25.2.2公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及应用，通过复习配方法解方程，引导学生探究一般形式方程的解法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以合作探究推导求根公式，培养推理能力，通过表格对比判别式与根的情况发展抽象能力，典例含参数方程根的判断强化应用意识。总结步骤清晰，帮助学生形成系统方法，教师可利用分层练习提升教学效率。

25.2.2 公式法 25.2 一元二次方程的解法 学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 导入新课 复习引入 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 讲授新课 求根公式的推导 一 合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 ± （2）b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . （3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 一元二次方程根的判别式 二 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 典例精析 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； 解：（1）a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ= b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0， a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ= b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 （1）3x2+x－1=0； （2）2x2+6=3x; 不解方程，判断下列方程的根的情况． 练一练 例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 解：据题意得： 典例精析 即： 1.若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，求k的取值范围. 2.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，求k的取值范围. 3.若关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等实数根，求k的取值范围. 4.若关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实数根，求k的取值范围. 练一练 我们知道，当b2-4ac ≥0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根，可以写成： 注意 用公式法解一元二次方程的前提是: 这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 总结归纳 用公式法解一元二次方程的步骤： 一“化”： 将方程化为一般形式； 二“定”： 确定a、b、c的值； 三“算”： 四“求”： 把a,b,c及b2-4ac的值，代入求根公式，即可求出方程的根. 注意： 总结归纳 例3 用公式法解下列方程： 解：（1）∵a=1,b=-4,c=-7， 典例精析 解：（2） 例3 用公式法解下列方程： 典例精析 解：（3）方程化为： 典例精析 例3 用公式法解下列方程： 解：（4）方程化为： 典例精析 例3 用公式法解下列方程： 用公式法解方程： 练一练 1.用公式法解方程 ，确定a，b，c的值正确的是 （ ） 2.一元二次方程 ，的根是 （ ） 当堂练习 3.若 的值互为相反数，则x的值是 （ ） 4.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （ ） 当堂练习 5.解下列方程 ： （6）（x - 2) (1 - 3x) = 6. 当堂练习 6.求证：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. 7.已知关于x的一元二次方程 . （1）若该方程的一个根为-2，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论x取何值，该方程都有两个不相等的实数根. 8.关于x的一元二次方程 . （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值. 当堂练习 课堂小结 课本p12页，练习：第1题 课后作业 $