14.3 角的平分线 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦角的平分线核心知识点，系统梳理尺规作图步骤及SSS全等依据，性质定理（到两边距离相等）与判定定理（内部距等则在平分线上）的内容、符号语言及证明（AAS、HL），通过对比表格明晰两者关系，延伸至三角形内心性质及面积应用，构建完整学习支架。 资料以数学思维（推理能力）和数学语言（符号规范）为特色，通过典型例题（如内心与面积综合题）和易错点表格强化应用，帮助学生形成严谨推理习惯，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升几何直观与应用意识。

初中数学 · 八年级上册 · 第十四章 14.3 角的平分线 · 讲义 14.3 角的平分线 一、尺规作图：作已知角的平分线 ◆ 1. 作图步骤 1. 第一步：以角的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于点M、N。 1. 第二步：分别以点M、N为圆心，大于MN一半的长度为半径画弧，两弧在角的内部交于点C。 1. 第三步：画射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线。 ◆ 2. 作图依据 连接MC、NC，在△OMC和△ONC中： OM = ON（同圆等半径） MC = NC（同圆等半径） OC = OC（公共边） ∴ △OMC ≌ △ONC（SSS） ∴ ∠MOC = ∠NOC，即OC平分∠AOB。 ◆ 3. 作图示意图 二、角平分线的性质定理 ◆ 1. 定理内容 角平分线上的点到角两边的距离相等。 即：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD = PE。 ◆ 2. 图形示意 ◆ 3. 符号语言（考试标准格式） ∵ OC平分∠AOB（或∠1 = ∠2） PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E ∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等） ◆ 4. 定理证明 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90° ∵ OC平分∠AOB ∴ ∠1 = ∠2 在△PDO和△PEO中： ∠PDO = ∠PEO（已证） ∠1 = ∠2（已证） PO = PO（公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴ PD = PE（全等三角形对应边相等） ◆ 5. 定理要点 1. 前提条件（三要素）：①点在角平分线上；②向两边作垂线；③垂线段的长度 1. 作用：直接证明两条线段相等，无需再通过全等三角形 1. 常用辅助线：由角平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等推导其他结论 三、角平分线的判定定理（逆定理） ◆ 1. 定理内容 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 即：已知点P在∠AOB内部，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD = PE，则点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。 ◆ 2. 图形示意 ◆ 3. 符号语言（考试标准格式） ∵ 点P在∠AOB内部 PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E PD = PE ∴ 点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB） ◆ 4. 定理证明 证明：作射线OP ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中： PO = PO（公共边） PD = PE（已知） ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） ∴ ∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等） ∴ OP平分∠AOB ◆ 5. 判定定理要点 1. 前提条件（三要素）：①点在角的内部；②垂直（到两边的距离）；③垂线段相等 1. 作用：证明角相等或证明某条射线是角平分线 1. 注意：必须是"角的内部"的点！角的外部也存在到两边距离相等的点（关于角平分线对称），但不适用此判定。 四、性质定理与判定定理的对比 对比维度 性质定理 判定定理 已知条件 点在角平分线上 点到角两边距离相等 推理方向 由位置（线上）→ 数量（距等） 由数量（距等）→ 位置（线上） 图形特征 角平分线 + 垂直 → 线段相等 垂直 + 线段相等 → 角平分线 结论 PD = PE OP平分∠AOB 证明方法 AAS（利用角平分线定义） HL（直角三角形全等） 主要用途 证明两条线段相等 证明角相等或射线是角平分线 核心关系：性质定理与判定定理互为逆命题，二者共同构成角平分线的完备性质，揭示了"角平分线上的点"与"到两边距离相等"之间的等价关系。 五、三角形角平分线的重要结论 ◆ 1. 三角形三条角平分线交于一点 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）。内心到三角形三边的距离相等。 ◆ 2. 内心性质证明思路 证明：设∠B和∠C的角平分线交于点I 过点I作ID⊥AB，IE⊥BC，IF⊥AC ∵ BI平分∠ABC，ID⊥AB，IE⊥BC ∴ ID = IE（角平分线性质） ∵ CI平分∠ACB，IE⊥BC，IF⊥AC ∴ IE = IF ∴ ID = IE = IF ∵ ID⊥AB，IF⊥AC，且ID = IF ∴ 点I在∠BAC的平分线上（判定定理） 即三条角平分线交于同一点I（内心） ◆ 3. 内心到三边距离相等的应用 1. 内心到三边的距离都相等，这个距离就是三角形内切圆的半径r。 1. 三角形面积 S = r × (a+b+c) / 2 = r × s（其中s为半周长） 1. 内心总是在三角形内部（无论是锐角、直角还是钝角三角形） 六、典型例题精讲 ◆ 【例1】基础应用——直接利用性质定理 ▸ 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。若PD = 3cm，求PE的长度。 解：∵ OC平分∠AOB（已知） PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴ PE = PD = 3cm（角平分线上的点到角两边的距离相等） 答：PE的长度为3cm。 ◆ 【例2】利用判定定理证明角平分线 ▸ 已知：如图，在△ABC中，∠BAD = ∠BCD = 90°，∠1 = ∠2。求证：(1) 点B在∠ADC的平分线上；(2) BD平分∠ABC。 证明： (1) 在△ABC中，∵ ∠1 = ∠2 ∴ BA = BC（等角对等边） ∵ BA⊥AD，BC⊥CD ∴ 点B在∠ADC的平分线上（判定定理） (2) 在Rt△BAD和Rt△BCD中： BA = BC（已证） BD = BD（公共边） ∴ Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL） ∴ ∠ABD = ∠CBD ∴ BD平分∠ABC ◆ 【例3】角平分线 + 全等三角形综合 ▸ 已知：在△ABC中，AD是角平分线，BD = CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：BE = CF。 分析：先利用角平分线性质得DE = DF，再用HL证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF。证明： ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DE = DF（角平分线性质） ∵ BD = CD（已知） ∠BED = ∠CFD = 90°（垂直定义） ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ∴ BE = CF（全等三角形对应边相等） ◆ 【例4】内心与面积综合 ▸ 已知：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5。点I是△ABC三条角平分线的交点。求点I到AB的距离。 解：设I到三边的距离均为r ∵ I是内心，∴ I到AB、BC、AC的距离都等于r 连接IA、IB、IC，将△ABC分为三个小三角形： S△ABC = S△IAB + S△IBC + S△ICA = ½ × AB × r + ½ × BC × r + ½ × AC × r = ½ × r × (AB + BC + AC) = ½ × r × (5 + 4 + 3) = 6r 又 S△ABC = ½ × AC × BC = ½ × 3 × 4 = 6 ∴ 6r = 6，解得 r = 1 答：点I到AB的距离为1。 ◆ 【例5】尺规作图 + 证明 ▸ 已知：∠AOB。用尺规作∠AOB的平分线OC，并说明作图的依据。 作法： ① 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N ② 以M为圆心，大于MN/2长为半径画弧 ③ 以N为圆心，同样长为半径画弧，两弧交于角内的点C ④ 画射线OC，OC即为所求 依据：连接MC、NC OM = ON（同圆的半径相等） MC = NC（同圆的半径相等） OC = OC（公共边） ∴ △OMC ≌ △ONC（SSS） ∴ ∠MOC = ∠NOC，即OC平分∠AOB 七、易错点总结 易错点 错误表现 正确做法 忘记垂直条件 有线段相等就直接用性质/判定 必须确认有垂直关系（垂线段） 判定定理忽略"内部" 对角外点也用判定定理 必须强调点在角的内部 混淆性质与判定 因果倒置，用结论推条件 分清已知和求证，画图标注 角平分线不是中线 误认为平分对边 角平分线分的是"角"不是"边" 内心vs外心混淆 把内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）搞混 内心→角平分线→到三边等距；外心→中垂线→到三顶点等距 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $