27.1 反比例函数的概念 同步讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“反比例函数的概念”核心知识点，系统梳理形如y=k/x（k≠0）及y=kx⁻¹（k≠0）的定义形式，明确自变量取值范围，通过与正比例函数对比构建知识支架，帮助学生理解反比例关系的本质。 资料以“题型-典例-变式-验收”分层设计，通过临滕高速运土石方等实际情境题培养数学眼光，结合判断函数类型的推理题发展数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过多样化练习查漏补缺，提升模型意识与应用能力。

第27章 27.1 反比例函数的概念 内 容 导 航 题型1 反比例函数的定义 考 点 演 练 题型1 反比例函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【典例1】下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝2026 D． 【变式1】有下列函数：①y；②yx；③y；④xy＝﹣2；⑤y；⑥y3，y是x的反比例函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】用x，y表示两个相关联的量，下列关系中，x和y成反比例关系的是（　　） A．x+y＝6 B．xy＝6 C．x﹣y＝6 D． 【变式3】下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C．xy＝5 D． 【变式4】下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝﹣x2 【变式5】有下列函数：①；②；③；④xy＝﹣2；⑤；⑥，其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6】正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【变式7】关系式xy+4＝0中，y是x的反比例函数吗？若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由． 【变式8】已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当x＝3时的函数值． 【变式9】列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． （1）某农场的粮食总产量为1500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式； （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式； （3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式． 过 关 验 收 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2. 下列关系式中，y是x反比例函数的是（　　） A．yx B．y C．y＝3x2 D．y＝6x+1 3. 计划修建铁路lkm，铺轨天数为t（d），每日铺轨量s（km/d），则在下列三个结论中，正确的是（　　） ①当l一定时，t是s的反比例函数； ②当t一定时，l是s的反比例函数； ③当s一定时，l是t的反比例函数． A．仅① B．仅② C．仅③ D．①，②，③ 4. 若函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．0 D．1 5. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y B．y C． D．y 6. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．1 B．xy C．y＝x﹣p D．y5 7. 下列问题情景中的两个变量成反比例的是（　　） A．汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v B．圆的周长l与圆的半径r C．圆的面积s与圆的半径r D．在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U 8. 若函数为反比例函数，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C． D．﹣1 9. 下列函数中是反比例函数关系的是（　　） A．当速度U＝100km/h时，路程S（km）与时间T（h）的函数 B．等边三角形面积S与边长a之间的关系 C．菱形面积一定时，两条对角线a、b之间的关系 D．当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系 10. 将x代入反比例函数y中，所得函数记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数记为y3，如此继续下去，则y2009值为（　　） A．2 B． C． D． 11. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．二次函数 12. 若函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝﹣2或﹣1 13. 下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A．y B．y C．y＝2+3x D．y＝2+3x2 14. 若函数y是反比例函数，则m＝　 　 ． 15. 已知函数y＝2x2m﹣1是反比例函数，则m的值为　 　 ． 16. 已知函数是反比例函数，则m＝　 　 ． 17. 若函数y＝（3﹣k）x是反比例函数，那么k的值是　 　 ． 18. 已知y＝（a﹣1）是反比例函数，则a＝　 ． 19. 下列函数中是反比例函数的有　 　 （填序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤y＝x﹣1； ⑥； ⑦（k为常数，k≠0） 20. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣2，﹣9）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当y＝6时，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 27.1 反比例函数的概念 内 容 导 航 题型1 反比例函数的定义 考 点 演 练 题型1 反比例函数的定义 解｜题｜知｜识 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 【典例1】下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝2026 D． 【答案】A 【解答】解：A、不是反比例函数，符合题意； B、y＝﹣2026x﹣1是反比例函数，故此选项不符合题意； C、xy＝2026，即是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1】有下列函数：①y；②yx；③y；④xy＝﹣2；⑤y；⑥y3，y是x的反比例函数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：①，符合（k＝π≠0），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④xy＝﹣2可变形为，符合（k＝﹣2≠0），是反比例函数； ⑤，分母为x﹣1不是x，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 【变式2】用x，y表示两个相关联的量，下列关系中，x和y成反比例关系的是（　　） A．x+y＝6 B．xy＝6 C．x﹣y＝6 D． 【答案】B 【解答】解：A：x+y＝6表示和一定，不是反比例； B：xy＝6满足反比例定义； C：x﹣y＝6表示差一定，不是反比例； D：可化为x＝6y，表示正比例关系． 故选：B． 【变式3】下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B． C．xy＝5 D． 【答案】B 【解答】解：A．y＝3x﹣1是反比例函数，不符合题意； B．是正比例函数，符合题意； C．xy＝5是反比例函数，不符合题意； D．是反比例函数，不符合题意． 故选：B． 【变式4】下列各式中，y一定是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝﹣x2 【答案】A 【解答】解：A、y一定是x的反比例函数，故此选项符合题意； B、y是x的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C、当k＝0时，y不是x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、y是x的二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式5】有下列函数：①；②；③；④xy＝﹣2；⑤；⑥，其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④xy＝﹣2是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 【变式6】正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【解答】解：根据题意得：Vt＝105， ∴V，V与t满足反比例函数关系； 故选：A． 【变式7】关系式xy+4＝0中，y是x的反比例函数吗？若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由． 【答案】是；﹣4． 【解答】解：y是x的反比例函数， 由xy+4＝0得，，比例系数k等于﹣4， 故y是x的反比例函数，比例系数k等于﹣4． 【变式8】已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成反比例，y2与x成正比例，且当x＝2时，y1＝4，y＝2． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当x＝3时的函数值． 【答案】（1）yx；（3）﹣1． 【解答】解：（1）设y1，y2＝k2x（k2≠0）， ∴yk2x， 把x＝2，y1＝4和x＝2，y＝2分别代入得， 解得， ∴y关于x的函数解析式为yx； （2）当x＝3时，y3＝﹣1． 【变式9】列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． （1）某农场的粮食总产量为1500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式； （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式； （3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由平均数，得x，即y是反比例函数； （2）由单价乘以油量等于总价，得 y＝4.75x，即y＝4.75x是正比例函数改为不是反比例函数． （3）由路程与时间的关系，得 t，即t是反比例函数． 过 关 验 收 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不合题意； D、不是反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列关系式中，y是x反比例函数的是（　　） A．yx B．y C．y＝3x2 D．y＝6x+1 【答案】B 【解答】解：A、不是反比例函数，故此选项错误； B、是反比例函数，故此选项正确； C、不是反比例函数，故此选项错误； D、不是反比例函数，故此选项错误； 故选：B． 3. 计划修建铁路lkm，铺轨天数为t（d），每日铺轨量s（km/d），则在下列三个结论中，正确的是（　　） ①当l一定时，t是s的反比例函数； ②当t一定时，l是s的反比例函数； ③当s一定时，l是t的反比例函数． A．仅① B．仅② C．仅③ D．①，②，③ 【答案】A 【解答】解：∵l＝ts， ∴t或s， ∵反比例函数解析式的一般形式（k≠0，k为常数）， ∴当l一定时，t是s的反比例函数； 只有①正确， 故选：A． 4. 若函数y＝（m﹣1）是反比例函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【解答】解：∵y＝（m﹣1）是反比例函数， ∴． 解之得m＝﹣1． 故选：B． 5. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y B．y C． D．y 【答案】D 【解答】解：A、属于正比例函数，错误； B、解析式y中，必须a≠0，错误； C、是分式，错误； D、属于反比例函数，正确． 