16.3 乘法公式预习自测2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以题载法，整合乘法公式的代数变形与几何直观，强化运算能力与推理意识 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式辨析|单选1-6题|平方差公式结构特征分析、完全平方式系数确定|从公式结构（概念生成）到符号运算（原理应用）| |变形应用|填空10-14题、解答15题|添括号法则、公式逆向变形（如a²+b²=(a+b)²-2ab）|从直接运算到变式转化，构建公式间关联| |几何验证|单选7题、解答16题|等积法验证平方差公式、图形面积表示完全平方公式|代数公式与几何直观结合，体现数形结合思想| |综合拓展|单选8-9题、解答17-18题|配方法求最值、代数推理证明（正整数性质）|从数学建模（花坛面积）到逻辑推理，发展创新意识|

16.3 乘法公式 预习自测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 4．运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A．16 B．4 C． D． 6．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 7．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 8．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（     ） A．3 B．19 C．21 D．28 9．对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 二、填空题 10．化简的结果是_____ ． 11．已知，，则______． 12．如果是一个完全平方式，则______． 13．现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 14．已知实数x满足，则的值是________． 三、解答题 15．计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 16．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 17．阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 18．小强发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和．为了说明这一“发现”的正确性，他进行了验证．如：为偶数，的一半为． (1)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为，请论证“发现”中的结论正确； (2)【运用】若正整数为满足，则_____． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D A D D B C B C 1．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 2．【答案】D 【知识点】添括号、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．可以表示为，利用完全平方公式展开即可简便计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，以及平方根的意义． 利用完全平方公式将转化为已知条件和的表达式，求出，再根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故选D． 6．【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【详解】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 7．【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据图1阴影部分面积公式推导出与及的关系，结合图2阴影部分面积及选项特征求解． 【详解】解：甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意得：， ∴①， 又，点H为的中点， ∴， 图2中阴影的面积为②， 得：， 整理得， ∵， ∴，即， ∴图1的阴影部分面积 ． 9．【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 10．【答案】9 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘法，再去括号合并同类项即可得到化简结果. 【详解】解：原式 11．【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 13．【答案】/ 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．根据正方形和的边长为和可得，，由完全平方公式变形即可得出答案． 【详解】解：正方形和的边长分别为和， 图甲阴影部分面积为：，图乙阴影部分面积为：， ． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 通过换元法简化计算，利用完全平方公式展开并合并同类项求解． 【详解】解：设 ，则 ，， 代入原方程得： ∴． 故答案为：． 15．【答案】(1) (2) (3)11 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、整式的加减中的化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算； 对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可； 对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式． 16．【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 17．【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 18．【答案】(1) 解：“发现”中的结论正确 设“发现”中的两个已知正整数为， ， 为偶数、为偶数， 是偶数， 即两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数； ， 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和； (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据题中材料里的“发现”，将文字描述转化为代数式，再运用完全平方公式及整式混合运算计算即可论证“发现”中的结论正确性； （2）由（1）中“发现”可知，将条件代入计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中“发现”可知， 正整数为满足， ， 则， ， 为正整数， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、整式混合运算、代数式求值及求平方根等知识，读懂题意，灵活运用完全平方公式及整式混合运算法则求解是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $