15.3等腰三角形同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（人教版）

本讲义聚焦等腰三角形与等边三角形的性质、判定及综合应用，构建从一般等腰三角形（定义、等边对等角、三线合一）到特殊等边三角形（三内角60°、判定定理），再到含30°角直角三角形性质的知识支架，系统梳理逻辑关系。 资料以7大题型为框架，结合晾衣架、航海等生活实例设计典例与变式，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理过程发展数学思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第15章 15.3 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等腰三角形的判定 题型3 等腰三角形的判定与性质 题型4 等边三角形的性质 题型5 等边三角形的判定 题型6 等边三角形的判定与性质 题型7 含30度角的直角三角形 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】图1是实验室利用过滤法除染的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠DOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【解答】解：∵OD＝OC，∠DOC＝80°， ∴， ∵AC∥OD， ∴∠ACD＝∠ODC＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝50°（两直线平行，内错角相等）， 故选：A． 【变式1】如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形ABC，其中AB＝AC．若∠B＝20°，则∠C的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝20°， ∴∠B＝∠C＝20°， 故选：B． 【变式2】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°， ∴∠ODC＝25°， ∴∠O＝25°， 故选：C． 【变式3】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　30°或75°或120°　 ． 【答案】30°或75°或120°． 【解答】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴，即150°﹣α＝75°， ∴α＝75°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°， ∴α＝120°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°， ∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 题型2 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得△ABC为等腰三角形的格点C有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：①以AB为腰的等腰三角形：以点B为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有5个，以点A为圆心，AB为半径作圆形成的等腰三角形有3个； ②以AB为底边的格点C不存在． 故使得△ABC为等腰三角形的格点C有8个． 故选：B． 【变式1】如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解答】解：如图： 分三种情况： 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，则点C1，C2，C3即为所求； 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，则点C4，C5，C6即为所求； 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，则点C7，C8即为所求； 综上所述：符合条件的点C的个数是8， 故选：B． 【变式2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　6　 个． 【答案】6 【解答】解：如图， ①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）． 故符合条件的点有6个． 故答案为：6． 题型3 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝8+6 ＝14， 故选：B． 【变式1】如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（　　） A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm 【答案】A 【解答】解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC； 又∵CD∥OB， ∴∠C＝BOC， ∴∠C＝∠AOC； ∴CD＝OD＝3cm． 故选：A． 【变式2】如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C　8　 海里． 【答案】8 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD＝42°， ∵∠NBC＝∠A+∠ACB， ∴∠ACB＝84°﹣42°＝42°， ∴∠ACB＝∠A， ∴BC＝BA＝8， 即船距离灯塔C8海里． 故答案为8． 【变式3】在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 　200　 m． 【答案】200 【解答】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵C在B地的北偏东30°方向， ∴∠ABC＝90°+30°＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝200m． 故答案为：200． 题型4 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间垂线段最短 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 【答案】D 【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A不符合题意； B、两点之间线段最短，故B不符合题意； C、等腰三角形底边的高线、中线、角平分线互相重合，故C不符合题意； D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是AC边上的中线， ∴BD⊥AC，AD＝CDAC，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝2AD， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E， ∴60°＝2∠E， ∴∠E＝30°， ∠CBD＝∠E＝30°， ∴BD＝DE＝4， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2， 即（2AD）2﹣AD2＝（4）2， 解得：AD＝4， ∴AB＝2AD＝8． 故选：C． 【变式2】等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．4 B． C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB＝2， ∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1， ∴AD， ∴S△ABCBC•AD2， 故选：B． 【变式3】如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝　120　 度． 【答案】120 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°， ∵AD、BE是等边△ABC的两条高线， ∴∠BADBAC＝30°，∠ABEABC＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故答案为：120． 题型5 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确； ②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确； ③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确； ④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确． 故选：D． 【变式1】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确． 所以都正确． 故选：D． 【变式2】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若 AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若 AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【答案】D 【解答】解：A．∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），故本选项不符合题意； B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C的度数是180°90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵∠A＝20°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意； D．∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A， ∵∠C＝40°， ∴∠A＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　①②④　 ．（填序号） 【答案】①②④． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD＝∠ADB＝60°， ∴∠EAC＝∠BAD＝60°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝30°＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确； ∵AC＝AE，∠EAC＝60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴EA＝EC， 而DA＝DC， ∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确； ∴DE⊥AC， ∵AB⊥AC， ∴AB∥DE， ∴∠ABE＝∠BED， ∵AB≠AE， ∴∠ABE≠∠AEB， ∴∠AEB≠∠BED， ∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误； 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝60°， 由旋转知，AB＝AD ∴△ABD为等边三角形，故④正确； 故答案为：①②④． 题型6 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD， 由题意可知，CD＝BC， ∵∠BCE＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣120°＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝50cm， 即此时B、D两点之间的距离为50cm， 故选：B． 【变式1】如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：A→C→B，路程为l甲． 乙：A→D→E→F→B，路程为l乙． 丙：A→G→H→B，路程为l丙． 下列关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 【答案】D 【解答】解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示： 设AB＝a， 在图甲中， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝a， ∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a， 在图乙中，AE+BE＝AB＝a ∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝60°， ∴△DAE和△FEB都是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB， ∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a； 在图丙种， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴AP＝AB＝a， 根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH， ∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a， ∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a， ∴l甲＝l乙＞l丙， 故选：D． 【变式2】如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是（　　）米． A．1.6 B．1.8 C．2.6 D．2.8 【答案】A 【解答】解：由题意可知：∠ACM＝75°，∠BCN＝45°， 则∠MCN＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵CM＝CN， ∴△MCN为等边三角形， ∴MN＝CM＝1.6米， 故选：A． 【变式3】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 题型7 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】43．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解答】解： ∵∠B＝60°，DE⊥BC， ∴BD＝2BE＝2， ∵D为AB边的中点， ∴AB＝2BD＝4， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝4， 故选：C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC， ∴B不符合要求； ∴BC＝4DC， ∴C不符合要求； ∴BD＝3DC， ∴A符合要求； ∵AC＝2DC，BC＝4DC ∴BDAC， ∴D不符合要求； 故选：A． 【变式2】如图△ABC中，∠A：∠B：∠ACB＝1：2：3，∠1＝∠2＝∠3，则AD：DE：EB为（　　） A．1：1：1 B．2：1：1 C．1：2：1 D．1：1：2 【答案】B 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠ACB＝3x， 则x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°， ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠CDE＝180°﹣∠B﹣∠2﹣∠3＝60°， ∴∠CDE＝∠B， ∴CD＝CB， ∵∠2＝∠3， ∴DE＝EB，CE⊥BD， ∵∠1＝∠2＝∠A＝30°， ∴AD＝CD，CD＝2DE， ∴AD：DE：EB＝2：1：1． 故选：B． 【变式3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC＝3，求DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在△ABC中， ∵∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵DE垂直平分AC， ∴EC＝EA， ∴∠ECA＝∠A＝30°， ∴∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形； （2）由（1）得，EC＝BC＝3， Rt△ECD中，∵∠ECD＝30°， ∴DEEC． 过 关 验 收 1. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）秒． A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【解答】解：设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4， 故选：D． 2. 如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l于点D，点E．若∠C＝35°，DE＝CE，则∠1的度数是（　　） A．30° B．15° C．25° D．20° 【答案】D 【解答】解：∵DE＝CE， ∴∠CDE＝∠C＝35°， ∴∠CEM＝∠CDE+∠C＝70°， ∵直线l1∥l2， ∴∠EBN＝∠CEM＝70°， ∵∠ABE＝90°， ∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 故选：D． 3. 如图，在第1个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此作法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为　　 ． 【答案】 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B， ∴∠BA1A80°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1∠BA1A80°＝40°； 同理可得， ∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°， ∴第n个等腰三角形的底角的度数． 故答案为． 4. 用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出另两边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm， 根据题意得，x+3x+3x＝21， 解得x＝3cm； 则3x＝9cm ∴三角形的三边分别为3cm、9cm、9cm． （2）①若5cm为底时，腰长（21﹣5）＝8（cm）， ∴三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形； ②若5cm为腰时，底边＝21﹣5×2＝11， ∴三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm， ∵5+5＝10＜11， ∴不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15cm，AC＝12cm，动点D从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t． （1）求BC边的长． （2）当以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）9cm； （2）当t＝18秒或15秒或12.5秒时，△ABD为等腰三角形． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15cm，AC＝12cm， ∴BC9（cm）， 答：BC边的长为9cm； （2）如图1，当AD＝AB时，而∠ACB＝90°， ∴DC＝BC，BD＝2BC＝2×9＝18（cm）， ∴t＝18； 如图2，当BA＝BD＝15cm时， ∴t＝15； 当DA＝DB＝xcm时，而BC＝9cm，AC＝12cm， ∴DC＝（x﹣9）cm， ∴x2＝（x﹣9）2+122， 解得：x＝12.5， ∴t＝12.5， 综上：当t＝18秒或15秒或12.5秒时，△ABD为等腰三角形． 6. 如图所示，AE＝AD，∠B＝∠C，BE＝4，AD＝5，则AC＝　9　 ． ‍ 【答案】9． 【解答】解：在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴AD＝AE＝5，AC＝AB， ∴AC＝AE+BE＝4+5＝9． 故答案为：9． 7. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）． ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°． ∴∠ACB＝∠NAC． ∴AB＝BC＝30 （海里）． ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里． （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P． ∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°． 又∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°． 在Rt△CBP中，∠BCP＝30°， ∴（海里）， 15÷15＝1（小时）． 故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短． 8. 如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，CF＝2，试求EF的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠OBC； ∵CO平分∠ACB， ∴∠FCO＝∠OCB； ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB； ∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO， ∴OE＝EB，OF＝FC； ∵BE＝3，CF＝2， ∴EF＝5． 9. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 BE+CF＝EF ，△AEF的周长是 　20　 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　2　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BE+CF＝EF． 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF， ∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， 即BE+CF＝EF， △AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20． 故答案为：5；BE+CF＝EF；20； （2）BE+CF＝EF， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴等腰三角形有△BDE，△CFD， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF． 可得△AEF的周长为18． （3）BE﹣CF＝EF， 由（1）知BE＝ED， ∵EF∥BC， ∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD， ∴CF＝DF， 又∵ED﹣DF＝EF， ∴BE﹣CF＝EF． 10. 如图，等边三角形纸片ABC的周长为9，点E、F是BC边的三等分点．分别过点E、F沿着平行于BA、CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且周长为9， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝3， ∵点E、F是BC边的三等分点， ∴， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴△DEF是等边三角形，且边长为1， ∴△DEF的周长是3， 故选：A． 11. 如图，点H，M在线段AC上，点G在线段HF上，且△ABC，△DHF和△GMN均是等边三角形，那么∠1+∠2+∠3＝（　　） A．160° B．100° C．150° D．180° 【答案】D 【解答】解：∵△ABC，△DHF和△GMN均是等边三角形， ∴∠GMN＝∠MGN＝∠DHF＝60°， ∵∠1+∠GMN+∠GMH＝180°，∠2+∠MGN+∠HGM＝180°，∠3+∠DHF+∠MHG＝180°， ∴∠1+∠GMN+∠GMH+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DHF+∠MHG＝3×180°， ∵∠GMH+∠HGM+∠MHG＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°． 故选：D． 12. 如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　64　 ． 【答案】64 【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， ∴A6B6＝32B1A2＝64， 故答案为：64． 13. 如图，在△ABC中，点D在边AC上，过点D作DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交BA的延长线于点F，且AF＝AD，∠F＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】∵AF＝AD，∠F＝30°， ∴∠F＝∠FDA＝30°（等边对等角）， ∴∠BAC＝∠F+∠FDA＝30°+30°＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠FBE＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°， ∴AB＝BC＝CA（等角对等边）， ∴△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵AF＝AD，∠F＝30°， ∴∠F＝∠FDA＝30°（等边对等角）， ∴∠BAC＝∠F+∠FDA＝30°+30°＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠FBE＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°， ∴AB＝BC＝CA（等角对等边）， ∴△ABC是等边三角形． 14. 如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 【答案】（1）∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分线上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD； （2）设∠F＝a， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝a（等边对等角）， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝2a（三角形外角的性质）， 由（1）得AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠F＝∠BCE＝a， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°， 即a+2a＝90°， 解得a＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分线上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD； （2）证明：设∠F＝a， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝a（等边对等角）， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝2a（三角形外角的性质）， 由（1）得AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠F＝∠BCE＝a， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°， 即a+2a＝90°， 解得a＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF＝60°， ∴∠EDF＝60°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等边三角形． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）t＝20时，△PBQ为等边三角形； （2）当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∵60÷2＝30， ∴0≤t≤30，BP＝（6﹣2t）cm，BQ＝tcm． 当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60﹣2t＝t， ∴t＝20； 当t＝20时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即60﹣2t＝2t， ∴t＝15， ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（60﹣2t）， ∴t＝24． 即当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形． 17. 北斗卫星导航系统在航海中可以为船舶提供精准的位置、速度和方向信息，有助于提高航行效率，减少航行时间和燃料消耗，一艘货轮在北斗卫星导航系统的精确导航下在海上以每小时30海里的速度沿南偏西40°的方向航行，已知货轮在A处时，测得灯塔B在其北偏西80°的方向上，航行1.2小时后货轮到达C处，此时测得灯塔B在其北偏西20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔B的距离． 【答案】货轮到达C处时与灯塔B的距离为36海里． 【解答】解：如图， ∵由题意，得CD∥AE，∠CAE＝40°， ∴∠DCA＝∠CAE＝40°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BCA＝∠DCA+∠BCD＝40°+20°＝60°， 又∵∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝30×1.2＝36（海里）． 答：货轮到达C处时与灯塔B的距离为36海里． 18. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 19. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】B 【解答】解：如图，根据题意BC＝3米， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×3＝6（米）， ∴3+6＝9（米）． 故选：B． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　150°或105°或60°　 ． 【答案】150°或105°或60°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 分三种情况讨论： ①当B'A＝B'E时，如图： ∴∠B'EA＝∠A＝30°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°； ②当AB'＝AE时，如图： ∴∠AEB'＝∠AB'E75°， ∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°； ③当EA＝EB'时，如图： ∴∠A＝∠EB'A＝30°， ∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°； 综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°， 故答案为：150°或105°或60°． 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）B处到灯塔C的距离为30海里； （2）若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴CDBC＝15（海里）， ∵15＜16， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 15.3 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等腰三角形的判定 题型3 等腰三角形的判定与性质 题型4 等边三角形的性质 题型5 等边三角形的判定 题型6 等边三角形的判定与性质 题型7 含30度角的直角三角形 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】图1是实验室利用过滤法除染的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠DOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式1】如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形ABC，其中AB＝AC．若∠B＝20°，则∠C的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式2】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式3】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　 ． 题型2 等腰三角形的判定 解｜题｜知｜识 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例1】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得△ABC为等腰三角形的格点C有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　 个． 题型3 等腰三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（　　） A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm 【变式2】如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C　 　 海里． 【变式3】在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 　 　 m． 题型4 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间垂线段最短 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 【变式1】如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 【变式2】等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．4 B． C．2 D．3 【变式3】如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝　 　 度． 题型5 等边三角形的判定 解｜题｜知｜识 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例1】在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【变式2】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若 AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若 AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【变式3】如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 　 ．（填序号） 题型6 等边三角形的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【典例1】如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE＝120°．若CD的长度为50cm，则此时B、D两点之间的距离为（　　） A．25cm B．50cm C．55cm D．100cm 【变式1】如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：A→C→B，路程为l甲． 乙：A→D→E→F→B，路程为l乙． 丙：A→G→H→B，路程为l丙． 下列关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 【变式2】如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中CN）的倾斜角为45°，那么MN的长是（　　）米． A．1.6 B．1.8 C．2.6 D．2.8 【变式3】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 题型7 含30度角的直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 【典例1】43．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 【变式2】如图△ABC中，∠A：∠B：∠ACB＝1：2：3，∠1＝∠2＝∠3，则AD：DE：EB为（　　） A．1：1：1 B．2：1：1 C．1：2：1 D．1：1：2 【变式3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC＝3，求DE的长． 过 关 验 收 1. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）秒． A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2. 如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l于点D，点E．若∠C＝35°，DE＝CE，则∠1的度数是（　　） A．30° B．15° C．25° D．20° 3. 如图，在第1个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此作法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为　 ． 4. 用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出另两边长． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15cm，AC＝12cm，动点D从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t． （1）求BC边的长． （2）当以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值． 6. 如图所示，AE＝AD，∠B＝∠C，BE＝4，AD＝5，则AC＝　 　 ． ‍ 7. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 8. 如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝3，CF＝2，试求EF的值． 9. （1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 ，△AEF的周长是 　 　 （2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　 　 个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长 （3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 10. 如图，等边三角形纸片ABC的周长为9，点E、F是BC边的三等分点．分别过点E、F沿着平行于BA、CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B．6 C．9 D． 11. 如图，点H，M在线段AC上，点G在线段HF上，且△ABC，△DHF和△GMN均是等边三角形，那么∠1+∠2+∠3＝（　　） A．160° B．100° C．150° D．180° 12. 如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　 　 ． 13. 如图，在△ABC中，点D在边AC上，过点D作DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交BA的延长线于点F，且AF＝AD，∠F＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 14. 如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从 A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 17. 北斗卫星导航系统在航海中可以为船舶提供精准的位置、速度和方向信息，有助于提高航行效率，减少航行时间和燃料消耗，一艘货轮在北斗卫星导航系统的精确导航下在海上以每小时30海里的速度沿南偏西40°的方向航行，已知货轮在A处时，测得灯塔B在其北偏西80°的方向上，航行1.2小时后货轮到达C处，此时测得灯塔B在其北偏西20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔B的距离． 18. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 19. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 　 　 ． 21. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $