30.3.1 与正多边形有关的计算 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦正多边形与圆的关系及相关计算，通过生活中正多边形图案（如图30-3-2）导入，激发兴趣并铺垫新知，引导学生从现实情境抽象出数学对象，建立知识脉络。 以问题串驱动探究，从四等分圆得正方形到n等分圆得正n边形，培养推理意识，结合延安宝塔塔基面积计算实例发展应用意识，当堂训练及时反馈，助力学生提升分析能力，为教师提供清晰教学流程与反馈机制。

第1课时　与正多边形有关的计算 　　　　　　　　　　 课题 第1课时　与正多边形有关的计算 授课人 教 学 目 标 　　1.了解正多边形和圆的关系,掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;掌握圆内接正多边形的相关计算及运用. 2.经历正多边形的形成过程,增强分析、解决问题的能力. 3.通过小组探究、交流合作解决问题,体会成功的喜悦,增强学习的自信心. 教学 重点 　　掌握圆内接正多边形的相关计算与运用. 教学 难点 　　掌握圆内接正多边形的相关计算与运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.日常生活中,我们经常能看到正多边形形状的物体,以及利用正多边形构造的美丽图案(图30-3-2).你还能举出一些这样的例子吗? 图30-3-2 　　通过生活中的图案,展现数学之美,同时为学习新知做铺垫,激发学生的学习兴趣. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 与正多边形有关的计算 问题1:怎样把一个圆进行四等分?依次连接各等分点,得到一个什么图形? 解:如图30-3-3,得到一个正方形. 图30-3-3 教师归纳: 正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧,以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形,这个圆就是这个正多边形的内切圆.例如,图30-3-4①中的多边形是☉O的内接正九边形,图②中的多边形是☉O的外切正六边形. 图30-3-4 问题2:将一个圆五等分,依次连接各等分点得到一个五边形,这个五边形一定是正多边形吗?如果是,请你证明这个结论. 师生活动:教师演示作图,并引导学生从正多边形的定义入手来证明,让学生观察、分析,教师指导学生完成证明过程. 　　通过问题串,引导学生一步步思考,带领学生不断提升,让学生充分打开思路.在学生的自我总结中不断规范和提炼知识要点,加深对知识的学习. 活动 二: 探究 与 应用 　　教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程: 证明:如图30-3-5,把☉O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE. 　图30-3-5 ∵, ∴AB=BC=CD=DE=EA,=3, ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在☉O上, ∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,☉O是正五边形ABCDE的外接圆. 问题3:如果将圆n等分,依次连接各等分点得到一个n边形,这个n边形一定是正n边形吗? 师生活动:学生思考,小组内交流、讨论,教师根据学生回答进行总结. 教师重点关注:学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形. 问题4:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角相等的圆内接多边形呢?请说明理由. 师生活动:学生讨论,思考回答,教师进行总结讲解. 教师重点关注:学生能否利用正多边形的定义进行判断;学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等及弦所对的弧相等;学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 图30-3-6 概况新知:把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心,外接圆的半径叫作正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距(图30-3-6). 思考:正n边形的一个内角的度数是多少?外角呢?中心角呢?正多边形的中心角与外角的大小有什么关系? 正n边形的一个内角的度数是,外角是,中心角是,正多边形的中心角与外角相等 图30-3-7 教师提出问题: (1)正n边形的中心角怎么计算? (2)边长a,半径R,边心距r之间有什么关系? (3)正n边形的面积如何计算? 师生活动:学生在教师的引导下,结合图形,得到结论. 教师引导分析: (1)正方形的中心角为=90°;正六边形的中心角为=60°;正n边形的中心角为. (2)边长a,半径R和边心距r之间的关系为2+r2=R2. (3)正n边形的面积为nar. 活动 二: 探究 与 应用 【理解应用】 例1　(1)若正三角形的边长为a,则半径为 a　;  (2)要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片,选用的圆形铁片的半径至少是 a　.  例2　延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其塔基的形状是半径为6 m的正八边形(图30-3-8).求塔基的面积(结果保留小数点后一位). 图30-3-8　　　　　　　　图30-3-9 解:如图30-3-9,连接OA,OB,作AP⊥OB,垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m的正八边形, ∴OA=OB=6,∠AOB==45°. 又△APO为直角三角形,∴∠OAP=∠AOB,∴AP=OP. 在Rt△APO中,由勾股定理,得AP2+OP2=OA2, ∴AP=OA=3. 因此,塔基的面积S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m2). 　　通过相关计算,夯实学生对本节重点的理解,体会生活中的正多边形的美,同时,能利用特殊三角形的性质解答问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.一元钱硬币的直径约为24 mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 (A) A.12 mm B.24 mm C.6 mm D.4 mm 2.圆内接正六边形一边所对的圆周角是 (D) A.30° B.60° C.150° D.30°或150° 3.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍,则该正多边形的边数是 (C) A.4 B.6 C.8 D.12 活动 三: 课堂 总结 反思 4.要用圆形铁片截出边长为4 cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小为　4　cm.  5.完成下表中有关正多边形的计算: 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 120° 2 2 1 6 3 4 90° 90° 2 1 8 4 6 120° 60° 2 2 12 6 　　当堂训练,及时反馈学生的学习效果,进一步巩固学生对所学内容的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,使学生认识到事物之间是普遍联系的,是可以相互转化的,并培养和训练学生综合运用知识解决实际问题的能力,渗透数形结合的思想和方法. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)正多边形的相关概念;(2)正多边形的相关计算. ③[师生互动反思] 从学生课堂发言和表现来看,学生能够主动参与,亲身体验知识的产生和发展过程,学有所获,学有所长. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $