专题26.1 二次函数的概念（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.1 二次函数的概念 【本节预习目标】 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，能准确判断一个函数是否为二次函数。 2.能正确识别二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，会根据二次函数的定义求解参数的取值。 3.能从面积、利润、增长率、传播等实际问题中抽象出等量关系，列出二次函数解析式。 4.体会二次函数是刻画现实世界数量变化的重要数学模型，发展数学建模与数学抽象素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数基础 一次函数、正比例函数的概念；自变量、因变量与函数的对应关系 二次函数是继一次函数后的一类重要函数，自变量最高次数为2，同样满足函数的单值对应关系 整式运算 单项式乘多项式、多项式乘多项式法则；整式的化简与合并同类项 将实际问题中的函数关系式整理为一般形式，需要用到整式乘法与化简运算 数量关系 几何图形面积公式、利润计算公式、增长率模型、握手计数规律 列二次函数解析式的核心是从实际情境中提取等量关系，转化为含自变量的代数式 知识点1：二次函数的概念 1.定义与一般形式 一般地，形如（a,b,c是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项。 2.二次函数的三个判定条件 解析式是关于自变量的整式； 化简后自变量的最高次数为； 二次项系数不为。 注意：三个条件必须同时满足，缺一不可。 知识点2：实际问题中二次函数关系式的建立 1.列二次函数解析式的一般步骤 审题：梳理问题中的常量与变量，明确自变量和因变量； 找等量关系：结合几何公式、生活数量关系，列出变量间的等式； 列解析式：用含自变量的代数式表示相关量，整理为函数形式； 定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围。 2.四类常见二次函数实际模型 模型类型 核心等量关系 典型特征 几何面积类 面积公式（矩形、三角形等） 边长变化引起面积变化，面积是边长的二次式 销售利润类 总利润=单件利润×销售量 单价涨跌引起销量反向变化，利润随单价二次变化 增长率类 增长后量=基础量×(1+增长率) 连续两次增长/下降，最终量是增长率的二次式 传播计数类 总次数/总人数的计数规律 两两组合、两轮传播，总量是数量的二次式 【基础巩固题型】 【培优提升题型】 【压轴素养题型】 【题型1】二次函数的概念识别 1.核心知识点 二次函数的定义；整式的概念 2.解题方法技巧 ①先将函数解析式化简整理，再判断自变量的最高次数是否为2； ②分母含自变量、根号内含自变量的函数都不是整式，一定不是二次函数； ③若二次项系数含参数，必须保证系数不为0，才是二次函数。 【例题1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题1-3】.（26-27九年级·上海·暑假作业）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【题型2】根据二次函数定义求参数 1.核心知识点 二次函数的定义；一元二次方程的求解 2.解题方法技巧 ①根据“自变量最高次数为2”列方程，求解参数的所有可能值； ②根据“二次项系数不为0”列不等式，排除使系数为0的参数值； ③取方程的解与不等式解集的公共部分，即为参数的最终取值。 【例题2】.（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）如果函数是关于x的二次函数，则________． 【变式题2-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）若是二次函数，则_______． 【题型3】二次函数一般形式与各项系数辨析 1.核心知识点 整式乘法运算；二次函数的一般形式 2.解题方法技巧 ①遇到乘积形式、顶点形式的解析式，先通过整式乘法展开、合并同类项，化为的标准形式； ②各项系数需连同前面的符号，注意一次项系数、常数项为0的特殊情况； ③确认二次项系数后，再分别指出二次项、一次项和常数项。 【例题3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数整理为一般式得___________ 【变式题3-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 【变式题3-2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·全国·课前预习）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 【题型4】几何面积类列二次函数解析式 1.核心知识点 常见几何图形面积公式；列函数关系式的基本步骤 2.解题方法技巧 ①设变化的边长为自变量，用含自变量的代数式表示图形的长、宽、高等关键线段； ②代入对应面积公式，整理得到面积关于自变量的函数式； ③结合线段长度为正的实际意义，确定自变量的取值范围。 【例题4】.（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【变式题4-2】.（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【变式题4-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 提升层 【题型5】销售利润类列二次函数解析式 1.核心知识点 利润问题基本关系：总利润=单件利润×销售量 2.解题方法技巧 ①理清单价涨跌与销量增减的对应关系，用含自变量的式子分别表示单件利润和销售量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列出函数式，整理为一般形式； ③结合销量非负、单价大于成本等实际约束，确定自变量的取值范围。 【例题5】.（25-26九年级下·全国·单元复习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·广西百色·期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【变式题5-3】.（25-26九年级下·全国·课堂例题）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【题型6】增长率与下降率类列二次函数解析式 1.核心知识点 增长率基本模型：单次增长后量=基础量×(1+增长率) 2.解题方法技巧 ①连续两次增长时，第二次的基础量是第一次增长后的量，最终量为； ②注意区分“单期产量”和“总产量”，总产量需要将各期产量相加； ③下降率对应模型为，增长率/下降率的取值需符合实际意义。 【例题6】.（26-27九年级·全国·暑假作业）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为__________． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是______． 【变式题6-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【题型7】传播与计数类列二次函数解析式 1.核心知识点 两两组合计数规律；两轮传播的倍增模型 2.解题方法技巧 ①单循环握手/比赛：总次数，是关于的二次函数； ②两轮传染问题：总感染人数=初始人数×(1+每轮传染数)²； ③主客场双循环比赛总场数为，注意区分单循环与双循环的差异。 【例题7】.（26-27九年级·全国·暑假作业）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【变式题7-2】.（2025九年级上·全国·专题练习）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·全国·随堂练习）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 易错点 1、忽略二次项系数不为0的条件：判断二次函数或求解参数时，只关注自变量最高次数为2，忘记验证二次项系数不能为0，导致参数取值错误。 2、未化简就判断函数类型：对于多项式乘积形式的函数，不展开化简就直接判断最高次数，容易误判为高次或低次函数。 3、实际问题忽略自变量取值范围：列出解析式后未结合实际意义限定自变量范围，如边长、销量不能为负数，增长率需大于0且小于1等。 重点 1、二次函数的概念与一般形式，能准确识别二次函数并确定各项系数。 2、从面积、利润、增长率等实际问题中提取等量关系，列二次函数解析式。 难点 1、复杂实际情境中等量关系的提取，以及自变量取值范围的准确界定。 2、含参数的二次函数分类讨论，以及规律探究类问题的函数关系式归纳。 1．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 3．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 4．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 5．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 6．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 8．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 二次函数的概念 【本节预习目标】 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，能准确判断一个函数是否为二次函数。 2.能正确识别二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，会根据二次函数的定义求解参数的取值。 3.能从面积、利润、增长率、传播等实际问题中抽象出等量关系，列出二次函数解析式。 4.体会二次函数是刻画现实世界数量变化的重要数学模型，发展数学建模与数学抽象素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数基础 一次函数、正比例函数的概念；自变量、因变量与函数的对应关系 二次函数是继一次函数后的一类重要函数，自变量最高次数为2，同样满足函数的单值对应关系 整式运算 单项式乘多项式、多项式乘多项式法则；整式的化简与合并同类项 将实际问题中的函数关系式整理为一般形式，需要用到整式乘法与化简运算 数量关系 几何图形面积公式、利润计算公式、增长率模型、握手计数规律 列二次函数解析式的核心是从实际情境中提取等量关系，转化为含自变量的代数式 知识点1：二次函数的概念 1.定义与一般形式 一般地，形如（a,b,c是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项。 2.二次函数的三个判定条件 解析式是关于自变量的整式； 化简后自变量的最高次数为； 二次项系数不为。 注意：三个条件必须同时满足，缺一不可。 知识点2：实际问题中二次函数关系式的建立 1.列二次函数解析式的一般步骤 审题：梳理问题中的常量与变量，明确自变量和因变量； 找等量关系：结合几何公式、生活数量关系，列出变量间的等式； 列解析式：用含自变量的代数式表示相关量，整理为函数形式； 定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围。 2.四类常见二次函数实际模型 模型类型 核心等量关系 典型特征 几何面积类 面积公式（矩形、三角形等） 边长变化引起面积变化，面积是边长的二次式 销售利润类 总利润=单件利润×销售量 单价涨跌引起销量反向变化，利润随单价二次变化 增长率类 增长后量=基础量×(1+增长率) 连续两次增长/下降，最终量是增长率的二次式 传播计数类 总次数/总人数的计数规律 两两组合、两轮传播，总量是数量的二次式 【基础巩固题型】 【培优提升题型】 【压轴素养题型】 【题型1】二次函数的概念识别 1.核心知识点 二次函数的定义；整式的概念 2.解题方法技巧 ①先将函数解析式化简整理，再判断自变量的最高次数是否为2； ②分母含自变量、根号内含自变量的函数都不是整式，一定不是二次函数； ③若二次项系数含参数，必须保证系数不为0，才是二次函数。 【例题1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【变式题1-1】.（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【变式题1-2】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【变式题1-3】.（26-27九年级·上海·暑假作业）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【题型2】根据二次函数定义求参数 1.核心知识点 二次函数的定义；一元二次方程的求解 2.解题方法技巧 ①根据“自变量最高次数为2”列方程，求解参数的所有可能值； ②根据“二次项系数不为0”列不等式，排除使系数为0的参数值； ③取方程的解与不等式解集的公共部分，即为参数的最终取值。 【例题2】.