30.1 直线与圆（讲义，3大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的定义、判定及性质，衔接圆的切线（定义、性质与判定定理）和切线长定理，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”为设计特色，通过典例精析与变式巩固，培养学生几何直观与推理能力。结合停车楔、不倒翁等生活实例，引导用数学眼光观察现实世界，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 知识点一 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相交，相切，相离，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有_______公共点时，这是我们就说这条直线与圆相交 直线和圆_______公共点时，这是我们就说这条直线与圆相切 直线和圆_______时，这是我们就说这条直线与圆相离 图示 公共点个数 _______个 _______个 _______个 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 符号表示 直线l与⊙O相交d＜r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d＞r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 知识点二 圆的切线 1）切线的定义：线和圆______________时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的______________. 【补充】实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线. 3）切线的判定定理：经过半径_______并且_______于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时，两个条件缺一不可：1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 即学即练 1．（2026·浙江台州·三模）如图，在中，是直径延长线上一点，与相切于点，连接，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 知识点三 切线长及切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_______，这一点和圆心的连线_______两条切线的夹角． 几何语言描述：如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以PA=PB， 即学即练 1．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．垂直平分 D． 3．（2026·江西上饶·一模）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 题型01 判断直线和圆的位置关系 根据已知的半径，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与圆的位置关系(可进一步推出直线与圆的公共点的个数)；反过来，根据已知的直线与圆的位置关系(可由直线与圆的公共点的个数推出)，可以求出半径的取值范围. 典｜例｜精｜析 例1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径 典｜例｜精｜析 例2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 5．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 题型04 直线与圆的最值问题 典｜例｜精｜析 例4．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为_______． 2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为______． 题型05 利用切线的性质求解 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度. 典｜例｜精｜析 例5．（2026·浙江台州·二模）如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·三模）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 3．（2026·河南周口·模拟预测）图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，所在圆的半径是，则点C与点的距离是_____． 题型06 切线的判定定理 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 典｜例｜精｜析 例6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，连接，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若的半径是3，，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东清远·一模）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，．求证：是的切线． 2．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，的平分线交于点，为边上的一点，，以点为圆心、的长为半径作．给出下面四个结论： ①；②为的切线；③；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有__________． 题型07 角分图模型 【解题大招】三个条件知二推一. 典｜例｜精｜析 例7．（2026年江苏省扬州市邗江区部分校九年级考前自测数学试题）如图，已知在中，，的平分线交边于点．以上点为圆心作，使经过点和点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，劣弧的长为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）． 变｜式｜巩｜固 1．（陕西省西安市临潼区2026年初中学业水平模拟考试数学试卷（5月））如图，点A，B，C，D均在上，且经过圆心，点C是的中点，过点C作，交的延长线于点E，延长，，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 题型08 应用切线长定理求解 典｜例｜精｜析 例8．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆大足·期末）如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是（    ）． A． B． C． D．6 3．（21-22九年级下·山东枣庄·周测）如图，，，分别与⊙相切于点E、F、G三点，且，，，则的长为_____． 4．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 题型09 应用切线长定理求证 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 题型10 切线的性质与判定综合 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 2．（25-26九年级上·山东·阶段检测）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 题型11 圆与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 例11．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 3．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 知识点一 直线与圆的位置关系 直线和圆共有三种位置关系，分别是相交，相切，相离，如下表所示： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，这是我们就说这条直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，这是我们就说这条直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，这是我们就说这条直线与圆相离 图示 公共点个数 2个 1个 0个 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 d＜r d=r d＞r 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 符号表示 直线l与⊙O相交d＜r 直线l与⊙O相切d=r 直线l与⊙O相离d＞r 从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置关系的判断. 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系． 先求二次函数的最小值，得到圆的半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，有最小值为， ∴的半径是， ∵圆心O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是2，到轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作， ∴到轴的距离是2，到轴的距离是3， ∴与轴相切，与轴相离，故选项正确，不符合题意； ∵， 则点在内，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴点在内，故选项错误，符合题意； 故选：D． 知识点二 圆的切线 1）切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 【补充】实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线. 3）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 用切线的判定定理时，两个条件缺一不可：1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径. 即学即练 1．（2026·浙江台州·三模）如图，在中，是直径延长线上一点，与相切于点，连接，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切线定理、圆周角定理、三角形内角和求解． 【详解】解：连接，如图， ， ∵为半径，与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在等腰三角形中，，以为圆心，为半径作，与相切于点，则阴影部分（与重合区域）的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出 ，结合等腰三角形性质得出 ，最后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 与 相切于点 ， ，即 ， ， 为等腰直角三角形 ， ， 阴影部分为扇形，半径 ，圆心角 ， ． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，C是中点，下列选项中不能判断 是的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直径所对的圆周角等于推导出，由C是中点得垂直平分，得，由等腰三角形的性质得，然后再利用各选项的条件逐一判定是否等于即可得解． 【详解】解：∵是的直径， ∴，即， ∵C是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵，是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ 是的切线，故本选项不符合题意； ∵要使为切线，需， ∴， ∴，但选项中没有给出， ∴不能判断 是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，切线的判定定理，等边对等角，垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 知识点三 切线长及切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 几何语言描述：如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，所以PA=PB， 即学即练 1．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（    ） A． B．是等边三角形 C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质． 根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点A，B， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，是等边三角形，故B选项正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，，故D选项错误，符合题意；， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 3．（2026·江西上饶·一模）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 【答案】/68度 【分析】连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 即， ，是的切线，切点为，， ， ， ． 【点睛】本题核心是圆内接四边形的对角互补、切线长定理，通过作辅助线转化角度，利用等腰三角形与内角和求解，关键是几何性质的综合应用． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 题型01 判断直线和圆的位置关系 根据已知的半径，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与圆的位置关系(可进一步推出直线与圆的公共点的个数)；反过来，根据已知的直线与圆的位置关系(可由直线与圆的公共点的个数推出)，可以求出半径的取值范围. 典｜例｜精｜析 例1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．要判断直线与的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析． 通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断位置关系． 【详解】解：∵直线与y轴的交点是， ∴， ∴定点B在上， ∴圆心到直线的距离一定不大于， ∴直线（k为常数）与的位置关系为相切或相交． 故选：D． 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径 典｜例｜精｜析 例2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解． 【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 5．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 题型04 直线与圆的最值问题 典｜例｜精｜析 例4．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】如图，连接，作于H，于K， ， ， ， ， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当C、O、H共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 题型05 利用切线的性质求解 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度. 典｜例｜精｜析 例5．（2026·浙江台州·二模）如图，切于点，交于点，交于点，连接，设，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质可得，利用平行线的性质得出，再根据圆周角定理求出，最后在中利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， 切于点， ，即， ， ， 是弧所对的圆心角， 是弧所对的圆周角， ， 在中，． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，过点作的切线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由题意可得，，由等腰对等角并结合三角形内角和定理得出，由切线的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：连接、， 由题意可得，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 2．（2026·江苏苏州·三模）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 【答案】/ 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为． 3．（2026·河南周口·模拟预测）图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，所在圆的半径是，则点C与点的距离是_____． 【答案】 【分析】先根据四边形内角和求出，再根据点C为的中点，求出，再利用弧长公式求的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，分别与相切于点A，B， ∴，， ∴， ∵， ∴， 根据题意得：点C为的中点， ∴， 则的长度为， ∴根据无滑动滚动可知：水平线上点C与点的距离为． 题型06 切线的判定定理 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 典｜例｜精｜析 例6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，连接，点E是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若的半径是3，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵以为直径作， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径是3， ∴直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴由（1）得． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东清远·一模）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，．求证：是的切线． 【答案】证明：如下图，连接， 为的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 【分析】连接，由是直径，得到，再由，，得到，由切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得． 【详解】略 2．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，的平分线交于点，为边上的一点，，以点为圆心、的长为半径作．给出下面四个结论： ①； ②为的切线； ③； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【分析】过点D作于F，根据和角平分线的性质可判断①正确；得到，从而证得是的切线，可判断②正确；证明，进而得证，再由，可知，可判断③正确；求得，即可得到，可判断④错误． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴是的切线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 即，③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，④错误． 题型07 角分图模型 【解题大招】三个条件知二推一. 典｜例｜精｜析 例7．（2026年江苏省扬州市邗江区部分校九年级考前自测数学试题）如图，已知在中，，的平分线交边于点．以上点为圆心作，使经过点和点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，劣弧的长为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)直线与相切．理由如下： 证明：连接． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切． (2) 【分析】（1）连接，由是的平分线，，可证得，进而有，即与相切； （2）由劣弧的长为，解得圆心角，与劣弧所围成的阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2） 解：∵， ∴， 又∵劣弧的长为， ∴， 解得，即, ∵， ∴， ∴， ， 阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为． 变｜式｜巩｜固 1．（陕西省西安市临潼区2026年初中学业水平模拟考试数学试卷（5月））如图，点A，B，C，D均在上，且经过圆心，点C是的中点，过点C作，交的延长线于点E，延长，，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是半径， 是的切线； (2)的长为． 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，进一步可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ，， ， ， ， ∴的长为． 2．（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，再证明，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由切线的性质得到的度数，再根据四边形的内角和为360度可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 题型08 应用切线长定理求解 典｜例｜精｜析 例8．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得，再说明，可得，，接下来根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 2．（25-26九年级上·重庆大足·期末）如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是（    ）． A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含直角三角形的性质，以及勾股定理．连接，根据题意求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，从而得出光盘的直径． 【详解】解：设圆心为点，连接． ∵， ∴， ∵和与相切， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴光盘的直径是． 故选：C． 3．（21-22九年级下·山东枣庄·周测）如图，，，分别与⊙相切于点E、F、G三点，且，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据切线长定理得到，，平分，平分，再证明，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：，，分别与⊙相切于点E、F、G三点， ，，平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ． 4．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 题型09 应用切线长定理求证 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理的应用； （1）证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； （2）根据（1）可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又∵， ∴ ∴； （2）解：根据（1）可得 ， ， ； ∴， ，与相切，， ． 在中，， ∴ ∴， ， 在中，． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理以及圆周角定理和扇形的面积公式，解题关键在于利用切线性质证明三角形全等． （1）连接，由圆周角定理可得，由是的切线且为切点，则，结合四边形内角和，，可得与相切． （2）连接，先证，，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：相切． 连接，如图 ， ． 是的切线且为切点， ． ， 在四边形中， ． 故． 与相切． （2）解：如图2，连接． ，是的切线， ． 在和中 ． ，． 在中， ， ． ． ． ． ． 题型10 切线的性质与判定综合 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在中，平分交于点O，以点O为圆心，长为半径的与相切于点B，与相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作，垂足为E，如图， ∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点B， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， 根据勾股定理，得， ∵，均为的切线，切点分别为点B和点E， ∴， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得，即， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 2．（25-26九年级上·山东·阶段检测）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； （2）证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 题型11 圆与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 例11．（2025·上海静安·二模）已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】本题主要考查了两圆位置关系，掌握两圆半径、圆心距的关系以及两圆不同位置关系时的公共点数成为解题的关键． 根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．内含 D．外切 【答案】B 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和一元二次方程的解法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）． 由两圆的半径分别是方程的两个根，可得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 【详解】解：∵， ， 解得：， ∵两圆的半径分别是方程的两个根， ∴两圆的半径和为4， ∵两圆的圆心距为5， ∴两圆的位置关系是：外离． 故选：B． 3．（2025·上海·模拟预测）在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，圆外切性质，熟练掌握是解题的关键．设的半径为，点到圆心的距离为，若，则点在外；若，则点在上；若，则点在内；反之亦然．两圆内切时，圆心距等于半径的差．根据的半径为5，内切于，可得的半径为10．由，比较的半径即可判断点A与的位置关系． 【详解】解：设的半径为，的半径为，与内切于点D，交射线于点E， 则点D在延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在外． 故答案为：外． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $