26.4 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的抛物线形实际问题，通过生活中的拱桥、隧道等实例导入，知识回顾环节复习二次函数图像、解析式形式，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于结合桥梁通行、足球射门等实例，培养学生模型意识与应用意识，课堂小结归纳“审设列解验答”步骤发展数学思维，助力学生提升问题解决能力，教师使用可高效开展实际应用教学。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 桥梁（隧道）问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 其他抛物线形问题 8. 对接中考 1. 会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. 2.建立恰当的直角坐标系利用二次函数模型将实际问题转化为数学问题. 学习目标 知识回顾 1. 函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______， 对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 2. 二次函数解析式的形式有： ①一般式：____________， ②顶点式：_____________， ③交点式：________________. 3. (1) 如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________， 也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为______________. (2) 由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长为______. y轴 ＞0 ＜0 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) y=ax2+2 y=a(x+2)(x-2) 4 抛物线 (0,0) x y -2 O 2 A B 2 新课导入 二次函数在生活中应用广泛，除了之前的最大值（或最小值）问题，我们再来看其他一些应用二次函数来解决的实际问题. 新课讲解 知识点1 桥梁（隧道）问题 探究 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m. 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题. 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系（如图）. 设这条抛物线表示的二次函数为 y=ax2. 由抛物线经过点 (5,-4)，可得 -4=a×52. 解得 a= 因此，这条抛物线对应的二次函数为 y=x2. 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为-3. 令 -3，解得 ， 所以这时水面的宽度为 8.7（m ）. y/m x/m 新课讲解 例 1. 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法一 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2m， ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当x=2时，y=﹣x2=﹣. ∵﹣> -1，∴ 这艘船能从这座拱桥下通过. 方法二 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2 m， ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当﹣x2=﹣1时，解得x1=，x2=﹣. ∵ x1-x2=5>4，∴这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 新课讲解 例 2. 如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1) 求抛物线的函数解析式. (2) 该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 解：(1) 由题意，得抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的函数解析式为 ， 将点的坐标代入，得，解得 ， 抛物线的函数解析式为 . (2) 能安全通过.理由如下： 如图，由题意，得 . 将代入 ，得 . ， 能安全通过． 新课讲解 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高+车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙），看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小）. 归纳 新课讲解 练一练 1. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽 m，顶部C离地面的高度为m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面m，装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. x y O 解：如图，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. ∵，∴ ∵，∴. 设抛物线的解析式为 ∵抛物线过点，∴ ， ∴抛物线的解析式为 当1.2时， ∴汽车能顺利经过大门. 新课讲解 练一练 2. 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m， 若水位上升3 m， 水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. (1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2) 若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从 警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：(1) 以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设所求抛物线的解析式为y＝ax2， ∵AB＝20 m，CD＝10 m．水位上升3 m，水面就会由AB到达CD，∴D(5，m)，B(10，m－3)． 由抛物线经过点D和点B，可得 解得 ∴抛物线的解析式为. 新课讲解 练一练 2. 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m， 若水位上升3 m， 水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. (1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2) 若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从 警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：(2) 由(1)易知CD距拱顶的距离为1 m，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为(h)． 因此，从警戒线开始，再持续5 h就能到达拱桥的拱顶． 新课讲解 知识点2 其他抛物线形问题 例 3. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.棚顶的竖直高度单位： 与距离停车棚支柱的水平距离单位：近似满足函数关系 ，其图象如图2所示，点 在图象上.若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高 的矩形，则可判定该货车___完全停到车棚内. （填“能”或“不能”） 能 解：，， . 在中， 当 时， ， 可判定该货车能完全停到车棚内. 新课讲解 例 (2) 设小明带球向正后方移动 ,则移动后的抛物线的解析式为 . 把代入，得 , 解得（舍去）, , 当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点 正上方 处. 4. 一次足球训练中，小明从球门正前方的 处射门，球射向球门的路线是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高为，现以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. (2) 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方 处? 解：(1) 由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 . 把点的坐标代入，得，解得 ， 抛物线的解析式为 . 当时，，， 球不能射进球门. 新课讲解 例 4. 一次足球训练中，小明从球门正前方的 处射门，球射向球门的路线是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高为，现以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式，并通过计算判断球能否射进球门. (2) 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方 处? . 解：(2) 设小明带球向正后方移动 ，则移动后的抛物线的解析式为 . 把代入，得 ， 解得（舍去）， , 当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点 正上方 处. 新课讲解 练一练 1. 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y=﹣0.2x2+3.85 的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l . 解：在y=-0.2x2+3.85中， 令y=3.05，则-0.2x2+3.85=3.05, 解得x1=2，x2=-2(舍去). 所以l=3.2+2=5.2 (m). 答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2 m. 新课讲解 练一练 2. 某游乐园要建造一个直径为 的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心 处达到最高，高度为（示意图如下），以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.若要在喷水池中心设计一个装饰物 ，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计的高度应为___ . 解：由题意，知题图中右边喷出的水柱所形成的 抛物线的顶点坐标为，且过点， 则设抛物线的解析式为 ， 将点的坐标代入，得，则 ， 则抛物线的解析式为， 当时， . 5 课堂小结 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 二次函数模型 抛物线形问题 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 当堂小练 1. 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m.当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该男生此次掷实心球的成绩是(　　) A.12m B.10m C.8m D.2m 解：设行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=a(x-4)2+3.6， 将(0，2)代入，得16a+3.6=2, 解得a=-0.1, ∴y=-0.1(x-4)2+3.6. 当y=0时，-0.1(x-4)2+3.6=0, 解得x1=10，x2=-2(不合题意,舍去), ∴点D的坐标为(10，0)，∴OD的长为10， ∴该男生此次掷实心球的成绩是10 m. x y 3.6 4 D O 2 B 当堂小练 2. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A A.此抛物线的解析式是 y=-x2 +3.5 B.篮圈中心的坐标是 (4，3.05) C.此抛物线的顶点坐标是 (3.5，0) D.篮球出手时离地面的高度是 2 m 解：选项A中，∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， ∴可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入得  3.05=a×1.52+3.5，∴a=-0.2， ∴y=-0.2x2+3.5，故本选项正确； 选项B中，由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故本选项错误； 选项C中，由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误； 选项D中，设这次跳投时，球出手处离地面h m， ∵由选项A可知y=-0.2x2+3.5， ∴当x=-2.5时，h=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25． ∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误． 当堂小练 3. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m. (1)当a=时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值. (0，1) 1.55m 5m 解：(1) ① 当a=时，y=(x-4)2+h， 将点P(0，1)的坐标代入， 得×16+h=1，解得h= . ② 把x=5代入y=(x-4)2+， 得y=×(5-4)2+=1.625， ∵1.625＞1.55，∴此球能过网. (2) 由题意得 ∴ 当堂小练 4. 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 AB时，宽为 20 m，若水位上升 3 m，水面就会达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m. (1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2) 若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：(答案不唯一) (1) 建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求抛物线的解析式为 y=ax2，点D的坐标为 D(5，b)，则B(10，b-3)， 把D，B的坐标分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为y= - x2. (2) ∵b= -1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1 m. ∵ =5，∴再持续5小时到达拱桥的拱顶． 当堂小练 5. 公园要建造一个如图①的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为， 恰在水面中心，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与 水平距离为时，达到距水面最大高度 (不计其他因素)，水池的半径至少为____ ，才能使喷出的水流不致落到池外. 2.5 解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点 ， 设该抛物线的解析式为， 则 ，解得， 该抛物线的解析式为， 当 时，， 解得， （舍去）， 水池的半径至少为 . 当堂小练 6. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为 轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 ，池底最深处距离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点 ， 设池底所在抛物线的解析式为， 把点 的坐标代入解析式可得，解得， . 当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即时， 易知 ， ， 此时最深处到水面的距离为 当堂小练 7. 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 ，主塔高 ，主缆可视为抛物线，主缆垂度为，主缆最低处距离桥面 ，桥面距离海平面约 . 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式.#1 解：(答案不唯一)建立平面直角坐标系，如图所示. 则抛物线顶点坐标为，,， 即 ， 设该抛物线的解析式为 ， 将的坐标代入 . 得，解得 ， 该抛物线的解析式为 . 对接中考 解：当t=1 时，h=30-5=25，故①正确. h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45. ∵ -5<0，∴当t=3 时，h 有最大值，最大值为45，故②错误. ∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t=3 ， ∴当3 ≤ t ≤ 6 时，高度h 随着时间t 的增大而减小，故③正确. 综上，正确的个数是2. 1. 从地面竖直向上抛出一小球，小球高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的关系式是h=30t-5t2(0 ≤ t ≤ 6).有下列 结论： ①小球运动时间是1 s时，高度为25 m； ②小球运动中高度可以是50 m； ③当3 ≤ t ≤ 6 时，高度h随着时间t的增大而减小. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 对接中考 2. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3 均呈抛物线形，水平横梁AC=16 m，L1 的最高点B到AC的距离BO=4 m，L2，L3 关于BO所在直线对称.MN，MP，NQ为框架， 点M，N在L1 上， 点P，Q分别在L2，L3 上， MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以O为原点，以AC所在直线为x 轴，以BO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1 的函数解析式； (2)已知抛物线L3 的函数解析式为，NQ m，求MN的长. 解：(1) ∵BO=4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4). 设抛物线L1的函数解析式为y=ax2+4. ∵AC=16 m， ∴结合抛物线的对称性得A(－8,0)，C(8,0). 将C(8,0)的坐标代入y=ax2+4，得0=64a+4， 解得，∴ . (2) 由(1)得抛物线L1的函数解析式为y=－116x2+4. 设N(x, ),∵NQ⊥AC,∴Q(x, ), ∴ －[]= . 整理,得x2－12x+36=0，解得x1=x2=6. ∵点M,N在L1上，MN∥AC, ∴MN=2×6=12(m).∴MN的长为12 m. 1. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线形，桥塔 与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为 轴，以桥塔所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.#1已知：缆索 所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称，桥塔与桥塔 之间的距离，，缆索的最低点到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）.#1.1 (1) 求缆索 所在抛物线的函数解析式； 拓展与延伸 解：(1) 由题易得顶点 的坐标为，点的坐标为 ， 设缆索 所在抛物线的函数解析式为 ， 把的坐标代入，得，解得 ， 缆索所在抛物线的函数解析式为 1. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线形，桥塔 与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为 轴，以桥塔所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.#1已知：缆索 所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称，桥塔与桥塔 之间的距离，，缆索的最低点到 的距离 （桥塔的粗细忽略不计）.#1.1 (1) 求缆索 所在抛物线的函数解析式； (2) 点在缆索上，，且， ，求 的长. 拓展与延伸 解：(2) 缆索所在抛物线与缆索 所在抛物线关于 轴对称， 且缆索 所在抛物线的函数解析式为 ， 缆索所在抛物线的函数解析式为 . ， 把代入，得 ， 解得，或 . ，的长为 . 拓展与延伸 2. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的 . 每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形 . 当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水 . 如图 ，点 A 和点 B 是一个柱形喷泉装置 OB 上的两个喷头， A 喷头喷出的水流的落地点为 C. 以 O为原点，以 OC 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(柱形喷泉装置的粗细忽略不计). 已知：OA=1 m，OB=2 m，OC=3 m，从 A 喷头和 B 喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式分别是 和． (1)求 A 喷头喷出的水流的最大高度 . 解：(1) 根据题意，得A(0，1)，C(3，0)，将点A，C的坐标代入 ，得解得 ∴A喷头喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 ． ∵ ，∴当x=1 时，y 取得最大值， ∴A喷头喷出的水流的最大高度为m． 拓展与延伸 2. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的 . 每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形 . 当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水 . 如图 ，点 A 和点 B 是一个柱形喷泉装置 OB 上的两个喷头， A 喷头喷出的水流的落地点为 C. 以 O为原点，以 OC 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(柱形喷泉装置的粗细忽略不计). 已知：OA=1 m，OB=2 m，OC=3 m，从 A 喷头和 B 喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式分别是 和． (2)一名游人站在点 D 处， OD=4 m. 当围观游人喊声较大时， B 喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点 D 处？ 解：(2) ∵OB=2 m，∴易得c′=2. 由(1)知， ∴ B喷头喷出的水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 ，令 x=4，则 . ∵ ， ∴ B 喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． $