30.2 三角形的内切圆（讲义，1大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，系统梳理其定义、内心概念（角平分线交点）、作法（确定圆心和半径）及公式（面积S=(a+b+c)r/2，直角三角形r=(a+b-c)/2），通过11个题型构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料以题型分层设计为亮点，典例与变式结合，培养数学思维（推理、运算）和模型意识，如直角三角形内切圆半径计算。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何问题解决能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 知识点一 三角形的内切圆 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内切圆的作法： 1）确定圆心：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心. 2）确定半径：过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 【技巧总结】 1）三角形的面积：如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积 2）直角三角形的内切圆半径：如果直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，则内切圆半径 3）在填空题或选择题中，可直接利用上述公式计算. 即学即练 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 3．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，点O为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 题型01 理解三角形内切圆的相关概念 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个 ①长度相等的两条弧是等弧②相等的圆心角所对的弧相等③平分弦的直径平分弦所对的弧④的圆周角所对的弦是直径⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等⑥三角形的内心是三条角平分线的交点⑦在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质与三角形外心和内心的性质，根据相关知识点，逐项判断正误即可． 【详解】解：①等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，长度相等不一定为等弧，不符合题意； ②相等的圆心角所对弧相等需在同圆或等圆中，不符合题意； ③平分弦的直径平分弦（非直径）所对的弧，不符合题意； ④圆周角定理，圆周角所对弦为直径，符合题意； ⑤三角形外心到顶点距离相等，但到三边距离不一定相等，不符合题意； ⑥三角形内心是角平分线交点，符合题意； ⑦在同圆或等圆中相等弦所对圆周角可能相等或互补，不符合题意． 正确的有④、⑥共2个， 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质．根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆周角定理逐一判断即可． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误； B．三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确； C．三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误； D． 同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误． 故选B． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据点是的内心，可得，可判断①正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，可判断④正确． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∴对应的圆心角相等， ∴， ∴，故①说法正确； 如图，连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，故②说法正确； ∵， ∵点为的中点， ∴线段经过圆心O， ∴， ∴成立，故③说法正确； ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④说法正确； 综上分析可知，①②③④正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，再确定哪个作图是作的三角形的两个内角的平分线，从而可得答案． 【详解】解：∵三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点， 观察各选项可得： 选项A中的作图是作的是三角形两边的垂直平分线，故不符合题意； 选项B中的作图是作的是三角形两边上高，故不符合题意； 选项C中的作图是作的是三角形两个内角的平分线，故符合题意； 选项D中的作图是作的是三角形两边上的中线，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，确定三角形的内切圆的圆心位置，利用三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键． 题型02 利用内心性质求内切圆半径（直角三角形） 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键． 先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为， ∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∵ ， 即， 解得：． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，由切线长定理得，，，由切线的性质定理得，，由勾股定理逆定理得，进而得四边形是正方形，从而得，设的半径为，则，，，再根据列方程，即可求解． 【详解】解：如图，中，，，，切三边于点、、，连接、， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为，则，，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理逆定理、正方形的判定和性质，根据题意作出图形，利用切线长定理结合直角三角形的边长关系建立方程是解题的关键． 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形内切圆，绝对值的非负性，乘方的非负性，求算术平方根． 由绝对值和平方的非负性可得a和b的值，再根据勾股定理确定斜边长，分斜边为c和b两种情况讨论，利用内切圆半径结合等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设第三边为c，的内切圆半径长为， 当c是斜边时，，则， 解得：； 当b是斜边时，同理可得； 故答案为：1或． 题型03 利用内心性质求内切圆半径（一般三角形） 典｜例｜精｜析 例3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，解直角三角形，根据等边三角形的性质，当剪下的圆与等边三角形的三边相切时，圆的半径最大，求出等边三角形的内切圆的半径即可． 【详解】解：如图，当剪下的圆与等边三角形的三边都相切时，圆的半径最大， 设等边三角形的内切圆的圆心为O，与相切于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵等边三角形的内切圆的圆心为O， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∵是等边三角形纸片，， ∴， ∴， ∴， ∴，即r的最大值是， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（    ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10 【答案】B 【分析】分别求出各三角形的内切圆半径，比较即可． 【详解】如图，任意一个三角形的内心O，分别过O作三边的垂线，垂足为D、E、F，连接， ∴ ∴ ∴三角形内切圆半径 A、∵三角形是等边三角形 ∴ ∴三角形内切圆半径； B、如图，中，，过A作于D， ∴， ∴， ∴ ∴三角形内切圆半径； C、如图，中，，过A作于D， 设， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴三角形内切圆半径； C、中，， ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴三角形内切圆半径； ∵ ∴内切圆半径最小的是4，10，10， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理，掌握内切圆半径与三角形周长和面积的关系是解题的关键． 4．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 题型04 利用内心的性质线段长 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点是的内心， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 【答案】 【分析】过内心作三角形三边的垂线，利用内心到三边距离相等的性质，结合判定四边形 为正方形，然后设正方形边长为，结合含角的直角三角形边长关系和的长度建立方程，求出正方形边长，再通过证明得到，结合外心的性质算出，最后在中用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作，，，连接， ，，， ，， 点为的外心， ， 点为的内心， ，平分， ， 四边形是正方形， ， 设正方形边长为，则， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内心和外心的定义与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的边长关系，掌握三角形内心和外心的性质是解题关键． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，连接，过点作于点，作于点，作于点，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得． 【详解】解：连接，过点作于点，作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∵为的外心， ∴， ∵为的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 题型05 利用内心的性质求周长 典｜例｜精｜析 例5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线长定理，三角形的内切圆，掌握圆的切线长定理是解答本题的关键．设与各边的切点分别为、、，与相切于点，根据切线长定理可得，，， ，，再由的周长为，，列式进行等量代换即可求得的周长． 【详解】解：如图，设与各边的切点分别为、、，与相切于点， ，，， ，， ，即， ， 的周长为， ， ， 即， ，   的周长为： ． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________． 【答案】21 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H， 则，，且， ∴， ∵，，且的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：21． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵点O是的内心， ∴分别是和的角平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为________． 【答案】54 【分析】作于点G，于点H，于点M，连接，，，，根据平分， 得到，根据推出，得到，易得O为的内心，得到，推出．根据推出，得到，根据，得到为等边三角形，得到，根据O为正的外心，得到，根据推出，得到，推出，根据的周长为18，得到的周长为54． 【详解】解：过点O作于点G，于点H，于点M，连接，，，，如图，      ∵是的平分线，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形，O是的外心， ∴O为的内心， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵O为的外心， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的周长的周长， ∵的周长为18， ∴的周长为． 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查了等边三角形，角平分线，全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形外心与内心的性质，直角三角形全等的判定和性质． 题型06 利用内心的性质求面积 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 【答案】28 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的性质，直角三角形内切圆的性质，勾股定理，完全平方公式及直角三角形的面积公式．利用直角三角形外接圆半径与斜边的关系求斜边，再通过内切圆半径公式求两直角边和，结合勾股定理和完全平方公式求两直角边乘积，最后计算面积． 【详解】解：如图，点O是的外心，点D是的内心，E、F、M是的内切圆与各边的切点， 设，，则有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为28， 故答案为：28． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 利用三角形内切圆的性质，三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半． 【详解】设的内切圆圆心为，切点为点，，，连接，，，，，， 则到各边的距离均等于内切圆半径， ，，， ， 的面积可表示为、、的面积之和，即，， ； 故答案是：． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是_________．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键． 设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、    在，，，， ∴， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， ∴． ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 题型07 利用内心的性质计算角度 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键． 连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：连接， ∵I是的内心，， ∴， ∵点O是的外心， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查三角形的内心和外心的性质，角平分线以及三角形内角和定理的应用，根据三角形的内心和外心得到对应的角相等，再结合角平分线得到对应角关系，结合三角形内角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设，如图， ∵点E为的内心， ∴，， ∵点F为的外心， ∴，， ∵的内心与的外心重合， ∴， ∵平分， ∴， ∵点E为的内心， ∴ ， 则， 解得， 那么，， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理等，根据等腰三角形的性质求出的度数是解决问题的前提．根据及的度数，求出，可知，由为内心，得、为、的平分线，则有，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为内心， ∴、为、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型08 三角形内心的应用 遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点可得角的平分线.由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心和切点、内心和顶点可得直角三角形，且内心和切点之间的距离等于三角形内切圆的半径. 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度． 【详解】解：如图所示，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 由平移的性质可知：，， ，， ，， ，， 阴影部分的周长为． 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：40． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__． 【答案】 【分析】连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则，证明得，在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长． 【详解】解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 题型09 三角形内切圆与外接圆综合 典｜例｜精｜析 例9．（江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______ 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心、内心的性质以及圆周角定理，熟练掌握对外心、内心的性质是解题的关键． 用三角形外心的性质和圆周角定理得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案． 【详解】解：∵是的外心，， 当点在优弧上时，如图： ∴， ∵是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当点在劣弧上时， 则， ∵是的内心，同理可得， ∴； 故答案为：或． 2．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____． 【答案】/140度 【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解． 分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是是外心， ∴， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 题型10 圆外切四边形模型 典｜例｜精｜析 例10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 题型11 内切圆与全等三角形综合证明 典｜例｜精｜析 例11．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________． 【答案】/0.5 【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵扇形与边相切于点， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴的半径． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的内切圆、完全平方公式的应用，熟练掌握三角形内切圆半径公式是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______． 【答案】 【分析】连接、、，过、、三点作，连接、，在优弧上取点，连接、，结合内切圆性质得，，根据三角形内角和定理可得，利用“边角边”证明，由全等三角形性质可得，结合圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据勾股定理求出，当点和点重合时，连接，结合等边对等角易推得是等边三角形，即点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动，则内切圆圆心的运动路径长即为劣弧的弧长，结合弧长公式即可得解． 【详解】解：如图，连接、、，过、、三点作，连接、， 在优弧上取点，连接、， 在扇形中，，动点沿弧从运动到， ， 点是内切圆圆心， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据圆内接四边形的性质可得，， ， ， ， ，， 又当点和点重合时，连接，如下图： 此时， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， 综上，点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动， 劣弧的弧长， 内切圆圆心的运动路径长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是内切圆性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、弧长计算公式，解题关键是通过计算的大小恒定推出内切圆圆心的运动轨迹． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 知识点一 三角形的内切圆 三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内切圆的作法： 1）确定圆心：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心. 2）确定半径：过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 【技巧总结】 1）三角形的面积：如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积 2）直角三角形的内切圆半径：如果直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，则内切圆半径 3）在填空题或选择题中，可直接利用上述公式计算. 即学即练 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（   ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 题型01 理解三角形内切圆的相关概念 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个 ①长度相等的两条弧是等弧②相等的圆心角所对的弧相等③平分弦的直径平分弦所对的弧④的圆周角所对的弦是直径⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等⑥三角形的内心是三条角平分线的交点⑦在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（    ） A．B．C． D． 题型02 利用内心性质求内切圆半径（直角三角形） 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______． 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________． 题型03 利用内心性质求内切圆半径（一般三角形） 典｜例｜精｜析 例3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（    ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10 4．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 题型04 利用内心的性质线段长 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 题型05 利用内心的性质求周长 典｜例｜精｜析 例5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为________． 题型06 利用内心的性质求面积 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是_________．    3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为_________． 题型07 利用内心的性质计算角度 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______． 题型08 三角形内心的应用 遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点可得角的平分线.由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心和切点、内心和顶点可得直角三角形，且内心和切点之间的距离等于三角形内切圆的半径. 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__． 题型09 三角形内切圆与外接圆综合 典｜例｜精｜析 例9．（江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______ 2．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 题型10 圆外切四边形模型 典｜例｜精｜析 例10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 题型11 内切圆与全等三角形综合证明 典｜例｜精｜析 例11．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $