17.1用提公因式法分解因式同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（人教版）

本讲义聚焦初中数学“用提公因式法分解因式”核心知识点，先通过定义辨析明确因式分解与整式乘法的互逆关系，再以三“定”法确定公因式，最后系统梳理提公因式法步骤，构建从整式乘法到分解因式的完整学习支架。 资料以“解题知识+典例变式”为特色，通过定义辨析题（如判断因式分解变形）培养抽象能力，分层设计题目（如看错系数的分解问题）发展推理意识，结合实际应用（长方形面积周长计算）强化模型意识。课中助力教师系统授课，课后过关验收帮助学生查漏补缺。

第17章 17.1 用提公因式法分解因式 内 容 导 航 题型1 因式分解的意义 题型2 公因式 题型3 因式分解-提公因式法 考 点 演 练 题型1 因式分解的意义 解｜题｜知｜识 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【典例1】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 【变式1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） 【变式2】将x2﹣5x+m有一个因式是（x+1），则m的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【变式3】两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 题型2 公因式 解｜题｜知｜识 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【典例1】多项式﹣9x2y+3xy2﹣6xyz中，各项的公因式是（　　） A．﹣3xy B．3yz C．3xz D．﹣3x 【变式1】多项式8x2y﹣12xy3的最大公因式是（　　） A．4xy B．2xy C．4x2y D．2x2y3 【变式2】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【变式3】2x3y2与6x4y的公因式是 　 ． 题型3 因式分解-提公因式法 解｜题｜知｜识 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例1】如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【变式1】把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 【变式2】下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz﹣9x2y2＝3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y＝3y（a2﹣a+2） C．﹣x2+xy﹣xz＝﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b＝b（a2+5a） 【变式3】读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ； （2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+⋯+x（1+x）n，则需应用上述方法 n 次，结果是 　 ； （3）分解因式：（1+x）4+x（1+x）4+x（1+x）5+x（1+x）6+x（1+x）7． 过 关 验 收 1. 下列从左到右变形，是因式分解的有（　　） 12xy3＝2xy•6y2；x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2；（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2；3x﹣6y＝3（x﹣2y）；3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　 　 ． 3. 多项式2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，则k等于 　 ． 4. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 5. 先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式． ②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）． ∴当x＝2时，（x﹣2）（mx+n）＝0． 此时x2+ax﹣2＝0． 将x＝2代入得，4+2a﹣2＝0， 解得a＝﹣1． （1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式吗？　 　 （填“是”或“不是”）； （2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常数m的值． 6. 小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 7. 下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a﹣b和b﹣a D．﹣x2+xy和y﹣x 8. 把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 9. 多项式36a2bc﹣48ab2c+12abc的公因式是（　　） A．24abc B．12abc C．12a2b2c2 D．6a2b2c2 10. 多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 11. 下列多项式中，没有公因式的是（　　） A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣a+b） C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a） 12. 多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 　 ． 13. 把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（　　） A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m） C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1） 14. 因式分解：a2﹣5a＝ 　 ． 15. 分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　 　 ． 16. 若多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是　 　 ． 17. 因式分解： （1）12x2﹣16； （2）2x2y（x﹣y）+6xy2（y﹣x）． 18. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：（x+y）2﹣2y（x+y）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 17.1 用提公因式法分解因式 内 容 导 航 题型1 因式分解的意义 题型2 公因式 题型3 因式分解-提公因式法 考 点 演 练 题型1 因式分解的意义 解｜题｜知｜识 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【典例1】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10 C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．6ab＝2a•3b 【答案】C 【解答】解：A、右边不是积的形式，故A选项错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B选项错误； C、是运用完全平方公式，符合因式分解的定义，故C选项正确； D、不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误． 故选：C． 【变式1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） 【答案】D 【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】将x2﹣5x+m有一个因式是（x+1），则m的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：设另一个式子是（x+a），则 （x+1）（x+a）， ＝x2+（a+1）x+a， ＝x2﹣5x+m， ∴a+1＝﹣5，m＝a， 解得a＝﹣6，m＝﹣6． 故选：B． 【变式3】两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）． ∵2（x﹣1）（x﹣9）＝2（x2﹣10x+9）＝2x2﹣20x+18， ∴a＝2，c＝18； 又∵2（x﹣2）（x﹣4）＝2（x2﹣6x+8）＝2x2﹣12x+16， ∴b＝﹣12． ∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得 2x2﹣12x+18＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2． 题型2 公因式 解｜题｜知｜识 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【典例1】多项式﹣9x2y+3xy2﹣6xyz中，各项的公因式是（　　） A．﹣3xy B．3yz C．3xz D．﹣3x 【答案】A 【解答】解：﹣9x2y+3xy2﹣6xyz各项的公因式是﹣3xy， 故选：A． 【变式1】多项式8x2y﹣12xy3的最大公因式是（　　） A．4xy B．2xy C．4x2y D．2x2y3 【答案】A 【解答】解：多项式8x2y﹣12xy3的最大公因式是4xy． 故选：A． 【变式2】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【答案】C 【解答】解：把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz， 故选：C． 【变式3】2x3y2与6x4y的公因式是 　2x3y ． 【答案】2x3y． 【解答】解：∵2x3y2＝2x3y•y，6x4y＝2x3y•3x， ∴2x3y2与6x4y的公因式是2x3y， 故答案为：2x3y． 题型3 因式分解-提公因式法 解｜题｜知｜识 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【典例1】如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【答案】B 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 【变式1】把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 【答案】B 【解答】解：原式＝2xy2z（2x2﹣3z2+6yz）， ∴4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2的公因式是2xy2z； 故选：B． 【变式2】下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz﹣9x2y2＝3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y＝3y（a2﹣a+2） C．﹣x2+xy﹣xz＝﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b＝b（a2+5a） 【答案】B 【解答】解：A、12xyz﹣9x2y2＝3xy（4z﹣3xy），故此选项错误； B、3a2y﹣3ay+6y＝3y（a2﹣a+2），故此选项正确； C、﹣x2+xy﹣xz＝﹣x（x﹣y+z），故此选项错误； D、a2b+5ab﹣b＝b（a2+5a﹣1），故此选项错误； 故选：B． 【变式3】读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　提公因式法　 ； （2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+⋯+x（1+x）n，则需应用上述方法 n 次，结果是 　（1+x）n+1 ； （3）分解因式：（1+x）4+x（1+x）4+x（1+x）5+x（1+x）6+x（1+x）7． 【答案】（1）提公因式法； （2）n，（1+x）n+1； （3）（1+x）8． 【解答】解：（1）根据式分解的过程可知，分解因式的方法是提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）第一次提取公因式，得（1+x）[1+x+x（1+x）+…x（1+x）n﹣1]， 第二次提取公因式，得（1+x）2[1+x+…x（1+x）n﹣2]， … 第n次提取公因式，得（1+x）n（1+x），即（1+x）n+1， ∴需应用提公因式法n次，结果是（1+x）n+1． 故答案为：n，（1+x）n+1． （3）原式＝（1+x）4[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3] ＝（1+x）4（1+x）4 ＝（1+x）8． 过 关 验 收 1. 下列从左到右变形，是因式分解的有（　　） 12xy3＝2xy•6y2；x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2；（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2；3x﹣6y＝3（x﹣2y）；3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： 12xy3＝2xy•6y2是单项式的变形，不是因式分解，不符合题意； x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2中等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； （﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2是乘法运算，不是因式分解； 3x﹣6y＝3（x﹣2y），符合提取公因式法，是因式分解，符合题意； 3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B． 2. 分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是 　（x+1）（x﹣6）　 ． 【答案】（x+1）（x﹣6） 【解答】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2）， ∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴b＝﹣6， ∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3）， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴a＝﹣5， ∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）． 故答案为：（x+1）（x﹣6）． 3. 多项式2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，则k等于 　﹣5　 ． 【答案】﹣5 【解答】解：2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，设另一个整式为M， 2x2﹣3x+k＝M（x+1）． M＝（2x2﹣3x+k）÷（x+1）＝2x﹣5． 2x2﹣3x+k＝（x+1）（2x﹣5）＝2x2﹣3x﹣5， k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 4. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 5. 先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以x+2和x﹣2是x2﹣4的因式． ②若x﹣2是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x﹣2是x2+ax﹣2的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x﹣2）（mx+n）． ∴当x＝2时，（x﹣2）（mx+n）＝0． 此时x2+ax﹣2＝0． 将x＝2代入得，4+2a﹣2＝0， 解得a＝﹣1． （1）x+4是x2﹣2x﹣8的因式吗？　不是　 （填“是”或“不是”）； （2）若x+3是x2+8x+m的因式，求常数m的值． 【答案】（1）不是； （2）m＝15． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）． 故x+4不是x2﹣2x﹣8的因式； 故答案为：不是； （2）∵x+3是x2+8x+m的因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+8x+m＝（x+3）（mx+n）， ∴当x＝﹣3时，（x+3）（mx+n）＝0，则x2+8x+m＝0， 当x＝﹣3时，（﹣3）2+8×（﹣3）+m＝0， 解得m＝15． 6. 小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）x4+2x3﹣x2﹣2x； （2）1． 【解答】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x） ＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x ＝x4+2x3﹣x2﹣2x； （2）（x2+□x+2）（x2﹣x） ＝x4﹣x3+□x3﹣□x2+2x2﹣2x， ∵这个题目的正确答案是不含三次项， ∴﹣1+□＝0， ∴□＝1， ∴原题中被遮住的一次项系数是1． 7. 下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a﹣b和b﹣a D．﹣x2+xy和y﹣x 【答案】A 【解答】解：A、两个没有公因式，正确； B、显然有系数的最大公约数是2，故错误； C、只需把b﹣a＝﹣（a﹣b），两个即为公因式，故错误； D、﹣x2+xy＝x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误． 故选：A． 8. 把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 【答案】C 【解答】解：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝2（x﹣3）﹣x（x﹣3）＝（x﹣3）（2﹣x）， 故选：C． 9. 多项式36a2bc﹣48ab2c+12abc的公因式是（　　） A．24abc B．12abc C．12a2b2c2 D．6a2b2c2 【答案】B 【解答】解：多项式36a2bc﹣48ab2c+12abc中，系数36、﹣48、12最大公约数是12，三项的字母部分都含有字母a、b、c，其中a的最低次数是1，b的最低次数是1，c的最低次数是1，因此公因式为12abc． 故选：B． 10. 多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 【答案】C 【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中， 各项系数的最大公约数是5， 各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1， 所以它的公因式是5m2n． 故选：C． 11. 下列多项式中，没有公因式的是（　　） A．a（x+y）和（x+y） B．32（a+b）和（﹣a+b） C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y） D．（3a﹣3b）和6（b﹣a） 【答案】B 【解答】解：∵32（a+b）与（﹣a+b）没有公因式， 故选：B． 12. 多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 　3am ． 【答案】3am． 【解答】解：多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是3am， 故答案为：3am． 13. 把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（　　） A．（a﹣2）（m2+m） B．（a﹣2）（m2﹣m） C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（a﹣2）（m+1） 【答案】C 【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）， ＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）， ＝m（a﹣2）（m﹣1）． 故选：C． 14. 因式分解：a2﹣5a＝a（a﹣5）　 ． 【答案】a（a﹣5）． 【解答】解：a2﹣5a＝a（a﹣5）． 故答案为：a（a﹣5）． 15. 分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　3（m+n）（x﹣2y）　 ． 【答案】3（m+n）（x﹣2y） 【解答】解：原式＝3（m+n）（x﹣2y）， 故答案为：3（m+n）（x﹣2y） 16. 若多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n），则m﹣n的值是　3或﹣3　 ． 【答案】3或﹣3． 【解答】解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成2（x+m）（x+n）， ∴（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2） ＝（x+2）（2x﹣2） ＝2（x+2）（x﹣1） ＝2（x+m）（x+n）， 故m＝2，n＝﹣1或m＝﹣1，n＝2， 则m﹣n＝3或m﹣n＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：3或﹣3． 17. 因式分解： （1）12x2﹣16； （2）2x2y（x﹣y）+6xy2（y﹣x）． 【答案】（1）； （2）2xy（x﹣3y）（x﹣y）． 【解答】解：（1）原式＝4（3x2﹣4） ； （2）原式＝2x2y（x﹣y）﹣6xy2（x﹣y） ＝（2x2y﹣6xy2）（x﹣y） ＝2xy（x﹣3y）（x﹣y）． 18. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：（x+y）2﹣2y（x+y）． 【答案】（1）；（2）（x+y）（x﹣y）． 【解答】解：（1） ． （2）（x+y）2﹣2y（x+y） ＝（x+y）[（x+y）﹣2y] ＝（x+y）（x﹣y）． 学科网（北京）股份有限公司 $