29.3.1 弧长和扇形面积形 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦弧长和扇形面积公式，通过运动会跑道起跑线情境导入，回顾圆周长、面积及弧的概念，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从实际问题切入探究。 以生活情境激发数学眼光，类比圆周长面积推导公式培养数学思维，例题中弓形面积转化为扇形与三角形面积差体现数学语言应用，小组讨论与当堂训练提升学生抽象能力和推理意识，为教师提供清晰教学流程与反思指导。

第1课时　弧长和扇形面积 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　弧长和扇形面积 授课人 教 学 目 标 　　1.掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程,初步运用扇形面积公式进行有关计算. 2.通过弧长和扇形面积公式的推导过程,发展学生抽象、理解、概括、分析问题、解决问题的能力. 教学 重点 　　弧长公式和扇形面积公式的推导及公式的应用. 教学 难点 　　运用公式计算组合图形的面积. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　问题: 1.圆的周长公式是什么? 2.圆的面积公式是什么? 3.什么是弧? 师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解. 　　教师确立延伸目标,让学生独立思考,为本课的学习做好准备. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.如图29-3-16,在运动会的4×100米比赛中,甲和乙分别在第1跑道和第2跑道,为什么他们的起跑线不在同一处? 图29-3-16 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 2.怎样来计算弯道的“展直长度”? 这就是我们这节课需要解决的一个问题. 　　让学生在实际生活情境的基础上提出数学问题,既激发了学生学习数学的积极性,同时又让学生体会到数学与实际生活的密切联系. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 弧长公式 我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.请同学们思考下面几个问题: 1.如何计算圆周长?(2πR) 2.圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长?(360°的圆心角所对的弧长) 3.由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少? 4.n°的圆心角呢? 由此,我们得到弧长公式为:l=. 师生共同总结: 在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR,所以1°的圆心角所对的弧长是,即.于是,n°的圆心角所对的弧长为l=. 注意:用弧长公式进行计算时,要注意公式中n的意义,n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的. 师生活动:教师引导学生观察、思考,学生讨论、交流,发表各自见解. 【探究2】 扇形的面积公式 教师引导:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图29-3-17,阴影部分是一个扇形,记作扇形OAB. 图29-3-17 可以发现,扇形的面积除了与圆的半径有关,还与组成扇形的圆心角的大小有关.在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形面积也就越大. 由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分. 问题1:想一想,如何计算半径为R,圆心角为n°的扇形的面积呢? 师生活动:学生根据弧长公式的推导过程,小组内讨论解答,类比后得到扇形的面积计算公式,教师给予点拨和指导. 学生阐述理由:在半径为R的圆中,因为圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积S=πR2, 所以圆心角为1°的扇形面积是. 于是,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=. 问题2:当扇形的半径为R,圆心角为n°时,扇形面积S与弧长l之间有什么关系? 教师引导学生发现:在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角n°,半径R有关系,因此l和S扇形之间也有一定的关系,列式表示为S扇形=×R=lR. 　　由已有知识入手,在教师的指引下讨论、交流,学生自己得出公式.不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力,同时让学生对知识有了更深刻、全面、正确的理解,培养了他们的抽象思维能力及科学严谨的学习态度. 活动 二: 探究 与 应用 【理解应用】 例1　制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料.计算图29-3-18所示管道的展直长度L(结果取整数). 图29-3-18 教师引导学生分析:要求管道的展直长度,即求出的长,根据弧长公式l=可求得的长. 教师指导学生写出解题过程: 解:由弧长公式,得的长 l==500π≈1570. 因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970(mm). 例2　如图29-3-19,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 图29-3-19 解:如图29-2-20,连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线,垂足为D,交于点C,连接AC. 图29-3-20 ∵OD=OC-DC,OC=0.6,DC=0.3, ∴OD=0.3, ∴OD=DC. 又AD⊥OC, ∴AD是线段OC的垂直平分线, ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°,∠AOB=120°. 则有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB=×0.62-AB·OD=0.12π-×0.6××0.3≈0.22(m2). 教师引导学生分析:要求图中阴影部分(弓形)的面积,没有直接的公式,需要转化为规则图形面积的和差问题,即扇形面积与三角形面积的差.容易想到作辅助线,再利用垂径定理,先根据公式分别求出扇形和三角形的面积,然后问题得到解决. 　　通过对例题的教学,让学生巩固两个公式,并学习规范的书写步骤. 活动 二: 探究 与 应用 　　总结:弓形的面积公式: 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积. 图29-3-21 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.在半径为6的☉O中,60°圆心角所对的弧长是 (B) A.π B.2π C.4π D.6π 2.如图29-3-22,已知扇形OAB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是(A) 　图29-3-22 A.π-2 B.π-4 C.4π-2 D.4π-4 3.(1)在半径为6 cm的圆中,圆心角为60°的扇形的面积是　6π　cm2;  (2)已知扇形的半径为2 cm,面积为2π cm2,则扇形的圆心角的度数是　180°　;  (3)若扇形的弧长为10π cm,面积为20π cm2,则扇形的半径为　4　cm.  4.如图29-3-23,在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=4 cm,以点O为圆心,OA长为半径作,以AB为直径作半圆,求图中阴影部分的面积. 图29-3-23 　　当堂训练是为了让学生加深对所学知识的理解及运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 解:∵OA=OB=4 cm,∠O=90°, ∴S扇形OAB==4π(cm2),AB==4 cm, S△OAB=×4×4=8(cm2), ∴S半圆=π2=4π(cm2),S弓形AB=S扇形OAB-S△OAB=(4π-8)cm2, ∴阴影部分的面积S=S半圆-S弓形AB=4π-(4π-8)=8(cm2). 师生活动:学生进行当堂训练,完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题理由和做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在指导教学过程中,把注意力集中在学生身上,不停地做出各种判断,激发和鼓励学生进行自主探究;提问不仅要有序、有提示、有鼓励、有启发,还要问在有疑之处. ②[讲授效果反思] 引导学生注意:(1)l=,S扇形=lR,其中n表示圆心角的度数,n,180,360均不用带单位;(2)求不规则图形的面积需要将其转化为规则图形面积的和或差. ③[师生互动反思] 从课堂发言和练习来看,学生在探究弧长和扇形面积公式时,推理能力和有条理的符号表达能力得到了一定发展. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $