15.1图形的轴对称 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦垂直平分线性质与判定，分层设计基础应用、综合计算、推理证明三阶练习，通过几何直观与推理能力培养，实现从概念理解到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|垂直平分线性质直接应用|选择填空题考查线段相等、角度计算，培养几何直观| |提升|性质与三角形周长结合|填空题通过周长转化训练符号意识，衔接课时重点| |综合|性质与判定综合证明|解答题证明三线交于一点，发展推理能力与逻辑表达|

1. 如图，，，的垂直平分线 交于点，则（ ）． A. B. C. D. D ∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 的垂直平分线为 ． ， ， ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 2. 如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长为， ，则的周长是 ． ∵ ∴ ∴ 垂直平分 ， ， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 3. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（ ）． A. B. C. D. A ∵ 是 的垂直平分线， ， 的周长 ． ∴ 则 故选： ， 【知识点】三角形的周长与面积问题 4. 如图，在中，的垂直平分线 交于点，连接．若，，则的周长是 ． ∴ ∵ ∵ 是 垂直平分线上的点， ， 的周长为： ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 5. 已知中，垂直平分，如果的周长为，，则的周长为 ． ∵ 垂直平分 ， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 6. 如图，中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则 长为 ． 的周长： 的周长： ， ， ∵ ∴ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 7. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为 ． ∴ 则 ∵ 是 的垂直平分线， ， 的周长 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 8. 如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长是（ ）． A. B. C. D. C ∴ ∵ 是 ， 中 边的垂直平分线， ∴ 故选 ． 的周长 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 9. 如图 中， 是 的垂直平分线， 的周长为 ， ，则 的周长 为 ． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 是 ， 的周长为 的垂直平分线， ， ， ， 的周长 ， 故答案为： ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 1. 在内一点满足，则点一定是（ ）． A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条中线的交点 B ∵在 ∴点 一定是 内一点 满足 三边垂直平分线的交点． ， 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 2. 三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）． A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 B 三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选： ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 3. 下列说法; ①两边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形全等． ②角的对称轴是角的平分线． ③两边对应相等的两直角三角形全等． ④成轴对称的两个图形一定全等． ⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．正确的有（ ）个． A. B. C. D. A ①两边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形不一定全等，①错误． ②角的对称轴是角的平分线所在的直线，②错误． ③两边对应相等的两直角三角形不一定全等，③错误． ④根据轴对称的性质可得，成轴对称的两个图形一定全等，④正确． ⑤根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，⑤正确． 综上，选 ． 【知识点】多解或多种判定混合 4. 已知，如图，在中，边、的垂直平分线相交于点．求证：点在的垂直平分线上． 证明见解析． 连接 ， ， ． ∵边 ∴ ∴点 ， 的垂直平分线相交于点 ， ， ， ， 在 的垂直平分线上． 【知识点】三角形的三心 5. 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）点是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）在，结论见解析． （ 1 ）由垂直平分线的性质可知， ； 同理，由垂直平分线的性质可知， ，所以， （ 2 ）∵ ，由垂直平分线的判定可知，点 也在边 . 的垂直平分线上； 由此得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相 等．在后面学习“圆”时，将了解它是三角形的外心． 【知识点】三角形五心 6. 证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点． 证明见解析． 已知 边垂直平分线与 边垂直平分线交于点 ， 则有 则 ∴ 也在证毕． 的垂直平分线上 【能力】推理论证能力 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 7. 如图，， ，求证：直线是线段的垂直平分线． 证明见解析． ∵ ， ， ， ∴ ∴设则 ≌ ， 的延长线 ， 交于 ， ， ， ∵ ∴ ∴ ≌ 是线段 ， ，的垂直平分线． ， 【知识点】多解或多种判定混合 $ 1. 正五角星的对称轴有 条． 2. 一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 3. 如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）． A. B. C. D. 4. 钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 5. 把一张正方形纸片按如图对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）． A. B. C. D. 6. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折好的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7. 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是（ ）． A. B. C. D. 1. 如图，与关于直线对称，则等于（ ）． A. B. C. D. 或 2. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长． 1. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形． （ 1 ）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴． （ 2 ）满足题意的涂色方式有 种． 2. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为， ， ． y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x （ 1 ）画出． （ 2 ）画出关于轴对称的． （ 3 ）写出点，，的坐标． 3. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （ 1 ）画出 关于轴对称的． （ 2 ）写出点 的对应点的坐标是 ；点 的对应点 的坐标是 ，点的对应点 的坐标是 ． （ 3 ）请直接写出以为边且与全等的三角形的第三个顶点的坐标为 ． 4. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （ 1 ）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． （ 2 ）请作出关于轴对称的． （ 3 ）写出点的坐标． 5. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，请回答以下问题： （ 1 ） （ 2 ） 、、三点坐标分别为： ， ， ． ． （ 3 ）请画出关于轴的对称图形． $ 1. 正五角星的对称轴有 条． 由轴对称图形的概念可知，正五角星有 条对称轴． 故答案为： ． 【知识点】对称轴条数问题 2. 一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 实际车牌号是 ． 故答案为 ． 【知识点】轴对称的定义 【知识点】镜面对称 3. 如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）． A. B. C. D. 10 学科网（北京）股份有限公司 A 由剪掉的是等腰直角三角形，展开后是一个正方形，因此排除 和 选项，再由折叠示意图知，剪掉的等腰直角三角形的直角顶点在正方形的对角线（虚线）上，所以余下的纸片中间空隙的正方形的边与对角线垂直，所以选项 是正确的． 【知识点】折纸问题与剪拼 4. 钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. A 根据轴对称图形的性质可知， 、 、 都是轴对称图形， 是中心对称图形． 【知识点】判断轴对称图形和中心对称图形 5. 把一张正方形纸片按如图对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）． A. B. C. D. C 剪的圆在四个边的附近，所以只能选 ． 【知识点】折纸问题与剪拼 6. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折好的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）． A. B. C. D. C 将图形逐步倒推还原，如图所示： 【知识点】折纸问题与剪拼 7. 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是（ ）． A. B. C. D. D 使用逆推法可得结果为 ，如图． 故选 ． 【知识点】折纸问题与剪拼 1. 如图，与关于直线对称，则等于（ ）． A. B. C. D. 或 C ∵ 与 ， ， 关于直线 对称， ∴ ∴ ， 故答案为 ． 【知识点】轴对称的性质 【知识点】轴对称的定义 2. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. B 根据轴对称的性质可知，由三角形内角和定理，得 ． ． 【知识点】轴对称的性质 3. 如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长． ， ∵ 和 关于直线 成轴对称 ∴ ∴ 又∵ ∴ ， ， ， ； 【知识点】轴对称的定义 【知识点】轴对称的性质 1. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形． （ 1 ）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴． （ 2 ）满足题意的涂色方式有 种． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ） （ 1 ）如图所示： （ 2 ） ．如图所示： 【知识点】作轴对称变换 2. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为， ， ． y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x （ 1 ）画出． （ 2 ）画出关于轴对称的． （ 3 ）写出点，，的坐标． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 3 ） ， ， ． （ 1 ）如图所示： 即为所求． y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x （ 2 ）如图所示： 即为所求． y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x （ 3 ） ， ， ． 【知识点】象限内坐标的特征 【知识点】坐标系中的对称-图形的对称 【知识点】作轴对称变换 【知识点】轴对称的定义 【能力】运算能力 【思想】数形结合思想 3. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为 、 、 ． （ 1 ）画出关于轴对称的． （ 2 ）写出点的对应点的坐标是 ；点的对应点的坐标是 ，点的对应点 的坐标是 ． （ 3 ）请直接写出以为边且与全等的三角形的第三个顶点的坐标为 ． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ） （ 3 ） ， ， ， ． ， ． （ 1 ）如图所示： 即为所求． （ 2 ）如图所示： 点 是 （ 3 ）以 的对应点 ． 为边且与 ． 的坐标是 ，点 的对应点 的坐标是 ，点 的对应点 的坐标 全等的三角形的第三个顶点的坐标为： ， ， 【知识点】坐标系中的对称-图形的对称 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】轴对称的定义 4. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （ 1 ）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． （ 2 ）请作出关于轴对称的． （ 3 ）写出点的坐标． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）如图所示： （ 2 ）如图所示： （ 3 ）由图象可知：点 的坐标为 ． 【知识点】轴对称的定义 【知识点】作轴对称变换 【知识点】坐标系中的对称-图形的对称 【知识点】平面直角坐标系的定义 【知识点】象限内坐标的特征 【能力】空间想象能力 5. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，请回答以下问题： （ 1 ） （ 2 ） 、、三点坐标分别为： ， ， ． ． （ 3 ）请画出关于轴的对称图形． （ 1 ） （ 2 ） ; ; （ 3 ） 答案见解析． （ 1 ）由坐标系可读出 、 、 三点的坐标，分别为 ， ， ． （ 2 ） 矩形 ， ， ， ． （ 3 ） 、 、 三点关于 轴对称的坐标为： ， ， ， 则 关于 轴的对称图形 ，可描点画出． 【知识点】坐标与距离 【知识点】坐标与面积 【知识点】用坐标表示地理位置 【知识点】作轴对称变换 $垂直平分线的性质与判定题集 1.线段垂直平分线的性质 1.如图，AB=AC,∠A=50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=()· B A.30° B.25° C.20° D.15 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长为20Cm, AE=5cm,则△ABC的周长是cm. 3.如图，△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则 △BC的周张为()· E A13 B.15 C.18 D.21 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若AC=7,BC=5,则 △BDC的周长是一. 5.已知△ABC中，DE垂直平分AB,如果△ABC的周长为22，AB=10,则△ACD的周长 为」 A E 6.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm,△ABD的周长为13cm,则 AE张为 B 7.如图，△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则 △BCE的周长为 8.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8,AB=10,则△BC的周长是(). E A13 B.16 C.18 D.20 9.如图△ABC中，DE是BC的垂直平分线，△ABD的周长为7cm,BE=2cm,则△ABC的周长 为c四. 2.线段垂自半分线的判定 1.在△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P一定是△ABC()· A三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条中线的交点 2.三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形的()· A三条中线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点 3.下列说法； ①两边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形全等 ②角的对称轴是角的平分线 ③两边对应相等的两直角三角形全等. ④成轴对称的两个图形一定全等】 ⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上， 正确的有()个. A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知，如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线 上 5.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证：PA=PB=PC (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 6.证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点 C O MB=MC B 7.如图，AB=AC, ，求证：直线AM是线段BC的垂直平分线， M B