故选：D． 6. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．1 B．xy C．y＝x﹣p D．y5 【答案】B 【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项错误； B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确； C、该函数不符合反比例函数的定义，故本选项错误； D、该函数不符合反比例函数的定义，故本选项错误． 故选：B． 7. 下列问题情景中的两个变量成反比例的是（　　） A．汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v B．圆的周长l与圆的半径r C．圆的面积s与圆的半径r D．在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U 【答案】A 【解答】解：A、t（S是路程，定值），t与v成反比例，故本选项正确； B、l＝2πr，l与r成正比例，故本选项错误； C、s＝πr2，s与r2成正比例，故本选项错误； D、I，电流强度I与电压U成正比例，故本选项错误； 故选：A． 8. 若函数为反比例函数，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C． D．﹣1 【答案】D 【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝﹣1，且m﹣1≠0 解得：m＝﹣1． 故选：D． 9. 下列函数中是反比例函数关系的是（　　） A．当速度U＝100km/h时，路程S（km）与时间T（h）的函数 B．等边三角形面积S与边长a之间的关系 C．菱形面积一定时，两条对角线a、b之间的关系 D．当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系 【答案】C 【解答】解：A、当速度U＝100km/h时，路程S（km）与时间T（h）的函数关系式为：S＝100T，不是反比例函数，故本选项错误； B、等边三角形面积S与边长a之间的关系为：S，不是反比例函数，故本选项错误； C、菱形面积一定时，设为S，则两条对角线a、b之间的关系为：a，是反比例函数，故本选项正确； D、当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系为：H，不是反比例函数，故本选项错误． 故选：C． 10. 将x代入反比例函数y中，所得函数记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数记为y3，如此继续下去，则y2009值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：x时，y1，x1； x时，y2＝2，x＝2+1＝3； x＝3时，y3，x1； x时，y4； 按照规律，y5＝2，我们发现，y的值三个一循环2009÷3＝669…2， y2009＝y2＝2． 故选：A． 11. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为4平方单位的矩形，那么这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】A 【解答】解：根据题意，得2πrL＝4， 则L． 所以这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是反比例函数． 故选：A． 12. 若函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝﹣2或﹣1 【答案】A 【解答】解：∵y＝（m+1）是反比例函数， ∴， 解之得m＝﹣2． 故选：A． 13. 下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A．y B．y C．y＝2+3x D．y＝2+3x2 【答案】B 【解答】解：A、是正比例函数，错误； B、属于反比例函数，正确； C、是一次函数，错误； D、是二次函数，错误． 故选：B． 14. 若函数y是反比例函数，则m＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵函数y是反比例函数， ∴m﹣2＝1， ∴m＝3． 故答案为：3． 15. 已知函数y＝2x2m﹣1是反比例函数，则m的值为　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：根据题意得：2m﹣1＝﹣1， ∴m＝0， 故答案为：0． 16. 已知函数是反比例函数，则m＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 17. 若函数y＝（3﹣k）x是反比例函数，那么k的值是　0　 ． 【答案】0 【解答】解：∵函数y＝（3﹣k）x是反比例函数， ∴k2﹣3k﹣1＝﹣1，3﹣k≠0， 解得：k1＝0，k2＝3，（不合题意舍去） 那么k的值是：0． 故答案为：0． 18. 已知y＝（a﹣1）是反比例函数，则a＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：根据题意，a2﹣2＝﹣1，a＝±1，又a≠1，所以a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 19. 下列函数中是反比例函数的有　②③④⑦　 （填序号）． ①； ②； ③； ④； ⑤y＝x﹣1； ⑥； ⑦（k为常数，k≠0） 【答案】②③④⑦ 【解答】解：由题意可得①⑤⑥是一次函数；②③④⑦是反比例函数． 故答案为②③④⑦． 20. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣2，﹣9）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当y＝6时，求x的值． 【答案】（1）； （2）x＝3． 【解答】解：（1）∵y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣2，﹣9）， ∴设y与x的函数关系式为， ∴， 解得k＝18， ∴y与x的函数关系式为； （2）由（1）得， 将y＝6代入，得， 解得：x＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $