25.3 实际问题与一元二次方程同步讲义2026-2027学年数学九年级上册（人教版）

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，前承一元二次方程解法，通过“由实际问题抽象方程”（审清数量关系、找等量关系、设未知数）与“方程应用”（数字、增长率、形积、运动点问题）两大题型搭建学习支架，系统衔接知识与实践。 资料以情境化典例（如矩形花园小路、销售利润）及变式设计为亮点，通过具体实例培养学生用数学眼光观察现实的抽象能力，借解题六字诀提升数学思维的推理能力，以列方程过程强化数学语言的模型意识。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

第25章 25.3 实际问题与一元二次方程 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【典例1】如图，在长80m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽xm应满足的方程是（　　） A．（40﹣x）（80﹣x）＝320 B．（40﹣2x）（80﹣3x）＝320 C．（40﹣x）（80﹣x）＝2880 D．（40﹣2x）（80﹣3x）＝2880 【答案】D 【解答】解：根据题意空白部分的面积占到总面积的得：， 整理得（40﹣2x）（80﹣3x）＝2880． 故选：D． 【变式1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【答案】A 【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 故选：A． 【变式2】如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B 【解答】解：根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520， 故选：B． 【变式3】某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 【变式4】甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【答案】C 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【变式5】随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为x，则根据题意可列方程为　10（1+x）2＝14.4　 ． 【答案】10（1+x）2＝14.4． 【解答】解：设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为x， 根据题意得：10（1+x）2＝14.4， 故答案为：10（1+x）2＝14.4． 【变式6】某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有x支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：x2﹣x﹣56＝0　 （结果化为一般式）． 【答案】x2﹣x﹣56＝0． 【解答】解：设共有x支队伍参加初赛， 根据题意得：， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 故答案为：x2﹣x﹣56＝0． 题型2 一元二次方程的应用 解｜题｜知｜识 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例1】某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 【答案】B 【解答】解：设降价的百分率为x， 由题意可得：40（1﹣x）2＝25.6， 解得：x1＝20%，x2＝180%（舍去）， 故选：B． 【变式1】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， x（x﹣1）÷2＝28， 解得x＝8或﹣7（舍去）． 故应邀请8个球队参加比赛． 故选：C． 【变式2】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，（　　）s后P、Q之间的距离等于4cm． A． B．2 C． D．或2 【答案】A 【解答】解：设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于4cm， ∵AP＝1•x＝x，BQ＝2x， ∴BP＝AB﹣AP＝6﹣x， ∴BP2+BQ2＝PQ2， 即（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2， 解得：x1，x2＝2（不合题意，舍去）． 答：点P、Q分别从点A、B同时出发，s后P、Q之间的距离等于4cm． 故选：A． 【变式3】某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（　　） A．18% B．20% C．32% D．36% 【答案】B 【解答】解：设平均每次降价百分率是x， 根据题意得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即平均每次降价百分率为20%． 故选：B． 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 【变式5】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为30%； （2）每个玩偶降价2元． 【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【变式6】综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为1600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列出方程：　（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600　 ，求得剪去的小正方形的边长为　10　 cm． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为608cm2．设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为　（50﹣a）　 cm，宽为　（40﹣2a）　 cm（用a的代数式表示），则可列方程为：a2﹣70a+696＝0　 ，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，　不可以　 （填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）． 【答案】（1）（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600；10；（2）（50﹣a），（40﹣2a）；否，理由见解析；（3）不可以． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， x1＝10，x2＝60（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm． 故答案为：（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600；10． （2）由题意，收纳盒的高为acm， ∴收纳盒底面的长为50﹣a（cm），宽为（40﹣2a）cm ∵收纳盒的底面积为608cm2， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 整理得，a2﹣70a+696＝0， ∴Δ＝（﹣70）2﹣4×696＝4900﹣2784＝2116＞0， ∴a． ∴a1＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12cm， ∵12＜18， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒，即否， 故答案为：（50﹣a），（40﹣2a），否． （3）玩具机械狗不可以完全放入该收纳盒，理由如下： 设剪去小长方形的宽为xcm，则折成长方体盒子高为xcm， 即LH＝GK＝xcm，长方体盒子的宽为HG＝（40﹣2x）cm， 当x＝18时，2x＝36， ∴HG＝40﹣36＝4＜15， 当x＝15时，HG＝40﹣30＝10＜18， 综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 故答案为：不可以． 过 关 验 收 1. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（　　） A．1+x+x2＝81 B．1+x+x（x+1）＝81 C．1+x+（1+x）2＝81 D．1+（1+x）2＝81 【答案】B 【解答】解：依题意得1+x+x（x+1）＝81． 故选：B． 2. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为1.2亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（　　） A．0.5（1+x）＝1.2 B．0.5（1﹣x）＝1.2 C．0.5（1+x）2＝1.2 D．0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝1.2 【答案】C 【解答】解：第三天票房数＝第一天×（1+x）×（1+x）， 即0.5（1+x）2＝1.2， 故选：C． 3. 某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．160（1+x）2＝450 B．160（1+x）+160（1+x）2＝450 C．160（1+x+x2）＝450 D．160+160（1+x）+160（1+x）2＝450 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：160（1+x）2＝450． 故选：A． 4. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 【答案】A 【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m， 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 5. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 【答案】B 【解答】解：∵九（1）班共有x名学生， ∴每名学生赠祝福卡（x﹣1）张． 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：B． 6. 拉布布（Labubu）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心IP，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是2.2万元和2.5万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．2.2（1﹣x）2＝2.5 B．2.5（1﹣x）2＝2.2 C．2.2（1+x）2＝2.5 D．2.5（1+x）2＝2.2 【答案】C 【解答】解：设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为x，则7月拉布布的销售额为2.2（1+x）万元，8月拉布布的销售额为2.2（1+x）2万元， 由题意得：2.2（1+x）2＝2.5， 故选：C． 7. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为（　　） A．x2+πx2＝252 B．（2x）2+πx2＝252 C．x2+2πx2＝252 D． 【答案】D 【解答】解：∵正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，正方形田的边长与圆形田的直径相等．设正方形田的边长为x， ∴x2+π（）2＝252． 故选：D． 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2可得： ， 故选：D． 9. 如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给DeepSeek发送消息 88深度思考（R1）联网搜索+ A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 【答案】A 【解答】解：设这个数为x， 由题意得：x2﹣x+1＝x， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 这个数为1， 故选：A． 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为　20%　 ． 【答案】20%． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：25（1+x）2＝36， 整理得，25x2+50x﹣11＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故答案为：20%． 11. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为　2　 cm． 【答案】2． 【解答】解：设长方体长为xcm、宽为ycm，则小正方形的边长为， 根据题意列方程组得，， 由①得x＝2y﹣4③， 将③代入②得（2y﹣4）y＝48， 则根据题意列一元二次方程得，y2﹣2y﹣24＝0， ∴（y﹣6）（y+4）＝0， 解得y＝6或y＝﹣4（不符合题意，负值舍去）， 解得， ∴剪去的正方形的边长为， 故答案为：2． 12. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用400元购买笔记本，300元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）每本笔记本的单价为4元，每个套尺的单价为6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解答】解：（1）设每本笔记本的单价是x元， 由题意列分式方程得：， 解得x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， ∴10﹣x＝10﹣4＝6， 答：每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． （2）设每个套尺的售价为m元， 由题意得：笔记本的总获利为50×（8﹣4）＝200元，套尺每个获利为（m﹣6）元， 套尺的日销量为， 根据题意列一元二次方程：200+（m﹣6）（150﹣10m）＝400， 解得m＝10或m＝11， ∵降价幅度不超过10%， ∴， 解得：m≥10.8， ∴m＝11， 答：每个套尺的售价为11元． 13. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得2250（1+x）2＝3240， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设增加y条生产线，则 （900﹣30y）（y+1）＝3900． 解得y1＝4，y2＝25（不符合题意，舍去） 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 14. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20%； （2）元． 【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得： 5000（1+x）2＝7200， （1+x）2＝1.44， 1+x＝±1.2， 1+x＝1.2或1+x＝﹣1.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%； （2）设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得： （10﹣m﹣5）（500+200m）＝2800， 解得：， ∵为了让游客尽可能得到优惠， ∴， 即售价应降低元． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍， ∴PD＝2PQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2， ∵PD2＝4 PQ2， 当0＜t≤5时， ∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]， 解得：t1＝3，t2＝7（不合题意舍去）； 当5＜t≤8时， PD2， ∵PD＝2PQ， ∴PQ， 综上所述：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）当0＜t≤5时， 设x秒后△DPQ的面积是24cm2， 则8×2x（10﹣2x）•x（8﹣x）×10＝80﹣24， 整理得x2﹣8x+16＝0 解得x1＝x2＝4， 当5＜t≤8时， 设t秒后△DPQ的面积是24cm2， 则10x＝24， 解得：x（不合题意舍去）， 综上所述，4秒后，△DPQ的面积是24cm2． 16. 列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． （1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天． （2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值． 【答案】（1）甲原计划需要5天，乙原计划需要4天； （2）m＝5． 【解答】解：（1）设甲原计划需要x天， ， 解得x＝5， 经检验，x＝5，是原分式方程的解， ∴x﹣1＝5﹣1＝4， ∴甲原计划需要5天，乙原计划需要4天； （2）5×（500﹣20m）（20+m）＝400×20×4+18000， ∴m＝5或m＝0（不符合题意，舍去）． ∴m＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 25.3 实际问题与一元二次方程 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 题型2 一元二次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元二次方程 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【典例1】如图，在长80m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽xm应满足的方程是（　　） A．（40﹣x）（80﹣x）＝320 B．（40﹣2x）（80﹣3x）＝320 C．（40﹣x）（80﹣x）＝2880 D．（40﹣2x）（80﹣3x）＝2880 【变式1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【变式2】如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【变式3】某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【变式4】甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【变式5】随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为x，则根据题意可列方程为　 　 ． 【变式6】某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有x支队伍参加初赛，则可列一元二次方程： 　 （结果化为一般式）． 题型2 一元二次方程的应用 解｜题｜知｜识 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【典例1】某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．25% D．30% 【变式1】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（　　）个球队参加比赛． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，（　　）s后P、Q之间的距离等于4cm． A． B．2 C． D．或2 【变式3】某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（　　） A．18% B．20% C．32% D．36% 【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【变式5】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【变式6】综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为1600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列出方程：　 　 ，求得剪去的小正方形的边长为　 　 cm． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为608cm2．设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为　 　 cm，宽为　 　 cm（用a的代数式表示），则可列方程为： 　 ，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，　 　 （填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）． 过 关 验 收 1. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（　　） A．1+x+x2＝81 B．1+x+x（x+1）＝81 C．1+x+（1+x）2＝81 D．1+（1+x）2＝81 2. 今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为1.2亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（　　） A．0.5（1+x）＝1.2 B．0.5（1﹣x）＝1.2 C．0.5（1+x）2＝1.2 D．0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝1.2 3. 某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（　　） A．160（1+x）2＝450 B．160（1+x）+160（1+x）2＝450 C．160（1+x+x2）＝450 D．160+160（1+x）+160（1+x）2＝450 4. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 5. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 6. 拉布布（Labubu）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心IP，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是2.2万元和2.5万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．2.2（1﹣x）2＝2.5 B．2.5（1﹣x）2＝2.2 C．2.2（1+x）2＝2.5 D．2.5（1+x）2＝2.2 7. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为（　　） A．x2+πx2＝252 B．（2x）2+πx2＝252 C．x2+2πx2＝252 D． 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 9. 如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给DeepSeek发送消息 88深度思考（R1）联网搜索+ A．1 B． C．﹣1 D．1或﹣1 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为　 　 ． 11. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为　 　 cm． 12. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用400元购买笔记本，300元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 13. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 14. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 16. 列方程解下列问题： 甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天． （1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天． （2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $