30.3正多边形与圆同步训练 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以正多边形与圆的核心概念为基础，通过基础巩固、中档应用、提高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|中心角、半径计算等核心概念|选择填空聚焦基础公式（如正十边形中心角），夯实运算能力| |中档|内接/外切图形性质、面积计算|解答题结合图形性质（如正六边形边心距），发展空间观念| |提高|综合证明与实际应用|含跨情境问题（如蜂窝置物架），培养模型意识与创新思维|

30.3正多边形与圆同步训练人教版2026—2027学年九年级数学上册 姓名：________ 班级：______ 学号：________ 学校：_________________ 一、选择题 1．正十边形的中心角度数为（　　） A． B． C． D． 2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（   ） A． B． C． D．1 3．一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 4．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 5．如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（      ） A．1 B．2 C． D．4 6．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 8．已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 9．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 10．如图，正六边形内接于，它的内切圆半径为，则正六边形的边长为__________． 11．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______． 12．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可得的估计值是______． 三、解答题 13．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 14．历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 15．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 16．如图，是边长为的正方形的外接圆． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 17．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 18．如图，是内接正多边形的一条边，且．    (1)求该正多边形的边数； (2)若的半径为2，求阴影部分的面积． 参考答案 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．10 10． 11．12 12．3 13．(1)解：为等边三角形． 理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ． ． 是等边三角形． （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵点是的内心， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 14．【详解】（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 15．【详解】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 16．【详解】（1）解：∵正方形， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴，即， ∴（负值舍去）； （2）解：由（）得：，， ∴． 17．【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．【详解】（1）解：连接，    ， ， ， 此正多边形中心角为， 该正多边形的边数为； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $