17.2 用公式法分解因式 同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法分解因式，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念识别到实际应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方差/完全平方公式识别与简单应用|单选1-4直接考查公式特征，填空9-10强化公式结构，解答14(1)(2)训练基本分解步骤| |提升层|分组分解与公式综合运用|单选5结合密码情境应用提公因式+公式法，填空11-12通过数式比较、图形面积深化理解，解答15(1)(2)训练分组分解技巧| |拓展层|实际应用与规律探索|单选8以“和谐数”探索立方差规律，填空13结合新定义考查因式分解，解答16-18通过几何拼图、面积计算、参数问题培养推理意识与应用能力|

17.2 用公式法分解因式 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，可得（     ） A． B． C． D． 3．多项式能运用完全平方公式进行因式分解，则m为（   ） A．9 B．18 C． D． 4．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 6．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 7．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．6858 B．6860 C．9260 D．9262 二、填空题 9．是多项式________分解因式的结果． 10．若能用完全平方公式因式分解，则的值为__________． 11．设，，则数a，b，c的大小关系是__________． 12．将下列四个图形拼成一个大长方形，据此写出一个将多项式因式分解的等式为______． 13．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______ 三、解答题 14．分解因式： (1)； (2)． (3)． 15．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； (2)已知，，求的值； (3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形，B型卡片是长为y，宽为x的长方形，C型卡片是边长为y的正方形．请用1张A型卡片，2张B型卡片和1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 17．如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 18．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C D A C B 1．【答案】C 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 2．【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 3．【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查完全平方式，因式分解，结合完全平方式的结构特征分析二次三项式的构成即可得到答案. 【详解】解：∵完全平方式的形式为 ∴， ∴， 故选：D 4．【答案】C 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 当时，， 即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416． ∴他设置的密码可能是121416． 故选：D 6．【答案】A 【知识点】分组分解法 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 7．【答案】C 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 8．【答案】B 【知识点】因式分解的应用、数字类规律探索 【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可． 【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9， ∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”， 它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在． 9．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式把计算出来，得到的多项式即为结果． 【详解】解：． 10．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求完全平方式中的字母系数，解题关键是掌握完全平方公式分解因式． 根据完全平方公式，将表达式与匹配，比较系数求． 【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解，且，， ∴， ∴比较系数得， 故答案为：． 11．【答案】/ 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解与图形的面积问题． 画出拼接的长方形，进而根据面积的两种表达方式列等式即可． 【详解】解：拼接如图： 长方形的面积为，还可以表示面积为：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （3）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 15．【答案】(1) (2)7 (3) 解：是等腰三角形，理由如下： ，即， ， 且， ， 是等边三角形． 【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义 【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）由整理得，进而可得，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2） 将，，代入． （3）略 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 16．【答案】画图见解析， 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、完全平方公式分解因式 【分析】将三种卡片相等边长的边拼在一起，即可拼成大正方形；拼成的四个图形的面积和为，拼成的大正方形的面积为，即可写出多项式的因式分解． 【详解】解：拼图如图所示， 多项式的因式分解为：． 17．【答案】剩余钢板的面积为 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 则剩余钢板的面积为． 18．【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、十字相乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】利用多项式乘多项式还原原式，确定的值，然后再因式分解． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $