16.1 幂的运算 同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“幂的运算”核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则，作为整式乘除运算的基础支架，衔接前后知识脉络。 资料通过“解题知识”模块强化抽象能力，典例与变式题（如新定义“★”运算）提升运算能力，过关验收综合题培养推理意识。课中辅助教师引导教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

第16章 16.1 幂的运算 内 容 导 航 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方 考 点 演 练 题型1 同底数幂的乘法 解｜题｜知｜识 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A．a4•a3＝a12 B．a4•a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4•a4＝2a4 【答案】B 【解答】解：A、a4•a3＝a7，不符合题意； B、a4•a3＝a7，符合题意； C、a4与a3不是同类项，所以不能合并，不符合题意； D、a4•a4＝a8，不符合题意． 故选：B． 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【答案】C 【解答】解：∵2x＝5， ∴2x+3 ＝2x×23 ＝5×8 ＝40． 故选：C． 【变式2】已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 【答案】A 【解答】解：∵m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n， ∴33m＝3n， ∴3m＝n， 故选：A． 【变式3】若，则横线上应填（　　） A．x B．x2 C．x3 D．x4 【答案】D 【解答】解：设横线上应填xa， 则x3•xa＝x3+a＝x7， ∴3+a＝7， ∴a＝4， 故横线上应填x4． 故选：D． 【变式4】定义运算★为：若ab＝N（其中：a＞0，a≠1，以下同），则a★N＝b．如23＝8，则2★8＝3．设a★m＝x，a★n＝y，则a★（mn）＝（　　） A．xy B．x+y C．x﹣y D．|x﹣y| 【答案】B 【解答】解：设a★m＝x，a★n＝y， ∴ax＝m，ay＝n， ∴mn＝ax•ay＝ax+y， ∴a★（mn）＝x+y． 故选：B． 【变式5】如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　80　 ． 【答案】80． 【解答】解：因为（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c， 所以ma＝16，mb＝5，mc＝t， 因为a+b＝c， 所以ma•mb＝ma+b＝16×5＝80， 所以ma+b＝mc＝t＝80． 故答案为：80． 【变式6】规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 【答案】（1）8； （2）x＝2． 【解答】解：（1）由题意得： 1*2 ＝21×22 ＝8； （2）由题意得： 2*（x+1） ＝22×2（x+1） ＝22+x+1； 即22+x+1＝32＝25， 2+x+1＝5， 3+x＝5， x＝2． 题型2 幂的乘方与积的乘方 解｜题｜知｜识 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a2•a4＝a6 D．3a2﹣2a2＝1 【答案】C 【解答】解：A、∵（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，故A选项不符合题意； B、∵（3a）2＝32•a2＝9a2≠6a2，故B选项不符合题意； C、∵a2•a4＝a2+4＝a6，故C选项符合题意； D、∵3a2﹣2a2＝（3﹣2）a2＝a2≠1，故D选项符合题意． 故选：C． 【变式1】若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解答】解：由题意得，3m﹣n＝2， ∴原式＝（23）m÷2n ＝23m÷2n ＝23m﹣n＝22 ＝4． 故选：D． 【变式2】在比较3500和4400的大小时，老师给出了如下的方法：3500＝35×100＝（35）100＝243100；4400＝44×100＝（44）100＝256100．∵243100＜256100，∴3500＜4400． 请你根据上面所提供的信息，判断344和255的大小关系为（　　） A．344＜255 B．344＞255 C．344＝255 D．无法比较 【答案】B 【解答】解：仿照题干中的方法，将指数化为相同可得： 344＝34×11＝（34）11＝8111，255＝25×11＝（25）11＝3211， ∴8111＞3211，即 344＞255． 故选：B． 【变式3】下列计算中，错误的是（　　） A．mn•m2n+1＝m3n+1 B．（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2 C．（a2b）n＝a2nbn D．（﹣3x2）3＝﹣9x6 【答案】D 【解答】解：A、mn•m2n+1＝m3n+1，选项计算正确，不符合题意； B、（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2，选项计算正确，不符合题意； C、（a2b）n＝a2nbn，选项计算正确，不符合题意； D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，选项计算错误，符合题意． 故选：D． 【变式4】若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　16　 ． 【答案】16． 【解答】解：∵3m＝4，3n＝2， ∴3m+2n＝3m•32n＝3m•（3n）2＝4×22＝16． 故答案为：16． 【变式5】若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题； （1）如果2x＝25，则x＝　5　 ； （2）如果8x＝27，求x的值； （3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． 【答案】（1）5； （2）x； （3）x＝2． 【解答】解：（1）∵2x＝25， ∴x＝5， 故答案为：5； （2）∵8x＝27， ∴（23）x＝27， ∴23x＝27， ∴3x＝7， 解得：x； （3）∵3x+2﹣3x+1＝54， ∴3x+1•3﹣3x+1•1＝54， ∴3x+1•（3﹣1）＝54， ∴3x+1＝27， ∴3x+1＝33， ∴x+1＝3， 解得：x＝2． 【变式6】在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 【答案】（1）3； （2）4． 【解答】解：（1）∵9x＝36， ∴（32）x＝36， ∴32x＝36， ∴2x＝6， ∴x＝3； （2）∵64×2x＝210， ∴26×2x＝210， ∴26+x＝210， ∴6+x＝10， ∴x＝4． 过 关 验 收 1. 计算（x﹣y）2•（y﹣x）5•（x﹣y）的结果是（　　） A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8 【答案】A 【解答】解：原式＝（x﹣y）2•[﹣（x﹣y）5]•（x﹣y）＝﹣（x﹣y）8． 故选：A． 2. 若a、b为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．a＝b3 C．a＝3b﹣1 D．a+1＝3b3 【答案】C 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3b×3b×3b， ∴3×3a＝33b， ∴3a+1＝33b， ∴a+1＝3b，即a＝3b﹣1， 故选：C． 3. 已知am＝2，an＝3，则am+n＝　6　 ． 【答案】6 【解答】解：am+n＝am•an＝2×3＝6， 故答案为：6． 4. 我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n）•h（2020）的结果是 kn+1010 ． 【答案】kn+1010． 【解答】解：h（2n）kn， h（2020）k1010， 则h（2n）•h（2020）＝kn•k1010＝kn+1010． 故答案为：kn+1010． 5. 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为8GB，可得8GB＝2nB，则n＝　33　 ． 【答案】33． 【解答】解：8GB＝8×210MB＝23×210MB＝213MB， 213MB＝213×210KB＝223KB， 223KB＝223×210B＝233B， ∵8GB＝2nB， ∴2nB＝233B， ∴n＝33， 故答案为：33． 6. 若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵a*b＝2a×2b， ∴2*（x+1） ＝22×2x+1 ＝22+x+1 ＝2x+3， 又∵2*（x+1）＝16， ∴2x+3＝16 ∴x+3＝4， 解得x＝1． 故答案为：1． 7. 已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　①③　 ． 【答案】①③． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a•22＝3×4＝2c＝12， ∴22+a＝2c， ∴c＝a+2， 故①正确； 2a•2b＝2a+b＝3×6＝18，2c•2＝2c+1＝12×2＝24， ∵18≠24， ∴2a+b≠2c+1， ∴a+b≠c+1， 故②错误； ∵2b＝6，4＜6＜8， ∴22＜2b＜23， ∴2＜b＜3， 故③正确， ∴所有正确结论的序号是：①③， 故答案为：①③． 8. 计算：（a﹣b）（b﹣a）2＝ 　（a﹣b）3 （结果用幂的形式表示）． 【答案】（a﹣b）3 【解答】解：（a﹣b）（b﹣a）2＝（a﹣b）（a﹣b）2＝（a﹣b）3， 故答案为：（a﹣b）3． 9. 如果a+3b﹣2＝0，那么3a×27b的值为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵a+3b﹣2＝0， ∴a+3b＝2， 则3a•27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9． 故答案为：9． 10. 已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 b＜a．　 （请用字母表示，并用“＜”连接）． 【答案】b＜a． 【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211， b＝522＝（52）11＝2511， ∵2511＜3211， ∴522＜255， 故答案为：b＜a． 11. 定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　35　 ． 【答案】35 【解答】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝35． 故答案为：35． 12. 计算： ①（3a2b）2＝　9a4b2 ； ②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　54　 ． 【答案】①9a4b2； ②54． 【解答】解：①（3a2b）2＝9a4b2， 故答案为：9a4b2； ②∵xa＝3，xb＝6， ∴x2a+b＝x2a•xb ＝（xa）2•xb ＝32×6 ＝9×6 ＝54． 13. 若x＝1+2m，y＝4m（m为整数），用含x的代数式表示y，则y＝x2﹣2x+1　 ． 【答案】x2﹣2x+1． 【解答】解：由题意得：y＝4m＝（2m）2， ∵x＝1+2m， ∴2m＝x﹣1， ∴y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1． 故答案为：x2﹣2x+1． 14. 根据已知条件求值． （1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值． （2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵am＝2，an＝5， ∴a3m+n＝a3m•an＝（am）3•an＝23×5＝40； （2）∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， ∴4x•32y＝（22）x•（25）y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8． 15. 若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果272x＝38，求x的值； （2）如果2x+3+2x+4＝48，求x的值． 【答案】（1）； （2）x＝1． 【解答】解：（1）∵272x＝38， ∴36x＝38． ∴6x＝8． 解得：； （2）∵2x+3+2x+4＝48， ∴（1+2）•2x+3＝48． ∴2x+3＝16＝24． ∴x+3＝4． 解得：x＝1． 16. 已知2x＝2，2y＝5． （1）求代数式2x+y的值． （2）求8x•4y的值． 【答案】（1）10； （2）200． 【解答】解：（1）2x+y ＝2x•2y ＝2×5 ＝10． （2）8x•4y＝（23）x•（22）y ＝（2x）3•（2y）2 ＝23×52 ＝200． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 16.1 幂的运算 内 容 导 航 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方 考 点 演 练 题型1 同底数幂的乘法 解｜题｜知｜识 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A．a4•a3＝a12 B．a4•a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4•a4＝2a4 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【变式2】已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 【变式3】若，则横线上应填（　　） A．x B．x2 C．x3 D．x4 【变式4】定义运算★为：若ab＝N（其中：a＞0，a≠1，以下同），则a★N＝b．如23＝8，则2★8＝3．设a★m＝x，a★n＝y，则a★（mn）＝（　　） A．xy B．x+y C．x﹣y D．|x﹣y| 【变式5】如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　 　 ． 【变式6】规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 题型2 幂的乘方与积的乘方 解｜题｜知｜识 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a2•a4＝a6 D．3a2﹣2a2＝1 【变式1】若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】在比较3500和4400的大小时，老师给出了如下的方法：3500＝35×100＝（35）100＝243100；4400＝44×100＝（44）100＝256100．∵243100＜256100，∴3500＜4400． 请你根据上面所提供的信息，判断344和255的大小关系为（　　） A．344＜255 B．344＞255 C．344＝255 D．无法比较 【变式3】下列计算中，错误的是（　　） A．mn•m2n+1＝m3n+1 B．（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2 C．（a2b）n＝a2nbn D．（﹣3x2）3＝﹣9x6 【变式4】若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　 　 ． 【变式5】若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题； （1）如果2x＝25，则x＝　 　 ； （2）如果8x＝27，求x的值； （3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． 【变式6】在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 过 关 验 收 1. 计算（x﹣y）2•（y﹣x）5•（x﹣y）的结果是（　　） A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8 2. 若a、b为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝3b B．a＝b3 C．a＝3b﹣1 D．a+1＝3b3 3. 已知am＝2，an＝3，则am+n＝　 　 ． 4. 我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2）•h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n）•h（2020）的结果是 ． 5. 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为8GB，可得8GB＝2nB，则n＝ 　 ． 6. 若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　 　 ． 7. 已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 8. 计算：（a﹣b）（b﹣a）2＝ 　 （结果用幂的形式表示）． 9. 如果a+3b﹣2＝0，那么3a×27b的值为 　 　 ． 10. 已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 　 （请用字母表示，并用“＜”连接）． 11. 定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　 　 ． 12. 计算： ①（3a2b）2＝　 ； ②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　 　 ． 13. 若x＝1+2m，y＝4m（m为整数），用含x的代数式表示y，则y＝ 　 ． 14. 根据已知条件求值． （1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值． （2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值． 15. 若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题： （1）如果272x＝38，求x的值； （2）如果2x+3+2x+4＝48，求x的值． 16. 已知2x＝2，2y＝5． （1）求代数式2x+y的值． （2）求8x•4y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $