26.2 二次函数的图象和性质 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、性质应用、综合探究三层设计，覆盖二次函数定义、图象性质、平移与最值等核心知识点，梯度递进培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、开口方向、顶点坐标|单选1-2题、填空6-7题，直接考查概念辨析与基本运算| |提升层|函数值比较、平移性质、增减性|单选3-5题、填空8-10题，结合表格数据与参数分类讨论| |综合层|动态最值、图象平移与几何综合|解答15-17题，通过动点问题与平移变换，培养问题解决能力|

26.2《二次函数的图象和性质》同步练习 一、单选题 1．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 3．已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数，图象向右平移个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 二、填空题 6．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 7．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 8．当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为________． 9．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 10．已知二次函数（）在时有最小值，则m等于______________． 三、解答题 11．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 12.已知抛物线经过三点：． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 13.已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 14.已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 15.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 16.已知二次函数． (1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 0 1 2 3 ____ ____ (3)已知当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3，请直接写出的值． 17.在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 参考答案 一、单选题 1．D ∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 2．B 解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 3．C 解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 4．D 解：将二次函数向右平移3个单位长度，得平移后解析式为， ∵平移后图象经过原点， ∴， ， 解得， ∴抛物线对称轴为直线， ① 当时，抛物线开口向上，在中的最大值出现在离对称轴更远的端点， ∵，，， ∴时取得最大值， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得； ② 当时，抛物线开口向下，顶点在内，最大值在顶点处，即时取得最大值， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 5．C 解：∵时，， ∴， 即． 选取表格中两组对应值，代入中，得： 化简得：， 解得：， ∴ 二次函数解析式为，配方得． ∵， ∴ 抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴B错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，y随x的增大而增大， 又∵满足，因此当时，y随x的增大而增大，C正确； 令，得， 解得，即图象与x轴交点为和，不是和， ∴D错误． 二、填空题 6． 解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 7． 解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 8． 解：∵抛物线（b为常数）经过点． ∴抛物线的对称轴为直线，则，解得， ∴抛物线为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为： 9．2 解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 10．或． 解：对于二次函数（）， 其对称轴公式为，这里，， 对称轴， 当时， 抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值， 在内， 当时，取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件， 当时 抛物线开口向下，在上，离对称轴越远的点，函数值越小， 计算和到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ， 当时，函数取得最小值， 把代入函数得： ， 函数最小值为， ， 解得，符合的条件． 综上，的值为或． 三、解答题 11．（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 12.（1）解：将分别代入， 得 解得 所以这条抛物线对应的二次函数表达式为； （2）解：对二次函数配方得 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：抛物线开口向上 这个函数有最小值，最小值为． 13.（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 14.（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 15.（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 16.（1）解：根据题意，得， 故抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． （2）解：，画图象如下： ． （3）解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当即时； 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，，不满足，此时无解； 当时即；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，符合题意． 17.（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 学科网（北京）股份有限公司 $