（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式题2-2】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 【变式题2-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 【题型3】二次函数一般形式与各项系数辨析 1.核心知识点 整式乘法运算；二次函数的一般形式 2.解题方法技巧 ①遇到乘积形式、顶点形式的解析式，先通过整式乘法展开、合并同类项，化为的标准形式； ②各项系数需连同前面的符号，注意一次项系数、常数项为0的特殊情况； ③确认二次项系数后，再分别指出二次项、一次项和常数项。 【例题3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）将二次函数整理为一般式得___________ 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 【变式题3-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 【变式题3-2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 【变式题3-3】.（25-26九年级下·全国·课前预习）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 【答案】见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．根据二次函数的定义，二次函数的解析式解答即可． 【详解】解：的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 【题型4】几何面积类列二次函数解析式 1.核心知识点 常见几何图形面积公式；列函数关系式的基本步骤 2.解题方法技巧 ①设变化的边长为自变量，用含自变量的代数式表示图形的长、宽、高等关键线段； ②代入对应面积公式，整理得到面积关于自变量的函数式； ③结合线段长度为正的实际意义，确定自变量的取值范围。 【例题4】.（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 【变式题4-2】.（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 提升层 【题型5】销售利润类列二次函数解析式 1.核心知识点 利润问题基本关系：总利润=单件利润×销售量 2.解题方法技巧 ①理清单价涨跌与销量增减的对应关系，用含自变量的式子分别表示单件利润和销售量； ②根据“总利润=单件利润×销量”列出函数式，整理为一般形式； ③结合销量非负、单价大于成本等实际约束，确定自变量的取值范围。 【例题5】.（25-26九年级下·全国·单元复习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·广西百色·期末）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 【变式题5-2】.（26-27九年级·全国·暑假作业）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·全国·课堂例题）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【题型6】增长率与下降率类列二次函数解析式 1.核心知识点 增长率基本模型：单次增长后量=基础量×(1+增长率) 2.解题方法技巧 ①连续两次增长时，第二次的基础量是第一次增长后的量，最终量为； ②注意区分“单期产量”和“总产量”，总产量需要将各期产量相加； ③下降率对应模型为，增长率/下降率的取值需符合实际意义。 【例题6】.（26-27九年级·全国·暑假作业）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式题6-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可． 【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 【变式题6-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 【题型7】传播与计数类列二次函数解析式 1.核心知识点 两两组合计数规律；两轮传播的倍增模型 2.解题方法技巧 ①单循环握手/比赛：总次数，是关于的二次函数； ②两轮传染问题：总感染人数=初始人数×(1+每轮传染数)²； ③主客场双循环比赛总场数为，注意区分单循环与双循环的差异。 【例题7】.（26-27九年级·全国·暑假作业）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 【变式题7-2】.（2025九年级上·全国·专题练习）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·全国·随堂练习）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 易错点 1、忽略二次项系数不为0的条件：判断二次函数或求解参数时，只关注自变量最高次数为2，忘记验证二次项系数不能为0，导致参数取值错误。 2、未化简就判断函数类型：对于多项式乘积形式的函数，不展开化简就直接判断最高次数，容易误判为高次或低次函数。 3、实际问题忽略自变量取值范围：列出解析式后未结合实际意义限定自变量范围，如边长、销量不能为负数，增长率需大于0且小于1等。 重点 1、二次函数的概念与一般形式，能准确识别二次函数并确定各项系数。 2、从面积、利润、增长率等实际问题中提取等量关系，列二次函数解析式。 难点 1、复杂实际情境中等量关系的提取，以及自变量取值范围的准确界定。 2、含参数的二次函数分类讨论，以及规律探究类问题的函数关系式归纳。 1．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 2．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 3．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 4．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 5．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 6．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 8．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $