专题26.3 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心关联，系统构建从基础关系（图象与x轴交点即方程根）到交点问题（与坐标轴、一次函数），再到近似解、交点距离公式及不等式关系的递进式知识支架。 资料通过图表直观呈现判别式与交点个数的对应关系，培养几何直观（数学眼光），逆向推断参数题型强化推理意识（数学思维），分层练习（A/B/C组）助力应用能力提升（数学语言）。课中便于教师按题型授课，课后学生可通过即学即练与分层题查漏补缺。

专题26.3 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，会用图象法求一元二次方程的近似解。 2.掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够熟练运用它们的关系解决相关题目。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数与一元二次方程的互化关系：图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； （2）实际问题转化应用：将抛物线运动等实际问题转化为求解一元二次方程。 2.难点 （1）逆向确定参数：根据方程有无实数根，逆向推断二次函数抛物线顶点的位置或系数的值。 （2）解不等式问题：结合图象与x轴的交点，准确判断出“函数值大于0”或“小于0”时自变量x的取值范围。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．抛物线与轴交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为轴 B．当时，的值随值的增大而增大 C．一元二次方程的两个根均为正数 D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间 知识点02 二次函数与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题。 抛物线与y轴的交点是 。 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定。 当方程组有两组不同的解时两函数图象 ； 当方程组有一组解（两个相等的实数根，即二重根）时两函数图象 ； 当方程组无解时两函数图象 。 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【即学即练】 4．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 5．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 知识点03 二次函数图象求一元二次方程的近似解 图象法解一元二次方程 用图象法解一元二次方程的步骤： ①作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； ②确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与 的大致范围； ③在②确定的范围内，用计算器进行探索.即在②确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值； ④确定一元二次方程的近似根．在③中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程的近似根． 【即学即练】 7．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 8．已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（ ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 9．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A． B． C． D． 知识点04 二次函数与x轴的两个交点之间的距离公式 1.根与系数的关系 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 即 ． 【即学即练】 10．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 知识点05 二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下： 判别式 a>0 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 △＝0 △＜0 注：a＜0的情况请同学们自己完成。 【即学即练】 13．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C．或 D．或 14．已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况 【典例1】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查利用抛物线与 x 轴的交点个数判断一元二次方程根的个数，或根据图象、对称轴和一个交点确定另一个根。 （2）核心方法：方程 的根就是与 x 轴交点的横坐标；用判断根的情况，并结合对称轴利用对称性求根。 【变式1】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【变式2】二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【变式3】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【中考链接】如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 题型02 二次函数与坐标轴的交点 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 （1）考查方向：考查抛物线与x轴、y轴交点坐标的求法，以及根据交点个数或交点位置确定参数范围。 （2）核心方法：令 x=0 可得与 y 轴交点(0,c)，令y=0转化为一元二次方程求与 x 轴交点；涉及参数时，常用Δ>0、Δ=0、Δ<0判断交点个数。 【变式1】抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式3】把二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件_____． 【变式4】已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 x轴与二次函数的截线长 【典例1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 （1）考查方向：考查抛物线与 x 轴两个交点之间的距离，或由交点距离反求参数。 （2）核心方法：若抛物线与 x 轴交于 A(x1,0)、B(x2,0)，则AB=∣x1−x2∣；也可直接使用公式，其中。 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【变式2】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（ ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【中考链接】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 题型04 图像法确定一元二次方程的根 【典例1】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查根据函数图象或函数值表格，估算一元二次方程实数根所在区间或近似值。 （2）核心方法：方程的根对应函数值y=0时的x值，观察表格中函数值由正变负或由负变正的相邻区间，根就在该区间内；若求近似根，优先选择函数值最接近0的x值。 【变式1】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【中考链接】下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是( ) A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 题型05 根据函数图象求不等式的解集 【典例1】，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． （1）考查方向：考查利用二次函数图象求一元二次不等式的解集，或比较二次函数与一次函数的大小关系。 （2）核心方法：数形结合，先找交点横坐标作为分界点；解 ax2+bx+c>0看抛物线在x轴上方的部分，解ax2+bx+c<0看抛物线在x轴下方的部分，比较y1与y2时看两图象上下位置对应的x范围。 【变式1】二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 4．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（ ） A． B． C． D． 【中考链接】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， A组·基础过关 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，x的取值范围是； ③；④方程的两个根是，； ⑤当时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 4．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 5．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 6．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 7．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 8．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 9．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 10．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． B组·能力提升 11．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 12．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： … 0 1 3 … … 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A．这个函数的图象开口向下 B．当的值随值的增大而增大 C．这个函数的最小值等于 D．一元二次方程有一个实数根满足 13．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 14．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 15．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有________． 16．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 17．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 18．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 19．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． C组·拓展延伸 21．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 23．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，若，，则的值是（ ） A．2 B．1或2 C．0 D．1 24．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 25．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．下表中，记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（ ） x … 1 3 … y … 0 2 0 … A． B． C． D． 27．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 28．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 29．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 二次函数与一元二次方程 教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，会用图象法求一元二次方程的近似解。 2.掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够熟练运用它们的关系解决相关题目。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数与一元二次方程的互化关系：图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； （2）实际问题转化应用：将抛物线运动等实际问题转化为求解一元二次方程。 2.难点 （1）逆向确定参数：根据方程有无实数根，逆向推断二次函数抛物线顶点的位置或系数的值。 （2）解不等式问题：结合图象与x轴的交点，准确判断出“函数值大于0”或“小于0”时自变量x的取值范围。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程之间的关系： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 a>0 抛物线与x轴交于，（<）两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根 a<0 △＝0 a>0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 a<0 △＜0 a<0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与x轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点、顶点坐标的判定方法逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，其中，， ∵ ∴抛物线开口向上，故选项A错误． ∵对称轴为直线 ∴选项B错误． ∵当时，，即抛物线与轴交点为，而与轴交点需满足，故选项C错误． ∵将解析式配方得 ∴顶点坐标为，故选项D正确． 2．抛物线与轴交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 3．如图为二次函数的图象，下列表述正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为轴 B．当时，的值随值的增大而增大 C．一元二次方程的两个根均为正数 D．一元二次方程的一个根在3和3.5之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． 根据二次函数解析式可求解对称轴可判断A选项，根据函数的对称轴可判断函数的增减性可判断B选项，根据二次函数的图象与x轴的交点可判断CD选项． 【详解】解：A选项，二次函数为， ∴对称轴为，不是轴，故错误； B选项，当时，的值随值的增大而增大， 而，故错误； C选项，一元二次方程的两个根即为二次函数与x轴的交点， 由图象可知，该函数与x轴的交点一正一负， ∴一元二次方程的两个根一正一负，故错误； D选项，根据图象可知，二次函数与x轴正半轴的交点位于3和3.5之间， ∴一元二次方程的一个根在3和3.5之间，故正确 ． 故选：D ． 知识点02 二次函数与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题。 抛物线与y轴的交点是(0，c)。 抛物线与一次函数的交点个数由方程组的解的个数决定。 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有一组解（两个相等的实数根，即二重根）时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点。 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【即学即练】 4．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 5．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系是解题关键． 根据一次函数和二次函数图象与系数的关系解答． 【详解】解：中，当时，； 中，当时，； ∴两个函数同时经过点，即与y轴的交点为同一个点， ∴由选项得只有D选项符合题意 故选：D． 知识点03 二次函数图象求一元二次方程的近似解 图象法解一元二次方程 用图象法解一元二次方程的步骤： ①作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； ②确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围； ③在②确定的范围内，用计算器进行探索.即在②确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值； ④确定一元二次方程的近似根．在③中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程的近似根． 【即学即练】 7．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 8．已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（ ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的函数值估算一元二次方程的解；由表格数据可知，当时，；当时，，因此方程根m在1.3和1.4之间，然后对照选项判断即可. 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程根m在1.3和1.4之间， 即 ∴只有C项符合题意. 故选：C. 9．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 知识点04 二次函数与x轴的两个交点之间的距离公式 1.根与系数的关系 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 即． 【即学即练】 10．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值不可能是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，抛物线与x轴有两个交点等价于一元二次方程的判别式大于零，据此求解k的范围并对比选项，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 则， 解得 ， 结合四个选项，唯有A选项，即A选项符合题意； 故选：A． 11．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 12．如图，已知抛物线与x轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； (3)当时，x的取值范围是_________． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）令，求出点和点的坐标即可解决问题． （3）根据函数图像即可直接写出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题知，将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）令得， ， 解得，． 则． 所以的长为． （3）由图像可知：当时，或， 知识点05 二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下： 判别式 a>0 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 △＝0 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成。 【即学即练】 13．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 14．已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集是解题的关键．先把代入得，所以，整理得，由于任意实数x，不等式都成立，则把问题转化为抛物线不在x轴下方，即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点，利用根的判别式的意义得到，所以，然后利用非负数的性质确定． 【详解】解：把代入得，， ， ， 整理得， 对于任意实数x，都有， ∴抛物线不在x轴下方， 即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点， ， 即， 整理得， ， 即． 故答案为：． 15．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况 【典例1】抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． （1）考查方向：考查利用抛物线与 x 轴的交点个数判断一元二次方程根的个数，或根据图象、对称轴和一个交点确定另一个根。 （2）核心方法：方程 的根就是与 x 轴交点的横坐标；用判断根的情况，并结合对称轴利用对称性求根。 【变式1】已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【变式2】二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 【变式3】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【中考链接】如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程， 即， ∴方程的解是抛物线和直线的两个交点的横坐标， ∵抛物线和直线的两个交点分别为和， ∴关于的一元二次方程的解， 故选：D． 题型02 二次函数与坐标轴的交点 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． （1）考查方向：考查抛物线与x轴、y轴交点坐标的求法，以及根据交点个数或交点位置确定参数范围。 （2）核心方法：令 x=0 可得与 y 轴交点(0,c)，令y=0转化为一元二次方程求与 x 轴交点；涉及参数时，常用Δ>0、Δ=0、Δ<0判断交点个数。 【变式1】抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 【变式2】若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 【变式3】把二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件_____． 【答案】且 【分析】先通过二次函数平移规律得到平移后的抛物线解析式，再结合抛物线与坐标轴有三个公共点的要求，利用判别式判断与x轴的交点情况，同时排除抛物线过原点导致公共点个数不足的情况，进而确定m的取值范围． 【详解】解：， 向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后， 所得抛物线的解析式为：， 令，得，即交点为， ∵平移后抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴应满足的条件是且． 【变式4】已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数与x轴无交点，得出方程无实数根，再列出不等式求解． 【详解】解：∵二次函数与x轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 【中考链接】已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 题型03 x轴与二次函数的截线长 【典例1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． （1）考查方向：考查抛物线与 x 轴两个交点之间的距离，或由交点距离反求参数。 （2）核心方法：若抛物线与 x 轴交于 A(x1,0)、B(x2,0)，则AB=∣x1−x2∣；也可直接使用公式，其中。 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（ ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【中考链接】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 题型04 图像法确定一元二次方程的根 【典例1】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． （1）考查方向：考查根据函数图象或函数值表格，估算一元二次方程实数根所在区间或近似值。 （2）核心方法：方程的根对应函数值y=0时的x值，观察表格中函数值由正变负或由负变正的相邻区间，根就在该区间内；若求近似根，优先选择函数值最接近0的x值。 【变式1】二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 【中考链接】下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是( ) A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2， 故选：C 题型05 根据函数图象求不等式的解集 【典例1】，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． （1）考查方向：考查利用二次函数图象求一元二次不等式的解集，或比较二次函数与一次函数的大小关系。 （2）核心方法：数形结合，先找交点横坐标作为分界点；解 ax2+bx+c>0看抛物线在x轴上方的部分，解ax2+bx+c<0看抛物线在x轴下方的部分，比较 y1与 y2时看两图象上下位置对应的x范围。 【变式1】二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 3．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 4．已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 【中考链接】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． A组·基础过关 1．抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求时的函数值即可． 本题考查了抛物线与y轴的交点，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，， 故抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：C． 2．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，x的取值范围是； ③；④方程的两个根是，； ⑤当时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对称轴结合特殊点判断①，图象法判断②，图象与轴的交点个数判断③，对称性求出图象与轴的交点坐标，判断④，增减性判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象经过点， ∴， 又， ∴；故①错误； ∵图象关于对称轴对称， ∴关于对称轴的对称点为， ∴当时，x的取值范围是；故②错误； ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∴；故③正确； ∵图象与轴的两个交点坐标为，， ∴方程的两个根是，；故④错误； 由图象可知：当时，y随x增大而增大；故⑤正确； 综上：正确的有2个； 故选B． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线．若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为，根据图象可得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 由图象可知，时，x的取值范围是或． 故选：D． 4．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 5．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 6．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 7．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 8．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 9．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． B组·能力提升 11．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 【答案】D 【分析】利用函数图象平移即可求解． 【详解】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到， 而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣， 故与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧， 故有两个同号不相等的实数根， 故选：D． 12．下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： … 0 1 3 … … 6 … 下列各选项中，正确的是（ ） A．这个函数的图象开口向下 B．当的值随值的增大而增大 C．这个函数的最小值等于 D．一元二次方程有一个实数根满足 【答案】D 【分析】本题考查求二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，先利用待定系数法求出解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：将，，代入， 得：， 解得， ， 由得这个函数的图象开口向上，故A选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，当的值随值的增大而增大，故B选项错误； ，可得这个函数的最小值等于，故C选项错误； 由时，时，可知有一个实数根满足，故D选项正确； 故选D． 13．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的定义和利用判别式判断方程根的情况是解题的关键．先明确二次函数的定义，二次项系数不能为；再根据函数图象与轴有交点，可知对应的一元二次方程有实数根，即判别式，联立这两个条件求解的取值范围． 【详解】解：函数为二次函数， ，即， 图象与轴有交点， ， ， ， ， ， ， 且， 故选：C． 14．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 15．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点、点，则下列结论：①；②二次函数的最大值为；③；④；⑤当时，；其中正确的结论有________． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴， ∴，，， ∴故①不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，且开口向下，二次函数的最大值为， 故②正确； 由图象可知时，，即， 故③不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④不正确； ∵对称轴为直线，， ∴， 由图象可知，时，， 故⑤正确． 故答案为：②⑤． 16．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【答案】A 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程有实数根，从而可以求得的取值范围，从而可以得到的最大值． 【详解】解：由图象可得， 二次函数的最小值是， 一元二次方程有实数根， 即一元二次方程有实数根， 也就是与有交点， ， 解得， 的最大值是3， 故选A． 17．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________． 【答案】15 【分析】把点代入二次函数解析式可得，然后问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数解析式得：，则有， ∴； 故答案为15． 18．如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____． 【答案】 【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可． 【详解】解：连接PB， 对于抛物线y=-x2+k， 对称轴是y轴， ∴PC=PB， ∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长， ∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3）， ∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4， 把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2， 所以点B的坐标为（-2，0）， 所以BD=， 故答案为：． 19．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？ 【答案】(1)见解析；（2）当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 【分析】（1）若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可； （2）若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值． 【详解】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，即x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0， ∵△＝（2﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0， ∴方程x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）二次函数y＝（x﹣m）2+2（x﹣m）＝x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴x＝﹣＝0， 解得m＝1， ∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称． 20．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否存在点，使与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在，或或 【分析】（1）将点的坐标代入解析式求解即可； （2）令，求得点的坐标，根据三角形的面积公式求解即可； （3）设，边上的高为，则，根据与的面积相，求得，令解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴， 解得， 即， ； （2）存在，或或， 理由如下， 由，令， 即， 解得， ， ； （3）设，边上的高为， 与的面积相等， ， 是上的点， 则， 或， 解得或.， 或或． C组·拓展延伸 21．对于一个函数，自变量取时，函数值为，则称为这个函数的不动点．如果二次函数（为常数）有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式及二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，由题意得：不动点在一次函数图象上，由两个不动点，，满足，得时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值，即，求解即可。 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， 一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， 两个不动点，，满足， ∴时，一次函数的函数值小于二次函数的函数值， ， ∴ 故选：C 22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0， 故abc＜0，不正确，不符合题意； B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a， ∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0， 故不正确，不符合题意； C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c， ∴（m为任意实数）， ∴， ∵a＜0， ∴（m为任意实数） 故不正确，不符合题意； D．∵-=1，故b=-2a， ∵x=-1，y=0，故a-b+c=0， ∴c=-3a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-3a＜3， ∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意； 故选：D． 23．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设函数，，的图象与x轴的交点个数分别为，，，若，，则的值是（ ） A．2 B．1或2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点；由题意得，再由得，代入即可确定判别式的符号，从而确定答案． 【详解】解：∵函数，的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个， ∴， 即， ∵， ∴， 而， ∵， ∴， 即的图象与x轴的交点个数为0， ∴； 故选：C． 24．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标． 【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）， ∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，， ∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6， 解得：c＝0， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9， ∴顶点P的坐标为（3，﹣9）， ∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9）， 故选：A． 25．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④当时，；⑤．其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，观察表格得出信息是解题的关键． 先根据函数值相等的自变量值求对称轴，再根据时，确定抛物线的开口方向，根据表格可知当，，可得，进而根据对称轴可知b，即可判断①；然后根据表格可知当时，，再根据抛物线的对称性可知，可知另一个根是，判断②；求出，即可判断③；根据开口向上，对称轴为直线即可判断④；根据当时，，求出a的取值范围，然后表示m，n，可得的范围，即可判断⑤． 【详解】解：观察表格可知当和时，， ∴对称轴为直线． ∵当时，，，， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴抛物线的开口方向向上， ∴． 当，，可得． ∵对称轴为直线， ∴， ∴．故①正确； 当时，． 设另一个根是m，则， 解得， ∴和3是关于x的方程两个根．故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且当和时，， ∴当时，，故④正确； ∵当时，， ∴， 解得． 当时，，当时，， ∴， ∴， 即，故⑤错误． ∴正确的有4个， 故选：D． 26．下表中，记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围为（ ） x … 1 3 … y … 0 2 0 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得． 【详解】解：由、可得抛物线对称轴， 又由、以及对称轴可得， 抛物线与x轴的交点为、，则设抛物线交点式为， 与对比可得，解得， 二次函数表达式为， 当时，； 当时，； 当时，最大值， ， 当时，直线与该二次函数图像有两个公共点， ， 故选：D． 27．如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．观察图象，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线相交于，两点， 当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，此时， 故不等式成立时，的取值范围是． 故答案为： ． 28．平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，其中m为常数． (1)求b的值，并用含m的代数式表示c． (2)若二次函数在这个范围内有最大值6，求m的值． (3)设是抛物线上的两点，请比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)当，即时，，当，即时， 【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c； （2）将抛物线化成顶点式，由可得时，y取最大值，即，最后解一元二次方程即可； （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出、，求出分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ，． （2）解：由（1）得：， ， 时，y取最大值， ∵最大值是6，即时，， ， 解得，． （3）解：由（1）得： ， 是抛物线上的两点， ，， 当，即时，， 当，即时，． 29．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，设抛物线与轴交于点，顶点为，过点作轴的平行线交抛物线另一点，能否是直角三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． (3)若，点也在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能，，； (3)，． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积问题； （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当能否是直角三角形时，由函数的对称性，则为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）由＜得到＜则＜，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点、、， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令， 则， 即抛物线与轴的交点坐标为：，； （2）能，理由： 当时，则抛物线的对称轴为直线， 当时，如下图， 当能否是直角三角形时， 由函数的对称性，则为等腰直角三角形， 则， 即，则， 即， 解得：； 当时， 同理可得：； 综上，； （3）， 即 则， 即， 当时，， 则， 同理可得：当时，， 即． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，求以、、、为顶点的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据（1）中抛物线的解析式可求出、两点的坐标； （3）由平移的性质可得出四边形是平行四边形，分三种情况画出图形，然后根据平行四边形的面积公式确定面积取得最大值的情况，最后计算出该平行四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线且过点， ∴ 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）令，得， ∴， 令，得， 解得：，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）由平移的性质可知，且， ∴四边形为平行四边形， 如图，符合条件的四边形有三个， 即□，□，□， ∴，，， ∵，， ∴□的面积最大， 令，得， 解得：，， ∴，， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $