14.3 角的平分线 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“角的平分线”核心知识点，系统梳理角平分线的性质（角平分线上的点到两边距离相等）及基本作图（作线段、角、垂直平分线等五种），搭建从角的概念到三角形综合应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，典例与变式题层次分明，通过集贸市场位置等实际问题培养几何直观（数学眼光），作图原理证明（如SSS全等）强化推理意识（数学思维），规范语言表述提升应用意识（数学语言），课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺。

第14章 14.3 角的平分线 内 容 导 航 题型1 角平分线的性质 题型2 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【答案】A 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝2， ∴S△ABD5×2＝5． 故选：A． 【变式1】如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【变式3】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【答案】D 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， 根据角平分线的性质得：凉亭的位置应该选择△ABC三条角平分线的交点， 故选：D． 【变式4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在△DCF和△DEB中，， ∴△DCF≌△DEB，（SAS）， ∴BD＝DF． 【变式5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 【变式6】如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB． 又PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 题型2 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：△ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直， 故选：D． 【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF 【答案】D 【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC， ∴FA＝FB，DF⊥AB，故选项A，C正确， ∴∠AFD＝∠BFD， ∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°， ∴∠AFD+∠FBC＝90°，故选项B正确． 故选：D． 【变式3】作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：如图，在△D′O′C′与△DOC中， ， ∴△D′O′C′≌△DOC（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB， 故选：A． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0 【答案】C 【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，点P的坐标为（a，b）， ∴点P到x轴、y轴的距离相等； ∵点P的坐标为（a，b）， ∴a﹣b＝0． 故选：C． 【变式5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，且AB＝5． （1）BC边上的高的长为　4　 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的角平分线BD，简要说明BD是如何找到的（不要求证明）：　取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求　 ． 【答案】（1）4； （2）作图见解析，作法：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，AE即为BC边上的高，AE＝4， 故答案为：4； （2）如图所示，线段BD即为所求． 作法：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求． 故答案为：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求． 【变式6】如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠EOF的度数为81°． 【解答】（1）解：如图，COF即为所求； （2）解：∵∠COF＝∠AOC，∠AOC＝66°，∠BOD＝∠AOC， ∴∠COF＝66°，∠BOD＝66°， ∴∠FOB＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∴∠EOF＝48°+33°＝81°， 答：∠EOF的度数为81°． 过 关 验 收 1. 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图， ∵O是△ABC的三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∵S1•AB•OD，S2+S3•BC•OE•AC•OFOD•（BC+AC）， 而AB＜BC+AC， ∴S1＜S2+S3． 故选：C． 2. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．35° 【答案】B 【解答】解：作MN⊥AD于点N，如图， ∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，MN⊥AD， ∴CM＝MN， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， ∴MN＝BM， ∵∠B＝90°，MN⊥AD， ∴AM平分∠DAB， ∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝100°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝80°， ∴， 故选：B． 3. 如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2，则AD的长不可能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：过点D作DH⊥BA于点H，如图所示： ∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2， ∴根据角平分线的性质可得，DH＝DE＝2， ∵AD≥DH， ∴AD≥2， 综上所述，AD的长度不可能为1，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 4. 如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵CD＝4，△CDE周长为12， ∴CD+CE+DE＝12， ∴CE+DE＝12﹣CD＝8， ∵BE是△ABC的角平分线，∠A＝90°，ED⊥BC于点D， ∴AE＝DE， ∴CE+AE＝CE+DE＝8， ∴AC＝CE+AE＝8． 即AC的长为8． 故答案为：8． 5. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　 ． 【答案】42 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　 ． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 7. 如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 　5　 ． 【答案】5 【解答】解：如图，过点P作PE⊥DC于E， ∵AD∥BC，PA⊥AD， ∴PB⊥CB， ∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC， ∴PA＝PE，PB＝PE， ∴PE＝PA＝PB， ∵PA+PB＝AB＝10， ∴PA＝PB＝5， ∴PE＝5． 故答案为：5． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∵点D为BC中点， ∴DB＝DC， ∴在△DBE和△DCF中， ∴△DBE≌DCF（AAS）， ∴DE＝DF． 解法二：连接AD，由等腰三角形三线合一 可以知道AD是△ABC的角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，及角平分线的性质可得结论． 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图， ∵BF＝5，BC＝9， ∴FC＝4， 由作图痕迹得AM平分∠BAC， 而FC⊥AC，FH⊥AB， ∴FH＝FC＝4， 点F到AB的距离为4． 故选：B． 10. 如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD 【答案】D 【解答】解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC． ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD． ∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°， ∴∠ADC＝∠BMC， ∴∠BDM＝∠BMD， ∴BM＝BD， 故D选项一定正确． 故选：D． 11. 如图，∠MON＝70°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【答案】B 【解答】解：连接AB，BC，如图，由作法可得OA＝OB，AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°， 在△AOC和△BOC中， ， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴∠1＝∠2∠ACB＝30°， ∠3＝∠4∠AOB＝35°， ∴∠OAC＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣30°﹣35°＝115°． 故选：B． 12. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：以已知角顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB两边于D、C， 以新射线端点O′为圆心，相同半径画弧，交射线O′B′于C′， 用圆规量取DC距离，以C′为圆心画弧交前弧于D′， 连接O′D′，得∠A′O′B′，如下图： 在△OCD和△O′C′D′中， ， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB， 因此，用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是SSS， 故选：A． 13. 如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线， 故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意； B．作出的是△ABC中AC边上的高线， 故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意； C．不能作出△ABC的高， 故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意； D．作出的是△ABC中AB边上的高线， 故该选项符合题意． 故选：D． 14. 如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOE＝∠BOE B．∠CEO＝∠DEO C．OC＝CE D．OC＝OD 【答案】C 【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线． A、∠AOE＝∠BOE，A正确，不符合题意； B、如图，连接CE，DE， 根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线，OC＝OD， ∴∠AOE＝∠BOE， ∵OE＝OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠CEO＝∠DEO，B正确，不符合题意； C、OC≠CE，C不正确，符合题意； D、OC＝OD，D正确，不符合题意． 故选：C． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P、连接AP并延长，交BC于点D．若CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， 由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3， ∴△ABD的面积是15． 故选：C． 16. 如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为　9.6　 ． 【答案】9.6 【解答】解：由作图步骤可得AD平分∠BAC，过点B作BH⊥AC于点H． ∵AC＝AB， ∴AD垂直平分BC， ∴AC，AB关于AD对称， 作点N关于AD的对称点N′，连接MN′， ∵′BH≤BM+NM＝BM+MN， ∴BM+MN的最小值为BH的长． ∵BC＝12，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD＝6，AD⊥CB， ∵，AD＝8， ∴． 故答案为：9.6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 14.3 角的平分线 内 容 导 航 题型1 角平分线的性质 题型2 作图—基本作图 考 点 演 练 题型1 角平分线的性质 解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【变式1】如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式3】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点 【变式4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF． 【变式5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【变式6】如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN． 题型2 作图—基本作图 解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【典例1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF 【变式3】作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0 【变式5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，且AB＝5． （1）BC边上的高的长为　 　 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的角平分线BD，简要说明BD是如何找到的（不要求证明）：　 　 ． 【变式6】如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 过 关 验 收 1. 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　） A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定 2. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．35° 3. 如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2，则AD的长不可能是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4. 如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　 　 ． 5. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 ． 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　 　 ． 7. 如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 ． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF． 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 10. 如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD 11. 如图，∠MON＝70°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 12. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 13. 如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 14. 如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOE＝∠BOE B．∠CEO＝∠DEO C．OC＝CE D．OC＝OD 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P、连接AP并延长，交BC于点D．若CD＝3，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 16. 如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $