26.3 二次函数与一元二次方程同步讲义2026-2027学年数学九年级上册（人教版）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统梳理抛物线与x轴交点的判定（通过判别式△）、交点式应用，以及图象法求方程近似根的步骤，搭建从函数概念到方程求解的学习支架。 资料以题型分层设计为特色，通过典例与变式题培养推理意识，结合表格数据与图象分析发展几何直观和数据意识，课中助力教师引导探究，课后便于学生自主练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第26章 26.3 二次函数与一元二次方程 内 容 导 航 题型1 抛物线与x轴的交点 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 考 点 演 练 题型1 抛物线与x轴的交点 解｜题｜知｜识 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 【变式1】如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象与x轴有两个交点 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．当x＝2时，y有最大值﹣3 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＜y2，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 【变式5】已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）求△ABC的面积． 【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标． 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 解｜题｜知｜识 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的范围是（　　） x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【变式2】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 【变式3】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式： 　 ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ； （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； （4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 　 ． 【变式5】某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中 m＝　 　 ． x … ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y … 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 … （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出函数的一条性质　 　 ； （4）进一步探究函数图象解决问题： ①方程|x2﹣2x|有　 　 个实数根； ②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　 　 ．（精确到0.1） 【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 ． （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹． 过 关 验 收 1. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 2. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　 ． 3. 若抛物线与x轴交于点（﹣2，0）和点（3，0），且可由抛物线y＝﹣x2平移得到，则该抛物线的函数表达式为 　 ． 4. 已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的根为 　 ． 5. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），且其对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　 ． 6. 若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝ 　 　 ． 7. 已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是 　 ． 8. 如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（﹣1，0），且抛物线对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当x时，对应的函数值y＜0．有以下结论： ①abc＞0；②m+n；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t时，y1＞y2． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 10. 小明利用二次函数的图象估计方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 11. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 12. 根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28 13. 已知方程x2﹣2x﹣5＝0的一个近似解是﹣1.45，则这个方程的另一个近似解是　 　 ．（精确到0.01） 14. 根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　 　 .（精确到0.01） 15. 用图象法求方程的解． 16. 已知：由函数y＝x2﹣2x﹣2的图象知道，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程x2﹣2x﹣2＝0有一个根在﹣1和0之间． （1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 26.3 二次函数与一元二次方程 内 容 导 航 题型1 抛物线与x轴的交点 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 考 点 演 练 题型1 抛物线与x轴的交点 解｜题｜知｜识 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【典例1】若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 【答案】C 【解答】解：当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得 kx2﹣6x+3＝0有实根． 即b2﹣4ac＝36﹣12k≥0， 解不等式，得k≤3． 当k＝0时，函数是一次函数，与x轴交于（，0），满足题意． 所以k的取值范围为：k≤3． 故选：C． 【变式1】如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2没有实数根；④a+b≥m（am+b）．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：由图可得，抛物线开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线x＝1， ∴a＜0，c＞0，， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和（﹣2，0）之间， ∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故②错误； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线与直线y＝n﹣2有两个交点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣2有两个不相等的实数根，故③错误； 由图可知，当x＝1时，y取最大值a+b+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥m（am+b），故④正确； 综上可知，正确的结论为①④，共2个， 故选：B． 【变式2】对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．图象与x轴有两个交点 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．当x＝2时，y有最大值﹣3 【答案】D 【解答】解：∵yx2+x﹣4（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）， ∵a0， 当x＝2时，y有最大值﹣3，当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线与x轴没有公共点． 故选：D． 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＜y2，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点， ∴对称轴， ∵0＜m＜1， ∴，即， ∵a＜0， ∴b＜0， 故结论①错误； ∵0＜m＜1， ∴点（﹣1，1）与（m，1）距离为m+1＞1， ∵a＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当0＜x＜1时，﹣1＜x﹣1＜0，此区间内函数值均大于1， 即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1， 故结论②正确； 当a＝﹣1时，抛物线为y＝﹣x2+bx+c， 代入点（﹣1，1）得﹣1﹣b+c＝1， ∴c＝b+2， 设顶点纵坐标， 由①知，即， ∴， ∴﹣1＜b＜0， ∴ymax＜2， ∴方程ax2+bx+c＝2无实数解， 故结论③正确； 设对称轴， ∵a＜0，开口向下，且总有x1＞x2时y1＜y2， ∴x1和x2均在对称轴右侧， 要求当时，x2≥t， 即， ∴， 解得， 故结论④正确． 综上，正确结论有②③④，一共3个． 故选：C． 【变式4】已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）． （1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）Δ＝a2﹣8（a﹣3）＝a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8＝（a﹣4）2+8＞0， 则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点； （2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0， 解得：a＝3． 【变式5】已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C． （1）求点A，B的坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣6x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1， ∴点A的坐标为（﹣7，0），点B的坐标为（1，0）； （2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣6x+7＝7， ∴C点坐标为（0，7）， ∴△ABC的面积（1+7）×7＝28． 【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标． 【答案】（1）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k+1）] ＝4k2+8k+4 ＝4（k2+2k+1） ＝4（k+1）2， ∵无论k为何值时，（k+1）2≥0， ∴Δ＝4（k+1）2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）（3，0），（﹣1，0）． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k+1）] ＝4k2+8k+4 ＝4（k2+2k+1） ＝4（k+1）2， ∴Δ＝4（k+1）2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）图象的对称轴为直线x＝1， ∴k＝1， 即y＝x2﹣2×1×x﹣（2×1+1）＝x2﹣2x﹣3， 依题意，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴它与x轴的交点坐标分别为（3，0），（﹣1，0）． 题型2 图象法求一元二次方程的近似根 解｜题｜知｜识 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典例1】如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的范围是（　　） x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．2＜x＜3 D．3＜x＜4 【答案】A 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 故选：A． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围． 故选：C． 【变式2】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 【答案】D 【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2， ∴函数在0～1之间由正到负， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间， 故选：D． 【变式3】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式：y＝（x﹣1）2﹣4　 ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为 y1＞y2 ； （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根m，n（m＜n，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； （4）观察（1）中的图象知，当x＞0时，y的取值范围是 y≥﹣4　 ． 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4，画出该函数的图象如图所示； （2）y1＞y2； （3）方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根m、n如图所示； （4）y≥﹣4． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1； 当y＝0时，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝﹣3， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣3）， 故答案为：y＝（x﹣1）2﹣4， 画出该函数的图象如图所示． （2）由（1）得，抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜1， ∴y1＞y2， 故答案为：y1＞y2． （3）当y＝﹣2时，则x2﹣2x﹣3＝﹣2， ∴x2﹣2x﹣1＝0， 该方程的两个根即为抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣2的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）由函数图象可知，当x＞0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是y≥﹣4， 故答案为：y≥﹣4． 【变式5】某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝　1.25　 ． x … ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y … 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 … （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出函数的一条性质　当x＞2时，y随x的增大而增大　 ； （4）进一步探究函数图象解决问题： ①方程|x2﹣2x|有　4　 个实数根； ②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　0.4　 ．（精确到0.1） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|， 得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25， 即m＝1.25， 故答案为：1.25； （2）如图所示； （3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大； （4）①由函数图象知：函数图象与x有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x| 4个实数根． 故答案为4； ②如图， 由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4， 故答案为0.4． 【变式6】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）请你把已知的二次函数化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在平面直角坐标系中画出它的图象； （2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点，且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系为y1＞y2 ． （3）利用（1）中的图象表示出方程x2﹣2x﹣1＝0的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 如图， （2）抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵x1＜x2＜1， ∴y1＞y2； 故答案为y1＞y2； （3）如图，x1、x2为方程x2﹣2x﹣1＝0的两根． 过 关 验 收 1. 已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【答案】B 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 2. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　（﹣1，0）　 ． 【答案】（﹣1，0）． 【解答】解：∵点（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 3. 若抛物线与x轴交于点（﹣2，0）和点（3，0），且可由抛物线y＝﹣x2平移得到，则该抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣3）　 ． 【答案】y＝﹣（x+2）（x﹣3）． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（﹣2，0）和点（3，0）， ∴设抛物线表达式为y＝a（x+2）（x﹣3）， 由于抛物线可由y＝﹣x2平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，y＝﹣x2的二次项系数是﹣1， ∴a＝﹣1， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣3）． 4. 已知二次函数y＝x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3　 ． 【答案】x1＝1，x2＝﹣3． 【解答】解：由题意可知：抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∴（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴一元二次方程x2+2x+m＝0的根为1与﹣3； 即x1＝1，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝1，x2＝﹣3． 5. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），且其对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3，x2＝5　 ． 【答案】x1＝﹣3，x2＝5． 【解答】解：由题意可得：设另一个交点的坐标为（m，0）， ∴，解得m＝5， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（5，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣3，x2＝5． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝5． 6. 若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝ 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5， 故答案为：﹣5． 7. 已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是 x1＝1，x2＝3　 ． 【答案】x1＝1，x2＝3 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+m（m为常数）的对称轴为直线x2， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 所以关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3． 故答案为x1＝1，x2＝3． 8. 如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（﹣1，0），且抛物线对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）PM+PN最大值为4，此时P（2，﹣3）． 【解答】解：（1）∵已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（﹣1，0），且抛物线对称轴为直线x＝1， ， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A点的坐标为（﹣1，0）， ∴B（3，0）， 当x＝0，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC解析式为y＝kx+d， ， 解得， ∴直线BC表达式为y＝x﹣3， 设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）， 则由题意得N（0，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3）， ∴PN＝m，PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴PM+PN＝﹣m2+3m+m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当m＝2时，PM+PN取得最大值，最大值为4， 此时m2﹣2m﹣3＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， ∴P（2，﹣3）． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当x时，对应的函数值y＜0．有以下结论： ①abc＞0；②m+n；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t时，y1＞y2． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得： ，解得， ∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2， ∵当x时，对应的函数值y＜0， ∴aa+2＜0， ∴a， ∴﹣a，即b， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①不正确； ∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n， ∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2， ∴m+n＝4a+4， ∵a， ∴m+n，故②正确； ∵抛物线过（0，2），（1，2）， ∴抛物线对称轴为x， 又∵当x时，对应的函数值y＜0， ∴根据对称性：当x时，对应的函数值y＜0， 而x＝0时y＝2＞0， ∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在和0之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间，故③正确； ∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上， ∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2， 若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2， 即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1）， ∵a＜0， ∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1）， 解得t，故④不正确， 故选：B． 10. 小明利用二次函数的图象估计方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 【答案】C 【解答】解：根据表格得，当2.5＜x＜3时，﹣0.75＜y＜1， 则方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在2.5和3之间． 故选：C． 11. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（　　） x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2． 所以解的整数部分是1，十分位是1． 故选：C． 12. 根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28 【答案】B 【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c＝0时，3.24＜x＜3.25． 故选：B． 13. 已知方程x2﹣2x﹣5＝0的一个近似解是﹣1.45，则这个方程的另一个近似解是　3.45　 ．（精确到0.01） 【答案】3.45． 【解答】解：由题知， 方程x2﹣2x﹣5＝0的解可看成抛物线y＝x2﹣2x﹣5与x轴交点的横坐标， 因为该方程的一个近似解是﹣1.45，且抛物线y＝x2﹣2x﹣5的对称轴为直线x＝1， 则1﹣（﹣1.45）＝2.45，1+2.45＝3.45， 所以抛物线y＝x2﹣2x﹣5与x轴另一个交点的横坐标为3.45， 所以个方程的另一个近似解是3.45． 故答案为：3.45． 14. 根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　1.65　 .（精确到0.01） 【答案】1.65． 【解答】解：根据题意得： 6﹣5.9696＝0.0304， 6.0225﹣6＝0.0225， 0.0304＞0.0225， 可见6.0225比5.9696更逼近6， 当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65； 故答案为：1.65． 15. 用图象法求方程的解． 【答案】． 【解答】解：图象如下， ∴由图象可知抛物线与x轴的交点为 ， ∴原方程的解为． 16. 已知：由函数y＝x2﹣2x﹣2的图象知道，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程x2﹣2x﹣2＝0有一个根在﹣1和0之间． （1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围． 【答案】（1）方程的另一个根在2和3之间； （2）0＜c＜1． 【解答】解：（1）利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知， 当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0， 所以方程的另一个根在2和3之间； （2）函数y＝x2﹣2x+c的图象的对称轴为直线x＝1， 由题意，得， 解得0＜c＜1． 学科网（北京）股份有限公司 $