28.1 图形的旋转 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，从生活中的旋转现象切入，系统梳理旋转定义、性质、旋转对称图形、旋转变换作图及图案设计，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料以题型为纲，结合吊扇转动、梅花图案等生活实例培养数学眼光，通过性质推理和作图训练发展数学思维，设计图案环节提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后变式题与过关验收助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第28章 28.1 图形的旋转 内 容 导 航 题型1 生活中的旋转现象 题型2 旋转的性质 题型3 旋转对称图形 题型4 作图-旋转变换 题型5 利用旋转设计图案 考 点 演 练 题型1 生活中的旋转现象 解｜题｜知｜识 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【典例1】下列现象不是旋转的是（　　） A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动 【答案】A 【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转． 故选：A． 【变式1】如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 【答案】C 【解答】解：它转过的度数为120°， 故选：C． 【变式2】如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（　　） A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可 B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45° C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180 D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 【答案】D 【解答】解：由平移和旋转可得，D选项中左下角的梅花需先沿对角线平移后，再逆时针旋转90°，所以D选项错误． 故选：D． 【变式3】如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为　105°　 ． 【答案】105° 【解答】解：如图：连接AC并且延长至E， ∠DCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ACB＝105°． 故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°． 故答案为：105°． 题型2 旋转的性质 解｜题｜知｜识 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【典例1】数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时BE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，， 则， ∴OA＝OD＝1，AC⊥BD， 在正方形AEFG中，∠EAG＝90°，AG＝AE， ∵∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠BAG+90°，∠BAE＝∠BAG+∠EAG＝∠BAG+90°， ∴∠DAG＝∠BAE， 在△DAG和△BAE中， ， ∴△DAG≌△BAE（SAS）， ∴BE＝DG， 在Rt△AOG中，OA＝1，， 则， ∴BE＝DG＝OD+OG＝3． 故选：B． 【变式1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE ∴AB＝AD，∠BAD＝110° 由三角形内角和 ∠B 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转α°（0°≤α°≤360°）至Rt△DEC的位置，点M为DE的中点，若BC＝6，则AM的最大值和最小值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6， ∴AB＝2BC＝12，； ∵Rt△ABC绕点C旋转得到Rt△DEC， ∴DE＝AB＝12，∠DEC＝90°； ∵点M是DE的中点， ∴， 根据三角形的三边关系可得|AC﹣CM|≤AM≤AC+CM， ∴AM的最大值为， AM的最小值为． 故选：B． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为 　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝30°， ∵△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置， ∴∠ECA＝∠BCD＝30°，CE＝AC， ∴△ACE是等腰三角形， ∴∠CAE（180°﹣30°）＝75°， 故答案为：75°． 题型3 旋转对称图形 解｜题｜知｜识 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 【典例1】风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 【答案】B 【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：B． 【变式1】一个正三角形绕其两条中线交点旋转后和原图形重合，则可能旋转了多少度（　　） A．180° B．240° C．90° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵BE和CF分别是△ABC的高线， ∴∠EBC＝∠FCB＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故正三角形ABC的中心角为120°， ∴当△ABC绕点O旋转120°的整数倍的度数时，所得图形会和原图形重合， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式2】如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45 B．60 C．72 D．144 【答案】C 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为72． 故选：C． 【变式3】如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　120　 度，可与其自身重合． 【答案】120 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 题型4 作图-旋转变换 解｜题｜知｜识 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【典例1】如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、A均为所在小正方形一边的中点时，OA的长度为　　 个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A关于点O的中心对称的点B，再画出点B向下平移3个单位长度后得到的点B′，并简要说明点B和点B′的位置是如何找到的．（图中画线不多于5条）A和B到O的水平距离相等，得到点A关于点O的中心对称的点B，再证明点O、D为所在小正方形一边的中点，即可证明△ODC≌△B′DB（AAS）得到OC＝B′B＝3．　 【答案】（1）； （2）A和B到O的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、D为所在小正方形一边的中点，即可证明△ODC≌△B′DB（AAS）得到OC＝B′B＝3 【解答】解：（1）当点O、A 均为所在小正方形一边的中点时，点O与点A分别左右距离1格，上下距离2格，， 故答案为：； （2）先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点B′，如图所示： 理由如下：如图，可以证明△AON≌△BOM（AAS）得到OA＝OB，即可得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明△GOH≌△JOI（AAS）得到OG＝OJ，即可得到点O为所在小正方形一边的中点， 把O向下平移3个单位长度到C，连接CB与正中间水平线交点为D，可以得到D为CB中点，即DB＝DC，连接OD与O右边1格的竖直线交点即为点B′，即可证明△ODC≌△B′DB（AAS）得到OC＝B′B＝3，即点B 向下平移3个单位长度后得到的点B′． ， 故答案为：A和B到O的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、D为所在小正方形一边的中点，即可证明△ODC≌△B′DB（AAS）得到OC＝B′B＝3． 【变式1】如图，点P是边长为4的正方形ABCD外一点，且∠P＝90°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连接DQ． （Ⅰ）∠DQA的大小为　90　 （度）； （Ⅱ）点M是CD的中点，连接MQ，则MQ的最小值为　22　 ． 【答案】（1）90； （2）． 【解答】解：（1）∵线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ， ∴∠PAQ＝90°，AP＝AQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB，则∠DAB＝∠PAQ， ∴∠DAB﹣∠QAB＝∠PAQ﹣∠QAB，即∠DAQ＝∠BAP； 在△DAQ和△BAP中， ； ∴△DAQ≌△BAP（SAS）； ∴∠DQA＝∠P＝90°， 故答案为：90； （2）由（1）知∠DQA＝90°， ∴点Q在以AD为直径的圆上运动（直角所对的弦是直径）， 如图：设AD的中点为O，则O为圆心，， ∵点M是CD的中点，正方形边长为4， ∴OD＝2，DM＝2，且AD⊥CD， ∴△ODM是等腰直角三角形． ， 当M、Q、O三点共线时，MQ取得最小值22， ∴MQ的最小值为． 故答案为：． 【变式2】如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为　（﹣2，3）　 ； （2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为　（﹣2，﹣4）　 ； （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，3）． 故答案为（﹣2，3）． （2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣2，﹣4） 故答案为（﹣2，﹣4）． （3）如图，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）． 故答案为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）． 【变式3】如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（其中A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）再将线段AB绕点B1顺时针旋转90°得到线段A2B2，请画出线段A2B2； （3）在网格内描出两个格点M，N，请画出直线MN，使得直线MN垂直平分线段A2B2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，线段A2B2即为所求； （3）如图，直线MN即为所求． 题型5 利用旋转设计图案 解｜题｜知｜识 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 【典例1】如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转α后所得到的图形与原图形重合，则旋转角α的值不可能是（　　） A．36° B．72° C．216° D．288° 【答案】A 【解答】解：由题知，若将五角星的五个外部的顶点连接起来，将得到一个正五边形． ∵360°÷5＝72°， ∴当五角星绕其中心旋转72°整数倍的度数后，会与原图形重合． 72°×2＝144°，72°×3＝216°，72°×4＝288°， ∴旋转角α的值不可能是36°． 故选：A． 【变式1】将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是： 故A、B、C选项不正确，D选项正确， 故选：D． 【变式2】如图为杭州亚运会吉祥物中的莲莲，下列不能由莲莲旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意知， 不能经过旋转得到，而是由原图形经过轴对称变换得到， 故选：C． 【变式3】如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　45　 度形成的． 【答案】45 【解答】解：本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成． 所以旋转角为45°． 故答案为：45． 过 关 验 收 1. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解答】解：①时针转动，是旋转；故本项符合题意； ②电风扇叶片的转动，是旋转；故本项符合题意； ③转呼拉圈，不只是旋转；故本项不符合题意； ④传送带上的电视机，不是旋转；故本项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据旋转的性质和胶滚上的图案可知，横向状态转为正立状态，胶滚滚出的图案是． 故选：A． 3. 下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是 　①②　 ． 【答案】①②． 【解答】解：根据“一个图形绕着某一个点，按照一定的方向，旋转一定的角度”可知，①②是旋转，而③④是平移， 故答案为：①②． 4. 钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了　270　 度． 【答案】270 【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟， 则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°， 那么45分钟，分针旋转了45×6°＝270°． 故答案为：270． 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（　　） A．25° B．35° C．40° D．85° 【答案】B 【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′， ∴∠BOB′＝60°． ∵∠AOB＝25°， ∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝60°﹣25°＝35°． 故选：B． 6. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC＝5，则B′C的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′， ∴AB′＝AB， ∵点B′在边AC上，且AB＝2，AC＝5， ∴AB′＝AB＝2， ∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3， 故选：B． 7. 如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：如图，连接BF， 由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAE＝30°，BD＝4， ∴∠CBF＝30°， 即点F的运动轨迹为直线BF， ∴当DF⊥BF时，DF最短， 此时，DFBD4＝2， ∴DF的最小值是2， 故选：C． 8. 如图，△DEC是由△ABC绕点C旋转得到的，∠BAC＝20°，∠1＝70°，则旋转角的度数是（　　） A．90° B．75° C．70° D．20° 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝20°，∠1＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝90°， ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到的， ∴旋转角的度数是90°， 故选：A． 9. 如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A．60° B．72° C．75° D．90° 【答案】B 【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周， 所以360°÷5＝72°， 所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合， 那么这个角度至少为72°． 故选：B． 10. 图中的阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是（　　） A．30° B．45° C．120° D．90° 【答案】C 【解答】解：图中的图案可以被中心发出的射线分成6个全等的部分，因而旋转的角度是360°÷6＝60°， 所以旋转的角度可以是120°、240°等． 故选：C． 11. 一个正三角形绕其中心至少旋转 　120　 度，才能与自身重合． 【答案】120． 【解答】解：连接OA，OB， ∵正三角形的每个角的度数都是60°， ∴∠AOB＝2×60°＝120°， ∴一个正三角形绕其中心至少旋转120度，才能与自身重合， 故答案为：120． 12. 等边三角形至少旋转　120　 度才能与自身重合． 【答案】120 【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等， 所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合． 13. 如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D与点B对应，点E与点C对应），点D恰好落在BC上． （1）用尺规作出△ADE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝20°，DE交AC于点F，求∠EFC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点D，再以点A为圆心，AC的长为半径画弧，以点D为圆心，BC的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AD，AE，DE， 则△ADE即为所求． （2）由旋转得，∠ADE＝∠ABC＝65°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABC＝65°， ∴∠CDF＝180°﹣∠ABC﹣∠ADE＝50°， ∴∠EFC＝∠CDF+∠ACB＝50°+20°＝70°． 14. 如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，将△ABE顺时针旋转后得到△CBF． （1）指出旋转中心为点B 及旋转角的度数为　90　 °； （2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）B，90°； （2）AE⊥CF，理由见解析 【解答】解：（1）∵将△ABE顺时针旋转后得到△CBF， ∴旋转中心是点B，旋转角的度数是90°， 故答案为：B，90； （2）延长AE交CF于点M． 由旋转可知：△ABE≌△CBF， ∴AE＝CF（全等三角形的对应边相等），∠EAB＝∠BCF（全等三角形的对应角相等）． ∵∠AEB＝∠CEM，∠ABE＝90°， ∴∠ECM+∠CEM＝90°， ∴AE⊥CF． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3． （1）尺规作图：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，并使点C′落在边AB上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接B′B，求B′B的长． 【答案】（1）将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，如图1即为所求； （2）． 【解答】解：（1）将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，如图1即为所求； （2）如图2，连接B′B， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：， ∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′， ∴AC′＝AC＝4，B′C′＝BC＝3，∠AC′B′＝∠ACB＝90°， ∴∠BC′B′＝180°﹣∠AC′B′＝90°，BC′＝AB﹣AC′＝5﹣4＝1， 在Rt△BC′B′中，由勾股定理得：． 16. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点． （1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）所作图形如图所示； （2）所作图形如图所示． 17. 拼图游戏需要将形状各异的组件拼在一起，下列拼图组件是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 18. 九年（5）班同学在观看安全教育警示片时，发现如图的交通标志图案可以绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　120　 度． 【答案】120． 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴旋转的角度是120°的整数倍， ∴旋转的角度至少是120°． 故答案为：120． 19. 2024年是长征出发90周年暨新中国成立75周年．如图，这是一个五角星图案，将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重合，则至少旋转 　72　 °． 【答案】72． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合， 故答案为：72． 20. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为 　60（答案不唯一）　 度．（写出一个即可） 【答案】60（答案不唯一） 【解答】解：360°÷6＝60°， 则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合， 故答案为：60（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 28.1 图形的旋转 内 容 导 航 题型1 生活中的旋转现象 题型2 旋转的性质 题型3 旋转对称图形 题型4 作图-旋转变换 题型5 利用旋转设计图案 考 点 演 练 题型1 生活中的旋转现象 解｜题｜知｜识 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 【典例1】下列现象不是旋转的是（　　） A．传送带传送货物 B．飞速转动的电风扇 C．钟摆的摆动 D．自行车车轮的运动 【变式1】如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 【变式2】如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（　　） A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可 B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45° C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180 D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 【变式3】如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为　 　 ． 题型2 旋转的性质 解｜题｜知｜识 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 【典例1】数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时BE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【变式1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转α°（0°≤α°≤360°）至Rt△DEC的位置，点M为DE的中点，若BC＝6，则AM的最大值和最小值分别为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，将△ACB绕点C逆时针旋转到△CDE的位置，当CD⊥AB时，连接AE，则∠CAE的度数为 　 　 ． 题型3 旋转对称图形 解｜题｜知｜识 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 【典例1】风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 【变式1】一个正三角形绕其两条中线交点旋转后和原图形重合，则可能旋转了多少度（　　） A．180° B．240° C．90° D．60° 【变式2】如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45 B．60 C．72 D．144 【变式3】如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　 　 度，可与其自身重合． 题型4 作图-旋转变换 解｜题｜知｜识 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【典例1】如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、A均为所在小正方形一边的中点时，OA的长度为　　 个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A关于点O的中心对称的点B，再画出点B向下平移3个单位长度后得到的点B′，并简要说明点B和点B′的位置是如何找到的．（图中画线不多于5条）A和B到O的水平距离相等，得到点A关于点O的中心对称的点B，再证明点O、D为所在小正方形一边的中点，即可证明△ODC≌△B′DB（AAS）得到OC＝B′B＝3．　 【变式1】如图，点P是边长为4的正方形ABCD外一点，且∠P＝90°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，连接DQ． （Ⅰ）∠DQA的大小为 （度）； （Ⅱ）点M是CD的中点，连接MQ，则MQ的最小值为　 　 ． 【变式2】如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）． （1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标为　 　 ； （2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标为　 ； （3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　 　 ． 【变式3】如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（其中A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）再将线段AB绕点B1顺时针旋转90°得到线段A2B2，请画出线段A2B2； （3）在网格内描出两个格点M，N，请画出直线MN，使得直线MN垂直平分线段A2B2． 题型5 利用旋转设计图案 解｜题｜知｜识 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 【典例1】如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．如果将左上角图案绕某点O旋转α后所得到的图形与原图形重合，则旋转角α的值不可能是（　　） A．36° B．72° C．216° D．288° 【变式1】将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图为杭州亚运会吉祥物中的莲莲，下列不能由莲莲旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　 度形成的． 过 关 验 收 1. 在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 2. 如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（　　） A． B． C． D． 3. 下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是 　 　 ． 4. 钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了 　 度． 5. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（　　） A．25° B．35° C．40° D．85° 6. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时点B′恰在边AC上，若AB＝2，AC＝5，则B′C的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7. 如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8. 如图，△DEC是由△ABC绕点C旋转得到的，∠BAC＝20°，∠1＝70°，则旋转角的度数是（　　） A．90° B．75° C．70° D．20° 9. 如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A．60° B．72° C．75° D．90° 10. 图中的阴影旋转一个角度后，能互相重合，这个角度可以是（　　） A．30° B．45° C．120° D．90° 11. 一个正三角形绕其中心至少旋转 　 　 度，才能与自身重合． 12. 等边三角形至少旋转　 　 度才能与自身重合． 13. 如图，在△ABC中，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D与点B对应，点E与点C对应），点D恰好落在BC上． （1）用尺规作出△ADE（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝20°，DE交AC于点F，求∠EFC的度数． 14. 如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，将△ABE顺时针旋转后得到△CBF． （1）指出旋转中心为点B 及旋转角的度数为　 　 °； （2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3． （1）尺规作图：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，并使点C′落在边AB上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接B′B，求B′B的长． 16. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O都是格点． （1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 17. 拼图游戏需要将形状各异的组件拼在一起，下列拼图组件是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 18. 九年（5）班同学在观看安全教育警示片时，发现如图的交通标志图案可以绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　 　 度． 19. 2024年是长征出发90周年暨新中国成立75周年．如图，这是一个五角星图案，将此图案绕中心旋转一定角度后要与原图重合，则至少旋转 　 　 °． 20. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以 为 　 　 度．（写出一个即可） 学科网（北京）股份有限公司 $