC 求出BC 的长 求出 B、C 的坐标 B、C 纵坐标为0 ∵ B，C 两点在 y 轴上， 则 B(0，6)，C(0，-2). y2 = -x + b A B C O y x (-4，0) y1 = x + a ∴ 当 x = 0 时， y1 = 6， y2 = -2. 解：∵一次函数 y1 和 y2 的图象交于点 A， ∴ ×(-4) + a = 0，-×(-4) + b = 0. 解得 a = 6，b = -2. ∴ y1 = x + 6，y2 = -x - 2. ∴ S△ABC ＝×(6 + 2)×4 = 16. 总 结 解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与 x 轴、y 轴交点的坐标. 例2 如图，已知直线 l1 的解析式为 y1 = -x + b，直线 l2的解析式为：y2 = kx + 4，l1 与 x 轴交于点 C，l2 与 x 轴交于点 B，l1 与 l2 交于点 A(-1，2). (1)求 k，b 的值； A B C O l1 l2 y x 解：∵ l1 与 l2 交于点 A(-1，2)， ∴ 2 = 1 + b，2 = -k + 4， 解得 k = 2，b = 1. (2)由(1)得，y1 = -x + 1，y2 = 2x + 4. 当 y2 = 0 时，2x + 4 = 0， 解得 x = -2，则 B(-2，0)， 当 y1 = 0 时，-x + 1 = 0， 解得 x = 1，则 C(1，0). A B C O l1 l2 y x △ABC 的面积：×(2 + 1)×2 = 3. 应用举例 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是________，从点燃到燃尽所用的时间分别是________； (2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； 解：(1)30 cm，25 cm　2 h，2.5 h (2)甲：设y＝k1x＋b1.将(0，30)，(2，0)代入y＝k1x＋b1中可得k1＝-15，b1＝30，所以y＝-15x＋30. 乙：设y＝k2x＋b2.把(0，25)，(2.5，0)代入y＝k2x＋b2中可得k2＝-10，b2＝25， 所以y＝-10x＋25； (3)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ (3)令-15x＋30＝-10x＋25，解得x＝1. ∴燃烧1 h时，甲、乙两根蜡烛的高度相等；在0≤x<1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；在<x<2.5时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低. 课堂小结 两个一次函数的应用 方案选择问题 实际生活中的问题 随堂练习 1．如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中离开甲港的距离随时间变化的图象，根据图象，下列结论错误的是（ ） A．轮船的速度为20 km/h B．轮船比快艇先出发2 h C．快艇的速度为40 km/h D．快艇不能赶上轮船 D 2．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y (元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③ D 3. 如图，l1，l2分别表示某工厂甲、乙两车间的产量y(t)与所用时间x(天)之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)乙车间生产200t时，甲车间生产了 t； 400　 (2)甲车间每天生产 t，乙车间每天生产 t； 10　 20　 (3)乙车间从开始生产到第几天结束时，两车间的总 产量相同？. 解：乙车间从开始生产到第20天结束时， 两车间的总产量相同。 4. 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程中路程y(km)与时间x(h)的函数图象.甲、乙两地间的距离是80km.请你根据图象回答下面的问题： 解：(1)由图可以看出： 骑自行车者出发较早，早3h； 骑摩托车者到达乙地较早，早3h. (1)谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地较早？ 早到多少时间？ (2)两人在途中行驶的速度分别是多少？ 解：(2)骑自行车者的速度是80÷8＝10(km/h)； 骑摩托车者的速度是80÷2＝40(km/h)。 (3)请你分别求出自行车和摩托车行驶过程中y与x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)。120. 解：(3)自行车行驶过程中的 函数表达式为y＝10x， 摩托车行驶过程中的函数表达式为y＝40x－120. 5．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服药后． (1)服药后____h，血液中含药量最高，达每毫升____μg，接着逐步降低； (2)服药后5 h，血液中含药量为每毫升____μg； 2 6 3 (3)当x≤2时，y与x之间的函数关系式是___________； (4)当x≥2时，y与x之间的函数关系式是___________； y＝3x(x≤2) y＝－x＋8 解：由y＝3x得，当y＝3时，x＝1. 由y＝－x＋8得，当y＝3时，x＝5， 有效时间为5－1＝4(h). 答：这个有效时间范围是4 h． (5)如果每毫升血液中含药量为3 μg及以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？ $