26.2 二次函数的图象和性质 同步讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的图象和性质核心知识点，系统梳理从二次函数y=ax²的图象画法（列表、描点、连线），到y=ax²+bx+c的性质（顶点坐标、对称轴、增减性、最值），再到与系数关系、图象上点的坐标特征、几何变换、解析式求法及三种形式的知识脉络，构建从基础操作到综合应用的学习支架。 资料以8大题型为框架，每个题型配套“解题知识+典例+变式”，通过对比一次函数与二次函数图象（如典例1）培养几何直观（数学眼光），分析图象与系数关系（题型3）发展推理能力（数学思维），运用待定系数法求解析式（题型7）强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习和过关验收查漏补缺，提升综合应用能力。

第26章 26.2 二次函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数图象与系数的关系 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 题型5 二次函数图象与几何变换 题型6 二次函数的最值 题型7 待定系数法求二次函数解析式 题型8 二次函数的三种形式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣c与二次函数y＝ax2+4x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型2 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【变式1】二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【变式2】记min{a，b}表示实数a，b中的较小者，max{a，b}表示实数a，b中的较大者．若方程min{x2，x+2}＝max{x2，﹣x+a}的根有无数个，则a的取值范围为（　　） A．a＜6 B．a＞6 C．a＞0 D．a＜0 【变式3】由下列表格的对应值，并根据二次函数y＝2x2﹣4x﹣7的图象的对称性，由此可以判断方程2x2﹣4x﹣7＝0正数解的分布范围是（　　） x ﹣1.3 ﹣1.2 ﹣1.1 ﹣1 ﹣0.9 y＝2x2﹣4x﹣7 1.58 0.68 ﹣0.18 ﹣1 ﹣1.78 A．3＜x＜3.1 B．3.1＜x＜3.2 C．3.2＜x＜3.3 D．3.3＜x＜3.4 题型3 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤ab．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则a+b＞am2+bm；⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝1；⑥其中正确的有　 　 ． 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【变式1】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 【变式2】已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【变式3】抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 题型5 二次函数图象与几何变换 解｜题｜知｜识 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【典例1】如图，抛物线与抛物线交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【变式1】将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是 （　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 【变式2】把二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【变式3】将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 　 ． 题型6 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【变式1】二次函数y＝x2﹣4x﹣5的最小值为（　　） A．2 B．0 C．﹣5 D．﹣9 【变式2】四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）关于直线x＝1对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点C（xc，yc）在此抛物线上，当﹣1≤xc≤2时，求yc的最大值与最小值的差； （3）若点M（t，y1），N（t+1，y2）都在此抛物线上，且y1＞y2＞0，请直接写出t的取值范围 　 ． 题型7 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，抛物线的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数表达式为 　 ．（写出一个即可） 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　 ． 题型8 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1 【变式1】将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ ． 【变式2】已知二次函数y＝x2﹣6x+8． （1）将解析式化成顶点式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 【变式3】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0． 过 关 验 收 1. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 　 ． 3. 抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 4. 对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（5，4） B．开口向上，顶点坐标（5，4） C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4） 5. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6. 如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是 　 ． 7. 已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 8. 已知抛物线y＝x2+mx+2经过（﹣2，n）和（3，n）两点，则n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．5 D．8 9. 将函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（　　） A．y＝2（x﹣3）2﹣4 B．y＝2（x﹣3）2+4 C．y＝2（x+3）2﹣4 D．y＝2（x+3）2+4 10. 将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝x2 D．y＝x2+1 11. 为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形ABCD区域（如图），若BC＝x米，则下列4个结论：①米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④矩形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12. 二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 13. 如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　 　 ； （3）将该抛物线向上平移　 　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 14. 求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： （1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）； （2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）． 15. 将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 　 ． 16. 把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 26.2 二次函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 二次函数的图象 题型2 二次函数的性质 题型3 二次函数图象与系数的关系 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 题型5 二次函数图象与几何变换 题型6 二次函数的最值 题型7 待定系数法求二次函数解析式 题型8 二次函数的三种形式 考 点 演 练 题型1 二次函数的图象 解｜题｜知｜识 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项A中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项A符合题意； 选项B中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项B不符合题意； 选项C中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项C不符合题意； 选项D中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式1】已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得：二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴b＜0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax﹣c与二次函数y＝ax2+4x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣c与y轴交点坐标为（0，﹣c），二次函数y＝ax2+4x+c与y轴交点坐标为（0，c）， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数y＝ax﹣c的图象得：a＞0，由二次函数y＝ax2+4x+c的图象得：a＜0，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数y＝ax﹣c的图象得：a＜0，由二次函数y＝ax2+4x+c的图象得：a＜0，有可能，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 题型2 二次函数的性质 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【典例1】抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）， 故选：D． 【变式1】二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+2， ∴该函数图象的顶点坐标为（1，2）， 故选：B． 【变式2】记min{a，b}表示实数a，b中的较小者，max{a，b}表示实数a，b中的较大者．若方程min{x2，x+2}＝max{x2，﹣x+a}的根有无数个，则a的取值范围为（　　） A．a＜6 B．a＞6 C．a＞0 D．a＜0 【答案】D 【解答】解：在同一坐标系作出y＝x2，y＝x+2，y＝﹣x+a的图象，如下 ∴观察图象可得a＜0，直线y＝﹣x+a位于x轴下方，与抛物线y＝x2无交点，此时max{x2，﹣x+a}＝x2，与min{x2，x+2}，在﹣1≤x≤2上完全重合，产生无限个根， 当a≥0时，直线上移，与抛物线产生交点，仅产生有限个交点， ∴要使方程有无数个根，a＜0， 故选：D． 【变式3】由下列表格的对应值，并根据二次函数y＝2x2﹣4x﹣7的图象的对称性，由此可以判断方程2x2﹣4x﹣7＝0正数解的分布范围是（　　） x ﹣1.3 ﹣1.2 ﹣1.1 ﹣1 ﹣0.9 y＝2x2﹣4x﹣7 1.58 0.68 ﹣0.18 ﹣1 ﹣1.78 A．3＜x＜3.1 B．3.1＜x＜3.2 C．3.2＜x＜3.3 D．3.3＜x＜3.4 【答案】B 【解答】解：根据表格可得方程2x2﹣4x﹣7＝0的一个解的范围在﹣1.2＜x＜﹣1.1， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点横坐标3.1＜x＜3.2， ∴方程2x2﹣4x﹣7＝0正数解的分布范围是3.1＜x＜3.2， 故选：B． 题型3 二次函数图象与系数的关系 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【典例1】小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤ab．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x， ∴3b＝2a，则ab， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确； ②由图象可得出：当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项②正确； ③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴b﹣b+c＞0， ∴b+2c＞0，故选项③正确； ④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0， 故选项④错误． 故正确的有3个． 故选：B． 【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4 a c，故②正确； ③∵抛物线与x轴的一个交点在﹣1与0之间，对称轴为直线x＝1， ∴另一个交点在2到3之间， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确； ⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， ⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确； 由题意可得：b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②错误； ∵对称轴为直线x＝1， ∴当x＝0和x＝2时的函数值相等，且都小于0， ∴y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确； ⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确， 故选：B． 【变式3】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则a+b＞am2+bm；⑤若，且x1≠x2，则x1+x2＝1；⑥其中正确的有　②③⑥　 ． 【答案】②③⑥． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， ∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线x＝1， ∴a＜0，c＞0，， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①错误； ∵点B的横坐标小于3， ∴点A的横坐标小于0大于﹣1， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②正确； ∵点A的横坐标小于0大于﹣1， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故③正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④错误； ∵， ∴， 令，， ∴y1＝y2， ∴（x1，y1），（x2，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上， ∵x1≠x2， ∴（x1，y1），（x2，y2）关于对称轴直线x＝1对称， ∴， ∴x1+x2＝2，故⑤错误； 设A、B的横坐标分别为p、q，则p＜0，q＞0， ∴p、q为一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，OA＝﹣p，OB＝q， ∴， ∴，故⑥正确． 故答案为：②③⑥． 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 解｜题｜知｜识 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 【典例1】已知（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点，则（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【答案】C 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝（x﹣3）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝（x﹣3）2+2上的点， ∴|1﹣3|＝2＜|﹣2﹣3|＝5＜|﹣4﹣4|＝8． ∴y3＜y2＜y1． 故选：C． 【变式1】如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 【答案】B 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由条件可知点A坐标为（m，m2+c），点C坐标为（n，n2+c）， 所以AM＝m，MO＝m2+c，CN＝n，NO＝n2+c． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 【变式2】已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 【变式3】抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】B 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x1， ∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜1﹣（﹣3）， ∴y1＞y2＞y3． 故选：B． 题型5 二次函数图象与几何变换 解｜题｜知｜识 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【典例1】如图，抛物线与抛物线交于点A（1，﹣2），以下结论： ①无论x取何值，y2总是负数； ②抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2． 下列说法正确的是（　　） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【解答】解：∵， ∴y2的最大值为﹣1， ∴无论x取何值，y2总是负数，故①正确； ∵过A（1，﹣2）， ∴﹣2＝a（1+1）2+2． ∴a＝﹣1， ∴， ∴l1的顶点为（﹣1，2）， ∵， ∴l2顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； 由题意得，， 又∵﹣6＜0， ∴当﹣3＜x＜1时，y1﹣y2的值随着x的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，直线y＝n过l2的顶点或点A， 此时n＝﹣1或n＝﹣2，故④错误． 故选：C． 【变式1】将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是 （　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 【答案】A 【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5． 故选：A． 【变式2】把二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 【答案】A 【解答】解：把二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为：y＝（x+2）2+1． 故选：A． 【变式3】将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 y＝﹣2（x+2）2+5　 ． 【答案】y＝﹣2（x+2）2+5． 【解答】解：∵向左平移3个单位，则解析式中的x加3，向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2， ∴平移之后的解析式为：y＝﹣2（x+3﹣1）2+3+2＝﹣2（x+2）2+5． 故答案为：y＝﹣2（x+2）2+5． 题型6 二次函数的最值 解｜题｜知｜识 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【典例1】已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【答案】D 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【变式1】二次函数y＝x2﹣4x﹣5的最小值为（　　） A．2 B．0 C．﹣5 D．﹣9 【答案】D 【解答】解：y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣9＝（x﹣2）2﹣9， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣9． 故选：D． 【变式2】四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2tcm，CN＝tcm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误； ③当点M在AB上时， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时． 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：C． 【变式3】已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）关于直线x＝1对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点C（xc，yc）在此抛物线上，当﹣1≤xc≤2时，求yc的最大值与最小值的差； （3）若点M（t，y1），N（t+1，y2）都在此抛物线上，且y1＞y2＞0，请直接写出t的取值范围t＜0或　 ． 【答案】（1）a＝1，顶点坐标为（1，0）； （2）4； （3）t＜0或． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）关于直线x＝1对称， ∴， 解得：a＝1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 即顶点坐标为（1，0）； （2）当xc＝﹣1时，， 当xc＝1时，， 当xc＝2时，， ∴当﹣1≤xc≤2时，yc的最大值为4，最小值0， 最大值与最小值的差为4﹣0＝4； （3）∵a＝1＞0，顶点坐标为（1，0）， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，当x＝1时，y＝0，点的横坐标越接近对称轴纵坐标越小， 当M（t，y1），N（t+1，y2）在对称轴异侧时，t＜1，t+1＞1， ∴t＜1，t＞0， 即0＜t＜1， ∵点M（t，y1），N（t+1，y2）都在此抛物线上，且y1＞y2＞0， ∴1﹣t＞t+1﹣1， 即， ∴， 当M（t，y1），N（t+1，y2）在对称轴同侧时， ∵点M（t，y1），N（t+1，y2）都在此抛物线上，且y1＞y2＞0， ∴t+1＜1， 解得t＜0， 综上所述，t的取值范围是t＜0或， 故答案为：t＜0或． 题型7 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜知｜识 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴a， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y（x+2）2+1． 故选：C． 【变式1】如图所示，抛物线的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，∵抛物线与x轴的交点分别为（﹣2，0），（4，0）， ∴可设抛物线为y＝a（x+2）（x﹣4）． 又∵抛物线过（0，4）， ∴a×2×（﹣4）＝4． ∴a． ∴y（x+2）（x﹣4），即yx2+x+4． 故选：D． 【变式2】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，则二次函数表达式为 y＝﹣2x2+3（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）． 【解答】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：y＝﹣2x2+3（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣2x2+3（答案不唯一）． 【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 y＝x2﹣4x+3　 ． 【答案】y＝x2﹣4x+3 【解答】解：根据题意得， 解得． ∴二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3． 题型8 二次函数的三种形式 解｜题｜知｜识 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1 【答案】A 【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 故选：A． 【变式1】将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ y＝（x﹣1）2+4　 ． 【答案】y＝（x﹣1）2+4． 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4 ＝（x﹣1）2+4， 故答案为：（x﹣1）2+4． 【变式2】已知二次函数y＝x2﹣6x+8． （1）将解析式化成顶点式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1； （2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）； （3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小． 【变式3】抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6． （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x取何值时，y随x的增大而减小？ （3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x＝2； （2）∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小； （3）令y＝0，即﹣2x2+8x﹣6＝0，解得x＝1或3，抛物线开口向下， ∴当x＝1或x＝3时，y＝0； 当1＜x＜3时，y＞0； 当x＜1或x＞3时，y＜0． 过 关 验 收 1. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＝0，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项A错误，不符合题意； C、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＝0，故选项A错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 m≥﹣2　 ． 【答案】m≥﹣2． 【解答】解：方程ax2+bx+c+m＝0有实数根，相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m有交点， 又图象最低点y＝﹣2， ∴m≥﹣2， 故答案为：m≥﹣2． 3. 抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【答案】B 【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2顶点坐标为（1，﹣2）． 故选：B． 4. 对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向下，顶点坐标（5，4） B．开口向上，顶点坐标（5，4） C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4） D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4） 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4， ∴抛物线的开口方向向下， 顶点坐标为（﹣5，4）． 故选：C． 5. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＞0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； 当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c，所以②不正确； 当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，y有最大值a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， ∴a+b＞m（am+b），所以④正确． 故选：C． 6. 如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是a＜1　 ． 【答案】a＜1． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下， ∴a﹣1＜0， 解得：a＜1． 故答案为：a＜1． 7. 已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x＝﹣2，且开口向下，x＝﹣2时取得最大值． ∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1． ∴y3＜y1＜y2． 故选：C． 8. 已知抛物线y＝x2+mx+2经过（﹣2，n）和（3，n）两点，则n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．5 D．8 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为抛物线y＝x2+mx+2，经过（﹣2，n）和（3，n），两点纵坐标相等， 所以点（﹣2，n）和（3，n）关于抛物线的对称轴对称， 则， 解得m＝﹣1， 所以抛物线为y＝x2﹣x+2， 将点（﹣2，n）代入y＝x2﹣x+2得， n＝（﹣2）2﹣（﹣2）+2＝8． 故选：D． 9. 将函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（　　） A．y＝2（x﹣3）2﹣4 B．y＝2（x﹣3）2+4 C．y＝2（x+3）2﹣4 D．y＝2（x+3）2+4 【答案】B 【解答】解：把抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝2（x﹣3）2+4， 故选：B． 10. 将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝x2 D．y＝x2+1 【答案】C 【解答】解：根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”可知： 将二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的解析式为y＝（x﹣1+1）2+2﹣2＝x2． 故选：C． 11. 为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形ABCD区域（如图），若BC＝x米，则下列4个结论：①米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④矩形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：设AE＝am，BC＝xm，且AH＝DH＝EG＝GF， 由条件可知S长方形AEGH＝AE•EG，S长方形GHDF＝DF•GF，S长方形EFCB＝BC•EB， ∴ m， ∴， ∴ m． 根据分析得AE＝HG＝DF＝EB+FC＝am，EG+GF＝BC＝xm， ∴BE＝CF m，EG＝GF m， ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴AE+HG+DF+EF+BC+CF+BC＝4a+2x＝80， 解得， ∴ m， ∴米． 所以①错误，不符合题意； 根据题意，设AE＝am，由①得EB＝CF m，EG＝FG m， EB＝CF，EG＝FG m， ∵． ∵4a+2x＝80， ∴， ∴CF（10x）m， ∴BC≠2CF． 所以②不正确，不符合题意； 设AE＝am，由①的论证结果可知 m， ∴AE＝2BE， 所以③正确，符合题意； 根据②可知BC＝xm，AE＝am， ∴AB（20）＝（30）m， ∴长方形ABCD的面积是， 由条件可知， ∴（平方米）， 所以结论④正确，符合题意． 正确的有2个． 故选：B． 12. 二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 13. 如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　﹣4≤y＜12　 ； （3）将该抛物线向上平移　3或4　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4． 将（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，得，a×（1+1）2﹣4＝0， 解得a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4． （2）当x＝﹣5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴y的最小值为﹣4， ∴当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜12 故答案为：﹣4≤y＜12； （3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得y＝（x+1）2， ∴与x轴只有一个交点即（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴与y轴的有一个交点即（0，1）， 符合题意； 当与原点相交时，y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，向上平移3个单位长度， 函数解析式为：y＝x2+2x， 当y＝0时，x2+2x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， 所得交点为（﹣2，0），（0，0），符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 14. 求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： （1）抛物线y＝ax2﹣1过点（1，2）； （2）抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1）． 【答案】（1）y＝3x2﹣1； （2）y＝﹣x2+1． 【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝2，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣1； （2）因为抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反， 所以a＝﹣1， 而抛物线y＝ax2+c的顶点为（0，1），则c＝1， 所以抛物线解析式为y＝﹣x2+1． 15. 将二次函数y＝x2﹣4x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为 y＝（x﹣2）2﹣2　 ． 【答案】y＝（x﹣2）2﹣2 【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 16. 把y＝（2﹣3x）（6+x）变成一般式，二次项系数为　﹣3　 ，一次项系数为　﹣16　 ，常数项为　12　 ． 【答案】﹣3；﹣16；12． 【解答】解：由题意得，∵y＝（2﹣3x）（6+x）， ∴y＝﹣3x2﹣16x+12， ∴二次函数的二次项系数：﹣3，一次项系数：﹣16，常数项：12． 故答案为：﹣3；﹣16；12． 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