15.1图形的轴对称 同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的轴对称”核心知识点，系统梳理线段垂直平分线的性质（定义、垂直平分线段及外心性质）、生活中的轴对称现象（概念及实际应用）、轴对称的性质（对应点连线与对称轴关系）、轴对称图形（概念及常见图形），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如台球反射、交通标志）培养数学眼光，通过典例与变式题（如尺规作图求角度）发展推理意识，题型分层设计助力课中教学与课后查漏，提升几何直观与应用能力。

第15章 15.1 图形的轴对称 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 生活中的轴对称现象 题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：连接CD， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵DE垂直平分AC， ∴∠A＝∠ACD， ∵DB＝DE， ∴CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠A＝∠ACD＝∠BCD， ∴∠ACD（∠A+∠ACB）90°＝30°， ∴∠ACB＝2∠ACD＝60°． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13． 故选：A． 【变式3】12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 题型2 生活中的轴对称现象 解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【典例1】下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8． 故选：C． 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝35°， ∴∠2＝55°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝55°， 故选：C． 【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【解答】解：如图所示，该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式3】桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个． A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解： 由图可知可以瞄准的点有2个．． 故选：B． 题型3 轴对称的性质 解｜题｜知｜识 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典例1】已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】B 【解答】解：根据尺规作图基本要求逐项分析判断如下： ①如图是作∠ABC的角平分线，则该射线所在的直线为∠ABC的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段PQ所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段PQ，即该垂线不一定是线段PQ的垂直平分线，则该垂线不一定是线段PQ的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段MN的垂直平分线，则该垂线所在的直线为MN的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 【变式2】如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2， ∴△OAP≌△OAP1，△OBP≌△OBP2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠OPA＝∠OP1A，∠BOP＝∠BOP2，∠OPB＝∠OP2B，PA＝P1A，PB＝P2B， ∴∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2，∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B， ∵∠MON＝45°， ∴∠AOP+∠BOP＝∠MON＝45°， ∴∠AOP1+∠BOP2＝45°， ∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠BOP2+∠MON＝90°， ∴△P1OP2是直角三角形， ∴∠OP1A+∠OP2B＝90°， ∴∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B＝90°， 即∠APB＝90°， ∴△APB是直角三角形， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∵PA＝P1A，PB＝P2B， ∴∠APP1＝∠AP1P，∠BPP2＝∠BP2P， ∵∠PAB是△APP1的外角，∠PBA是△BPP2的外角， ∴∠PAB＝∠APP1+∠AP1P＝2∠APP1，∠PBA＝∠BPP2+∠BP2P＝2∠BPP2， ∴∠PAB+∠PBA＝2∠APP1+2∠BPP2＝90°， ∴∠APP1+∠BPP2＝45°， ∴∠P1PP2＝∠APP1+∠BPP2+∠APB＝45°+90°＝135°． 故选：C． 【变式3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合． （1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数； （3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式． 【答案】（1）70°； （2）65°； （3）∠1+∠2＝2∠A． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°； （2）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴，， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∵∠1+∠2＝130°， ∴； （3）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴，， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A． 题型4 轴对称图形 解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【典例1】下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 【变式2】下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 过 关 验 收 1. 如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠DAF＝30°，则∠BAC的度数是（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【答案】D 【解答】解：∵DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线， ∵DA＝DB，FA＝FC， ∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C， ∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C， ∵∠DAF＝30°， ∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C＝180°﹣30°＝150°， ∴∠DAB+∠FAC＝75°， ∴∠BAC＝75°+30°＝105°． 故选：D． 2. 如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（　　） A．x+y＝90° B．x﹣2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360° 【答案】D 【解答】解：∵O为三条边的垂直平分线的交点， ∴点O为△ABC的外心， ∴x＝2∠A， ∵I为三个角的平分线的交点， ∴点I是△ABC的内心， ∴y＝90°A， ∴y＝90°x， ∴4y﹣x＝360°， 故选：D． 3. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 【答案】A 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处， 故选：A． 4. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．82° 【答案】A 【解答】解：法一、∵DE垂直平分AB，∠A＝36°， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°． 故选：A． 法二、∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠DBC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°． 故选：A． 5. 如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处 B．AC、AB两边高线的交点处 C．AC、AB两边中线的交点处 D．AC、AB两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 6. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【解答】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处， 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　19　 cm． 【答案】19． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm， 又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm， ∴AB+BD+CD＝13cm， 即AB+BC＝13cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm． 故答案为：19． 8. 如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交点O，若∠BOC＝148°，则∠BIC＝　127°　 ． 【答案】127°． 【解答】解：如图，连接OC， 由条件可知OA＝OB＝OC， ∴∠CBO＝∠BCO，∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO， 又∵∠BOC＝148°， ∴∠OBC＝∠OCB＝16°， ∠BAC＝∠BAO+∠CAO ＝∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO ＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ＝180°﹣16°﹣16° ＝74°， ∴∠BIC＝180°﹣∠IBC+∠ICB＝180°﹣12180°﹣∠BAC＝127°， 故答案为：127°． 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．18° B．19° C．20° D．21° 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝100°， ∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合， ∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°， ∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°， 故选：C． 11. 如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称， ∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN， 故选项A、B、C正确，不符合题意； AB∥B1C1不一定成立， 故选项D错误，符合题意； 故选：D． 12. 《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：能由如图经过轴对称得到的是第二个图形． 故选：B． 13. 如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称， ∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确， AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接．AD．，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则∠BDO的度数为　30°　 ； 【答案】30°． 【解答】解：设AD交y轴于E，如图， ∵△ABO为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴∠AOE＝90°﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°， ∵点A关于y轴的对称点为D， ∴∠AOE＝∠DOE＝30°， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOE+∠DOE＝120°，OA＝OD， ∴OB＝OD， ∴， 故答案为：30°． 15. 如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　15　 ． 【答案】15 【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N． ∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15． 故答案为：15 16. 如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角．已知OA＝3km，牧民赶着羊从A地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？　能　 ．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由　3km ． 【答案】（1）能； （2）3km． 【解答】解：（1）由“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）作点A关于OM的对称点A1，作点A关于ON的对称点A2，连接A1A2，分别交直线OM，ON于点B，C，连接AC，AB，AC+AB+BC即为放牧所走的最短路线，如图， 连接OA1，OA2， 由条件可知A1B＝AB，A2C＝AC，∠A1OB＝∠AOB，∠A2OC＝∠AOC，OA1＝OA2＝OA＝3km， 即AC+AB+BC＝A2C+A1B+BC＝A1A2，∠A1OA2＝∠A1OB+∠A2OC+∠AOB+∠AOC＝2（∠AOB+∠AOC）＝60°， ∵OA1＝OA2， ∴△OA1A2是等边三角形， ∴OA1＝OA2＝A1A2＝3km． 故答案为：3km． 17. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项D的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项A、B、C的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 18. 第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 19. 下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 20. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，正确，符合题意， 故选：D． 21. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：C选项中的图形是轴对称图形，符合题意； A、B、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 22. 殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 23. 下列三角形一定是轴对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意； B．锐角三角形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； C．直角三角形不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； D．钝角三角形不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 24. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意知，B，C，D三个选项中的图形均不是轴对称图形，只有选项A中的图形是轴对称图形． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 15.1 图形的轴对称 内 容 导 航 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 生活中的轴对称现象 题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形 考 点 演 练 题型1 线段垂直平分线的性质 解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式2】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　） A．13 B．5 C．8 D．26 【变式3】12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 题型2 生活中的轴对称现象 解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【典例1】下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3】桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个． A．1 B．2 C．4 D．6 题型3 轴对称的性质 解｜题｜知｜识 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典例1】已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．①和② 【变式1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【变式2】如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．150° 【变式3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合． （1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数； （2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数； （3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式． 题型4 轴对称图形 解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 【典例1】下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1. 如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠DAF＝30°，则∠BAC的度数是（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 2. 如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（　　） A．x+y＝90° B．x﹣2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360° 3. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　） A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 4. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（　　） A．72° B．36° C．60° D．82° 5. 如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处 B．AC、AB两边高线的交点处 C．AC、AB两边中线的交点处 D．AC、AB两边垂直平分线的交点处 6. 如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm． 8. 如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交点O，若∠BOC＝148°，则∠BIC＝　 　 ． 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．18° B．19° C．20° D．21° 11. 如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1 12. 《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　） A． B． C． D． 13. 如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接．AD．，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则∠BDO的度数为　 　 ； 15. 如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　 　 ． 16. 如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角．已知OA＝3km，牧民赶着羊从A地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？　 　 ．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由　 ． 17. 交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 18. 第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 19. 下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 20. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 21. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 22. 殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 23. 下列三角形一定是轴对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 24. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $