27.2 反比例函数的图象和性质同步讲义2026-2027学年数学九年级上册（人教版）

本讲义聚焦初中数学反比例函数的图象和性质核心知识点，系统梳理从图象绘制（描点法步骤）、对称性（轴对称与中心对称）、性质（象限分布与增减性），到k的几何意义、点的坐标特征、待定系数法求解析式及与一次函数交点问题的递进式学习支架。 资料以题型分类为特色，每个题型配套“解题知识”模块助力抽象概念（数学眼光），典例与变式题强化推理运算（数学思维），如气体密度问题体现性质应用、一次函数交点题培养综合分析，课中辅助教师系统授课，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺。

第27章 27.2 反比例函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 反比例函数的图象 题型2 反比例函数图象的对称性 题型3 反比例函数的性质 题型4 反比例函数系数k的几何意义 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 题型6 待定系数法求反比例函数解析式 题型7 反比例函数与一次函数的交点问题 考 点 演 练 题型1 反比例函数的图象 解｜题｜知｜识 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【典例1】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象位于第二、四象限， ∴k＜0， ∵x2﹣x+k＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×k＝1﹣4k， ∵k＜0， ∴1﹣4k＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式1】若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵ab＞0，∴分两种情况： （1）当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合； （2）当a＜0，b＜0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项． 故选：C． 【变式2】一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知， 由A选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＞0； 由A选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以A选项不符合题意； 由B选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由B选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以B选项不符合题意； 由C选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＜0； 由C选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以C选项不符合题意； 由D选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由D选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以D选项符合题意； 故选：D． 【变式3】函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 … y … ﹣0.5 ﹣1 ﹣2 ﹣5 7 4 3 2.5 … （1）函数自变量x的取值范围为 x≠1　 ． （2）根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）　 ． 【答案】（1）x≠1；（2）m＝1，k＝6；图象见详解；（3）当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 【解答】解：（1）∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为：x≠1； （2）把（﹣1，﹣2），（0，﹣5）代入函数得： ， 解得m＝1，k＝6； 画出该函数图象如图所示： （3）由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）， 故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 题型2 反比例函数图象的对称性 解｜题｜知｜识 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【典例1】如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 【答案】A 【解答】解：由反比例函数的对称性，得 OA＝OC，OB＝OD， ABCD是平行四边形， 故选：A． 【变式1】若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 【变式2】反比例函数的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（　　） A．﹣4 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：因为反比例函数的图象是双曲线，且关于坐标原点成中心对称， 又点A（2，﹣4）在反比例函数的图象上， 所以点A关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象上． 又点A关于坐标原点的对称点的坐标为（﹣2，4）， 即x＝﹣2时，y＝4． 故选：D． 【变式3】已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个交点坐标是 　（1，2）　 ． 【答案】（1，2） 【解答】解：∵点A与另一个交点关于原点对称，点A的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 题型3 反比例函数的性质 解｜题｜知｜识 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例1】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．容器内气体的质量（质量m＝ρV）是5kg B．当p＞5kg/m3时，V＞2m3 C．当容器的体积为4m3时，气体的密度为2.5kg/m3 D．当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【解答】解：∵m＝ρV， ∴容器内气体的质量为10kg， 所以A不正确，不符合题意； 当ρ＝5kg/m3时，V＝2m3， 所以当ρ＞5kg/m3时，0m3＜V＜2m3， 所以B不正确，不符合题意； 当V＝4m3时，， 所以当容器的体积4m3，气体的密度是2.5kg/m3， 可知C正确，符合题意； 当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解答】解：反比例函数中，k＝﹣3＜0， A、∵当x＝﹣1时，，∴图象经过点（﹣1，3），正确，不符合题意； B、k＜0，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； C、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； D、∵k＜0，∴当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】下列关于反比例函数，的说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．图象位于第一、第三象限 D．图象位于第二、第四象限 【答案】D 【解答】解：∵a＜0， ∴k＝2a＜0， ∴反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 选项A未指定象限，表述不严谨，选项B、C错误，选项D正确， 故选：D． 【变式3】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】（1）y； （2）作图见详解，当0＜x≤6时，y随x的增大而增大；当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）x1≈2.4，x2≈9.6． 【解答】解：（1）根据题意，当点P在AB上运动时，解析式为y2x（0＜x≤6）； 当点P在BC上运动时，解析式为：y6×（10﹣x）＝30﹣3x（6＜x＜10）， ∴y， （2）图象如图所示，性质如下： 【增减性】：当0＜x≤6时，y随x的增大而增大； 当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． （3）根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：x1≈2.4，x2≈9.6． 题型4 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜知｜识 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【典例1】如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积等于2， ∴， ∵k＞0， ∴k＝4． 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE：OE＝1：2，连接AE，DE，若S△ADE＝2，则k的值为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接AC，BE． ∵AD＝DB， ∴S△ADE＝S△BDE＝2， ∵四边形AOCB是平行四边形， ∴S△AOCS平行四边形AOCB＝S△AEB＝4， ∵OE＝2EC， ∴S△AOES△AOC， 设A（0，b），C（a，t），则B（a，b+t），D（a，），E（a，t）， ∵D，E在反比例函数的图象上， ∴•a•at， 整理得tb， ∴E（a，b）， ∴ba， ∴ab＝8， ∴kab， 故选：D． 【变式2】对于反比例函数y，下列说法正确的个数是（　　） ①函数图象位于第一、三象限； ②函数值y随x的增大而减小 ③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2； ④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：反比例函数y，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②错误， 若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误； P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为（k2+1），故④说法正确； 故选：B． 【变式3】反比例函数在第一象限内的图象如图所示，PA垂直x轴于点A，如果Rt△PAO的面积为4，那么k的值是 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵点P在反比例函数y＝k/x第一象限内的图象上， ∴k＞0， ∵PA垂直x轴于点A，且Rt△PAO的面积为4， ∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△PAO4， ∴|k|＝8， ∵k＞0， ∴k＝8． 故答案为：8． 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例1】在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 【答案】D 【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＞y2， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，如图所示： ∴4﹣k＜0， 解得：k＞4． 故选：D． 【变式1】如果反比例函数（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），那么k的值为（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【答案】A 【解答】解：把点（2，﹣3）代入反比例函数y（k≠0）得﹣3， 所以k＝﹣3×2＝﹣6． 故选：A． 【变式2】已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 【答案】D 【解答】解：由k＝m2+1＞0可知：反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小， ∴x2＜x1＜0，x3＞0， ∴x2＜x1＜x3． 故选：D． 【变式3】已知反比例函数的图象经过点（3，﹣2）． （1）求k的值； （2）判断点（﹣2，3）是否在该函数的图象上． 【答案】（1）k＝﹣6； （2）在． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点（3，﹣2）． ∴k＝3×（﹣2）＝﹣6； （2）∵﹣2×3＝﹣6＝k， ∴点（﹣2，3）在该函数的图象上． 题型6 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜知｜识 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例1】已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝﹣2，那么当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：∵y与x成反比例， ∴设，（k≠0）， ∵当x＝3时，y＝﹣2， ∴， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， ∴当y＝3时，3， ∴x＝﹣2， 故选：B． 【变式1】若点M（m﹣3，4），在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：点M（m﹣3，4），在同一个反比例函数的图象上， 设反比例函数点 解析式为， 则k＝4（m﹣3），， ∴， 解得m＝4， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B在一个反比例函数的图象上，若∠ABC＝60°，且菱形OABC的面积为12，则该反比例函数的表达式为 y　 ． 【答案】y． 【解答】解：作BC⊥x轴于点D，设CD＝a， ∵∠ABC＝60°， ∴∠OCD＝60°， ∴∠CDO＝90°，∠COD＝30°， ∴OC＝2a，OD， ∵菱形OABC的面积为12， ∴12， 解得a2＝2， ∵点B的坐标为（a，3a），点B在函数y的图象上， ∴， 解得k＝﹣3a2＝﹣3218， ∴反比例函数解析式为y． 【变式3】如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝6，反比例函数y（x＞0）的图象与BC，AB分别交于M，N两点，且MB＝2MC． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点P为OA上一点，若CP＝PN，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y； （2）点P的坐标为（2，0）． 【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA＝8，OC＝6， ∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝6， ∵MB＝2MC， ∴CM， ∴M（，6）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象过点M， ∴k16， ∴反比例函数的解析式为y； （2）把x＝8代入y得，y＝2， ∴N（8，2）， ∴AN＝2， 设P（m，0），则OP＝m，PA＝8﹣m， ∵CP＝PN， ∴OC2+OP2＝PA2+AN2，即62+m2＝（8﹣m）2+22， 解得m＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 题型7 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜知｜识 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 【典例1】如图，已知函数y＝2x与反比例函数（x＞0）图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k等于（　　） A．15 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【解答】解：已知函数y＝2x与反比例函数（x＞0）图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B， 函数y＝2x与反比例函数图象交于点A，设A点坐标为（a，2a）， ∵y＝2x的图象向下平移6个单位的直线BC， ∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，当y＝0时，x＝3， ∴C（3，0）， 如图所示，过点A作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点， ∴AE∥BF，∠AEO＝∠BFC＝90°， 根据平移，可得OA∥BC， ∴∠AOE＝∠BCF， ∴Rt△OAE∽Rt△CBF， ∴， ∵A（a，2a），C（3，0）， ∴OE＝a，AE＝2a， ∴，， ∴点B的横坐标为，纵坐标为a，即， ∵点A（a，2a），在反比例函数的图象上， ∴，解得，a＝2， ∴A（2，4）， ∴把点A（2，4）代入反比例函数得，k＝2×4＝8， 故选：C． 【变式1】如图，过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF， ∵过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A、B两点， ∴A与B关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BE⊥AE， ∴OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AEO， ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE， ∴AD∥OE， ∴S△ACE＝S△AOC， ∵AD＝2DC，△ADE的面积为8， ∴S△ACE＝S△AOC＝12， 设点A（m，）， ∵AD＝2DC，DH∥AF， ∴3DH＝AF， ∴D（3m，）， ∵CH∥GD，AG∥DH， ∴△DHC∽△AGD， ∴S△HDCS△ADG， ∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDCk（DH+AF）×FH+S△HDCk2m2m＝12， ∴k＝6， 故选：B． 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点D（2，m），且与x轴交于点B，第二象限内点A在反比例函数的图象上，且以点A为圆心的圆与x，y轴分别相切于点B，C，则一次函数解析式为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵点D（2，m）在反比例函数的图象上， ∴将D（2，m）代入中得：m＝﹣8， ∴D的坐标为D（2，﹣8）， ∵以点A为圆心的圆与x，y轴分别相切于点B，C， ∴四边形ABOC是正方形，AB＝AC， ∵第二象限内点A在反比例函数的图象上， ∴设A（a，﹣a），a＜0， ∴﹣a2＝﹣16，即a＝﹣4， ∴点B的坐标为B（﹣4，0）， ∵一次函数y＝kx+b的图象过D（2，﹣8），且与x轴交于点B， ∴将B（﹣4，0）和D（2，m）代入y＝kx+b中得： ，解得， ∴一次函数解析式为：． 【变式3】如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点D，点D为AB的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C．若OA＝OB＝6．求AC的长． 【答案】． 【解答】解：直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点D，点D为AB的中点， ∵OA＝OB＝6， ∴A（0，6），B（6，0）． ∵点D为AB的中点， ∴点D的坐标为（3，3）． 将D（3，3）代入，得． 解得m＝9． ∴反比例函数的解析式为． ∵过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C， ∴点C的纵坐标为6． 在中，当y＝6时，，解得． ∴． 过 关 验 收 1. 一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．k1k2＜0 B．k1b＞0 C．k2＜0 D．k1＞0 【答案】A 【解答】解：反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质逐项分析判断如下： 由图可知：k1＜0，b＞0，﹣k2＜0， 所以k1＜0，b＞0，k2＞0， 所以k1k2＜0，A正确，符合题意；k1b＜0，B不符合题意；C、D都不符合题意； 故选：A． 2. 如图，是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 【答案】C 【解答】解：读图可知：三个反比例函数y的图象在第二象限；故k1＜0； y，y在第一象限；且y的图象距原点较远，故有：k3＜k2； 综合可得：k2＞k3＞k1． 故选：C． 3. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为 （﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 【答案】A 【解答】解：另一个交点的坐标是（2，1）． 故选：A． 4. 已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y的一个交点是（2，3），则另一个交点是（　﹣2　 ，　﹣3　 ）． 【答案】﹣2；﹣3 【解答】解：正比例函数y＝k1x①与反比例函数②的一个交点是（2，3）， ∴将（2，3）代入①得k1，代入②得k2＝6，即正比例函数yx③，反比例函数y④， ∴x，解之得x＝±2，把x＝﹣2代入③得y＝﹣3． ∴另一个交点是（﹣2，﹣3）． 故答案为：﹣2；﹣3． 5. 已知反比例函数y．下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 6. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点C坐标为 　（，4）　 ． 【答案】（，4）． 【解答】解：由图可知点A的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， 直线OA的解析式为yx， 由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为yx+3， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为（，4）． 故答案为：（，4）． 7. 已知反比例函数与在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，作AG⊥x轴于点G，作BH⊥x轴于点H， ∵平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上， ∴S矩形ADOG＝2，S矩形BDOH＝5， ∴S矩形AGHB＝5﹣2＝3， ∴S矩形AGHB＝AB•AG＝S▱AOCB＝3， 故答案为：3． 8. 如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为　1：5　 ． 【答案】1：5 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E， ∵AB⊥x轴于点B， ∴S△AOB＝S△COE， ∴S△AOD＝S四边形BDCE， 设△BDO的面积为S， ∵CD＝3OD， ∴△BDC的面积为3S，△BOC的面积为4S， ∵BD∥CE， ∴BE＝3OB， ∴△BCE的面积为12S， ∴四边形BDCE的面积为12S+3S＝15S， 即△AOD的面积为15S， ∴△BDC与△ADO的面积比为3：15＝1：5， 故答案为：1：5． 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 【答案】C 【解答】解：通过观察表格数据可知：， 故y与x之间的函数关系式为yx， 故选：C． 10. 已知反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则其图象在　二、四　 象限． 【答案】二、四． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∵k＜0 ∴反比例函数的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 11. 如图，矩形AOBC的面积为16，反比例函数y的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 y　 ． 【答案】y． 【解答】解：过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图， ∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点， ∴S矩形OEPFS矩形OACB16＝4． ∴k＝4， ∴该反比例函数的解析式是y， 故答案为：y． 12. 如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，过G点作GE⊥OA，GF⊥OC，垂足为E、F， ∵G点在双曲线上， ∴S矩形OEGF＝xy＝k， 又∵GB：OG＝1：2， ∴OG：OB＝2：3， ∵D点在矩形的对角线OB上， ∴矩形OEGF∽矩形OABC， ∴， ∵S矩形OABC＝18， ∴S矩形OEGF＝8， ∴k＝8． ∴函数的解析式是：． .故答案为：． 13. 如图所示，已知双曲线y（x＜0）和y（x＞0），直线OA与双曲线y交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y交于点C，S△ABC＝6，，则k＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4 【解答】解：如图，连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F． ∵OA∥BC， ∴S△OBC＝S△ABC＝6， ∵PB：PC＝1：2， ∴S△OPB＝2，S△OPC＝4， ∵S△OBE， ∴S△PBE， ∵△BEP∽△CFP， ∴（）2 ∴S△CFP＝42， ∴S△OCF＝S△OBC﹣S△OPB﹣S△CFP＝6﹣2﹣2＝2， ∴k＝﹣4． 故答案为﹣4． 14. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为：y＝x+1．反比例函数解析式为：y；（2）；（3）﹣2＜x＜0或x＞1． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点， ∴m＝1×2＝n×（﹣1）， ∴n＝﹣2，m＝2， ∴反比例函数解析式为：y， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+1． （2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 27.2 反比例函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 反比例函数的图象 题型2 反比例函数图象的对称性 题型3 反比例函数的性质 题型4 反比例函数系数k的几何意义 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 题型6 待定系数法求反比例函数解析式 题型7 反比例函数与一次函数的交点问题 考 点 演 练 题型1 反比例函数的图象 解｜题｜知｜识 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 【典例1】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】若ab＞0，则函数y＝ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究．下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 … y … ﹣0.5 ﹣1 ﹣2 ﹣5 7 4 3 2.5 … （1）函数自变量x的取值范围为 　 ． （2）根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象． （3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：　 　 ． 题型2 反比例函数图象的对称性 解｜题｜知｜识 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 【典例1】如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 【变式1】若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【变式2】反比例函数的图象经过点A（2，﹣4），则当x＝﹣2时，y的值为（　　） A．﹣4 B． C． D．4 【变式3】已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2）．则它们的另一个交点坐标是 　 　 ． 题型3 反比例函数的性质 解｜题｜知｜识 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例1】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．容器内气体的质量（质量m＝ρV）是5kg B．当p＞5kg/m3时，V＞2m3 C．当容器的体积为4m3时，气体的密度为2.5kg/m3 D．当0m3＜V＜20m3时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【变式1】关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【变式2】下列关于反比例函数，的说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．图象位于第一、第三象限 D．图象位于第二、第四象限 【变式3】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 题型4 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜知｜识 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 【典例1】如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE：OE＝1：2，连接AE，DE，若S△ADE＝2，则k的值为（　　） A．5 B． C．6 D． 【变式2】对于反比例函数y，下列说法正确的个数是（　　） ①函数图象位于第一、三象限； ②函数值y随x的增大而减小 ③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2； ④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】反比例函数在第一象限内的图象如图所示，PA垂直x轴于点A，如果Rt△PAO的面积为4，那么k的值是 　 　 ． 题型5 反比例函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例1】在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 【变式1】如果反比例函数（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），那么k的值为（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【变式2】已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 【变式3】已知反比例函数的图象经过点（3，﹣2）． （1）求k的值； （2）判断点（﹣2，3）是否在该函数的图象上． 题型6 待定系数法求反比例函数解析式 解｜题｜知｜识 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例1】已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝﹣2，那么当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【变式1】若点M（m﹣3，4），在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B在一个反比例函数的图象上，若∠ABC＝60°，且菱形OABC的面积为12，则该反比例函数的表达式为 ． 【变式3】如图，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝6，反比例函数y（x＞0）的图象与BC，AB分别交于M，N两点，且MB＝2MC． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点P为OA上一点，若CP＝PN，求点P的坐标． 题型7 反比例函数与一次函数的交点问题 解｜题｜知｜识 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点． 【典例1】如图，已知函数y＝2x与反比例函数（x＞0）图象交于点A，将y＝2x的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k等于（　　） A．15 B．12 C．8 D．6 【变式1】如图，过原点的直线与反比例函数y（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点D（2，m），且与x轴交于点B，第二象限内点A在反比例函数的图象上，且以点A为圆心的圆与x，y轴分别相切于点B，C，则一次函数解析式为 　 ． 【变式3】如图，直线y＝kx+b（k≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点D，点D为AB的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C．若OA＝OB＝6．求AC的长． 过 关 验 收 1. 一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．k1k2＜0 B．k1b＞0 C．k2＜0 D．k1＞0 2. 如图，是三个反比例函数y，y，y在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 3. 已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为 （﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 4. 已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y的一个交点是（2，3），则另一个交点是（　 　 ，　 　 ）． 5. 已知反比例函数y．下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 6. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．请根据图中信息，则点C坐标为 　 　 ． 7. 已知反比例函数与在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点C在x轴上，则▱ABCO的面积为 　 　 ． 8. 如图，已知点A，点C在反比例函数y（k＞0，x＞0），AB⊥x轴，若CD＝3OD，则△BDC与△ADO的面积比为 　 ． 9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 10. 已知反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则其图象在　 　 象限． 11. 如图，矩形AOBC的面积为16，反比例函数y的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 　 ． 12. 如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线（k＞0）相交于点G，且OG：GB＝2：1，则双曲线解析式为 　 ． 13. 如图所示，已知双曲线y（x＜0）和y（x＞0），直线OA与双曲线y交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y交于点C，S△ABC＝6，，则k＝　 　 ． 14. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $