29.2 圆的有关性质同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“圆的有关性质”核心知识点，系统梳理垂径定理及推论、圆心角弧弦关系、圆周角定理、圆内接四边形性质，构建从基础定理到实际应用的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 资料以“解题知识+典例+变式”分层设计，结合排水管、筒车等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过推理训练提升数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第29章 29.2 圆的有关性质 内 容 导 航 题型1 垂径定理 题型2 垂径定理的应用 题型3 圆心角、弧、弦的关系 题型4 圆周角定理 题型5 圆内接四边形的性质 考 点 演 练 题型1 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴BC＝ACAB16＝8， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC6， 故选：D． 【变式1】如图，⊙O直径CD为10，弦AB⊥CD，垂足为M，AB＝8，则CM的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：连接OA， ∵直径CD⊥AB，AB＝8， ∴AM＝BMAB＝4， 在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4， 根据勾股定理得：OM3， 则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【变式2】半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】D 【解答】解：如图，AB垂直平分OC， 连接OA， ∵AB平分OC， ∴OHOC＝6， ∴AH6， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AH＝12， ∴半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为12， 故选：D． 【变式3】已知⊙O的半径为6cm，弦AB∥CD，且，，则AB与CD之间的距离为　或　 ． 【答案】或 【解答】解：⊙O的半径为6cm，弦AB∥CD，且，， 过点O作OE⊥AB于点E，则E为AB中点，连接OA，OC ∴， 在Rt△OEA中，OA＝6cm， 由勾股定理得， 过点O作OF⊥CD于点F，则F为CD中点， ∴， 在Rt△OFC中，OC＝6cm， 由勾股定理得， 如图所示，当AB与CD在圆心O同侧时，AB与CD之间的距离为； 如图所示，当AB与CD在圆心O两侧时，AB与CD之间的距离为． 故答案为：或． 题型2 垂径定理的应用 解｜题｜知｜识 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【典例1】化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为（　　） A．2cm B． C．8cm D． 【答案】D 【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD， ∵球体的半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm， ∴OA＝6cm，OD＝6﹣4＝2（cm）， ∴AD4， ∴AB＝2AD＝8（cm）． 故选：D． 【变式1】如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝3m，CD＝4.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．2.4m B．2m C．2.5m D．3m 【答案】C 【解答】如图所示，连接BO， ∵点D是AB的中点，AB＝3m， ∴OD⊥AB，BDAB3＝1.5m． 设BO＝r，则OD＝4.5﹣r， 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得OB2＝OD2+BD2， 即r2＝（4.5﹣r）2+1.52， 整理得，9r＝22.5， 解得r＝2.5． 故选：C． 【变式2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4， 在Rt△AEO中，OE3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故选：B． 【变式3】一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB＝16m，拱顶到水面的距离CD＝4m． （1）求拱桥的半径； （2）如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】（1）10m； （2）不能，理由见解析． 【解答】解：（1）设半径为r，连接OB， 由条件可知， ∵CD＝4， ∴OD＝r﹣4， 在Rt△OBD中：82+（r﹣4）2＝r2， 解得：r＝10， 答：拱桥的半径为10m． （2）过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF， 由题得，OD＝10﹣4＝6m， ∴OG＝9m， 在Rt△OGF中：， ∴， 答：不能顺利通过这座拱桥． 题型3 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵AC＝AD，∠AOD＝70° ∴∠AOC＝∠AOD＝70°， ∴∠ABC∠AOC＝35°， ∵OB＝OC， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【答案】B 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，BC是⊙O的直径，D，E是⊙O上两点，连接BD，CE并延长相交于点A，连接OD，OE，∠A＝70°，则∠DOE的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝70°， ∴∠B+∠C＝110°， ∵OB＝OD，OC＝OE， ∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC， ∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝140°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣140°＝40°， 故选：C． 【变式3】如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OC． 在⊙O中，∵ ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD＝OE， ∵OC＝OC（公共边）， ∴△COD≌△COE（SAS）， ∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 题型4 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　） A．80° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【解答】解：∵∠BOC＝100°， ∴， 故选：C． 【变式1】已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　） A．75° B．65° C．60° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． 又∠BAD＝25°， ∴∠B＝65°． ∴∠C＝65°． 故选：B． 【变式2】如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB＝90°，点M为AB上任意一点，连接CM并延长交半圆于点N，连接BN，若∠ABC＝40°，则∠BNC的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．30° 【答案】C 【解答】解：连接OC、AN， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ANB＝90°，OA＝OB， ∵∠ACB＝90°，O是AB的中点， ∴OC＝OAAB， ∴点C在⊙O上， ∴∠ANC＝∠ABC＝40°， ∴∠BNC＝∠ANB﹣∠ANC＝50°， 故选：C． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，点D为弦AC上一点，连接BD并延长交⊙O于点E，连接AE、BC，以AC、AB为邻边作平行四边形ABFC，其中FC的延长线交⊙O于点G，连接BG，若CF＝10，，AD＝5，则AE＝　　 ，CG＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：AB是⊙O的直径，点D为弦AC上一点，连接BD并延长交⊙O于点E，连接AE、BC，以AC、AB为邻边作平行四边形ABFC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴在Rt△AEB中， AE2＝AB2﹣BE2， 同理，在Rt△AED中， AE2＝AD2﹣DE2， ∴AD2﹣DE2＝AB2﹣BE2， ∵平行四边形ABFC，CF＝10， ∴AB＝CF＝10， 设DE＝x， ∵， ∴， ∵AB＝10，，DE＝x，AD＝5， 又∵AD2﹣DE2＝AB2﹣BE2， ∴， 解得， ∴， 在Rt△AED中， ， ∴； 如图，设BG交AC于点K， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE∽△BDC， ∴， ∵AD＝5，，， ∴， ∴AC＝AD+DC＝5+3＝8， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴， ∵平行四边形ABFC， ∴AB∥FC， ∴∠BAC＝∠KCG，∠ABG＝∠KGC， ∵∠ABG＝∠KCG， ∴∠BAC＝∠ABG＝∠KCG＝∠KGC， ∴△AKB∽△CKG，AK＝BK， 设DK＝y， 则CK＝CD﹣DK＝3﹣y， AK＝AD+DK＝5+y＝BK， 在Rt△BCK中， ∵BC2+CK2＝BK2， ∴62+（3﹣y）2＝（5+y）2， 解得， ∴，， ∵△AKB∽△CKG， ∴， ∴． 故答案为：． 题型5 圆内接四边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【典例1】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，若∠BCD＝125°，则∠BAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．55° D．45° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BCD＝125°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝55°， 故选：C． 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数是（　　） A．42° B．49° C．51° D．59° 【答案】B 【解答】解：∵∠D∠AOC，∠AOC＝98°， ∴∠D＝49°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠ABM＝∠D＝49°． 故选：B． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC＝110°， ∴∠ABC＝70°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°， 故选：C． 【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为　110°　 ． 【答案】110°． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由条件可知∠CAB＝∠BEC＝20°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°， 故答案为：110°． 过 关 验 收 1. 下列说法中正确的是（　　） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于弦 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解答】解：∵在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧， ∴“长度相等的两条弧是等弧”这一说法是错误的， 故A不符合题意； ∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， ∴“平分弦的直径一定垂直于弦”这一说法是错误的； 故B不符合题意； ∵在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直， ∴“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”这一说法是错误的， 故C不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，且对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形， 故D符合题意， 故选：D． 2. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：连接OA，则OA＝10cm， ∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm， ∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm）， ∵OC＝10cm， ∴CD＝OC﹣OD＝4cm， 故选：C． 3. 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB的延长线上一点，BP＝2，则OP等于　　 ． 【答案】． 【解答】解：过O作OC⊥AB于点C，则∠OCP＝∠ACO＝90°， 由条件可知， ∵BP＝2， ∴PC＝BC+BP＝6， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：， 在Rt△PCO中，由勾股定理得：， 故答案为：． 4. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则该圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．40cm C．25cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB． Rt△OBD中，， 根据勾股定理得： （OB﹣10）2+202＝OB2， 解得：OB＝25； 故圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 5. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　 cm． 【答案】18 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 6. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 　5　 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，支撑杆EF的高度为 　1　 米． 【答案】5；1． 【解答】解：∵AB垂直平分CD， ∴圆心O在DC的延长线上． 设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米， ∵OD⊥AB， ∴（米）， 在Rt△OAC中， 由勾股定理得：AC2+OC2＝AO2， 即42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5， 即该圆弧所在圆的半径为5米； 过F点作FH⊥CD于H点，连接OF， ∵BE＝1米， ∴CE＝4﹣1＝3（米）， ∵∠FHC＝∠HCE＝∠CEF＝90°， ∴四边形EFHC为矩形， ∴FH＝CE＝3，EF＝HC， 在Rt△OFH中，（米）， ∵OC＝3米， ∴HC＝1米， ∴EF＝HC＝1米， 即支撑杆EF的高度为1米； 故答案为：5；1． 7. 如图所示，∠ACB表示圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由圆心角定义可知，选项A、B、C中∠ACB的顶点不在圆心，不符合题意，选项D中的∠ACB是圆心角． 故选：D． 8. 如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】D 【解答】解：连接OB． ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：D． 9. 下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确； 能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误． 故选：A． 10. 用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确； 故选：C． 11. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】B 【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠C＝50°， ∴， ∴∠AOB＝2∠C＝2×50°＝100°， 故选：B． 12. 如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解：如图， 在优弧上取一点M，连接AM，CM， 则， 四边形ABCM是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AMC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠AMC＝115°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝65°． 故选：B． 13. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，∠BDC＝（　　） A．29° B．58° C．116° D．120° 【答案】A 【解答】解：连接OC， ∵， ∴∠COB＝∠AOB＝58°， 由圆周角定理得，∠BDC∠BOC＝29°， 故选：A． 14. 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，点B为弧AC的中点，若∠AEB＝30°，则∠ABC的度数为（　　） A．90° B．150° C．120° D．110° 【答案】C 【解答】解：如图，连接CE， ∵点B为弧AC的中点，∠AEB＝30°， ∴∠AEC＝2∠AEB＝60°， ∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∴∠ABC＝120°， 故选：C． 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　60°　 ． 【答案】60° 【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AOC； ∵∠ADCβ，∠AOC＝α； 而α+β＝180°， ∴， 解得：， ∴∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 29.2 圆的有关性质 内 容 导 航 题型1 垂径定理 题型2 垂径定理的应用 题型3 圆心角、弧、弦的关系 题型4 圆周角定理 题型5 圆内接四边形的性质 考 点 演 练 题型1 垂径定理 解｜题｜知｜识 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典例1】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1】如图，⊙O直径CD为10，弦AB⊥CD，垂足为M，AB＝8，则CM的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C．8 D． 【变式3】已知⊙O的半径为6cm，弦AB∥CD，且，，则AB与CD之间的距离为　 ． 题型2 垂径定理的应用 解｜题｜知｜识 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【典例1】化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为6cm，瓶内液体最大深度为4cm，则液面宽AB的长为（　　） A．2cm B． C．8cm D． 【变式1】如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝3m，CD＝4.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．2.4m B．2m C．2.5m D．3m 【变式2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式3】一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB＝16m，拱顶到水面的距离CD＝4m． （1）求拱桥的半径； （2）如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 题型3 圆心角、弧、弦的关系 解｜题｜知｜识 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【变式1】如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 【变式2】如图，BC是⊙O的直径，D，E是⊙O上两点，连接BD，CE并延长相交于点A，连接OD，OE，∠A＝70°，则∠DOE的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【变式3】如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE． 题型4 圆周角定理 解｜题｜知｜识 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　） A．80° B．60° C．50° D．40° 【变式1】已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（　　） A．75° B．65° C．60° D．50° 【变式2】如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB＝90°，点M为AB上任意一点，连接CM并延长交半圆于点N，连接BN，若∠ABC＝40°，则∠BNC的度数为（　　） A．60° B．55° C．50° D．30° 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，点D为弦AC上一点，连接BD并延长交⊙O于点E，连接AE、BC，以AC、AB为邻边作平行四边形ABFC，其中FC的延长线交⊙O于点G，连接BG，若CF＝10，，AD＝5，则AE＝　 ，CG＝　 ． 题型5 圆内接四边形的性质 解｜题｜知｜识 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【典例1】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，若∠BCD＝125°，则∠BAD的度数为（　　） A．25° B．30° C．55° D．45° 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数是（　　） A．42° B．49° C．51° D．59° 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为（　　） A．22° B．21° C．20° D．19° 【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为　 　 ． 过 关 验 收 1. 下列说法中正确的是（　　） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于弦 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 2. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 3. 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB的延长线上一点，BP＝2，则OP等于 　 ． 4. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则该圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．40cm C．25cm D．20cm 5. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　 　 cm． 6. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 　 　 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，支撑杆EF的高度为 　 米． 7. 如图所示，∠ACB表示圆心角的是（　　） A． B． C． D． 8. 如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 9. 下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对 10. 用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（　　） A． B． C． D． 11. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 12. 如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC＝130°，则∠CBD＝（　　） A．68° B．65° C．50° D．70° 13. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，∠BDC＝（　　） A．29° B．58° C．116° D．120° 14. 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，点B为弧AC的中点，若∠AEB＝30°，则∠ABC的度数为（　　） A．90° B．150° C．120° D．110° 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $