13.3三角形的内角与外角（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识点，从度量剪拼感知内角和，到添加辅助线用平行线性质证明定理，再延伸至直角三角形两锐角互余及逆判定，最后系统梳理外角定义、性质及应用，构建完整知识脉络。 资料通过探究式学习培养推理意识，如结合侧压腿抽象几何图形用外角性质计算角度，分层题型设计从基础到创新提升应用能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，发展数学思维与几何直观。

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 课标要点 1. 通过度量、剪拼感知内角和为180°，说出“为何要证明”； 2. 添加辅助线，用平行线性质+平角定义证明内角和定理； 3. 用定理求未知角、判断三角形形状。 4. 由内角和定理推出“直角三角形两锐角互余”； 5. 逆用得到“有两角互余的三角形是直角三角形”； 6. 用Rt△性质与判定做简单计算/证明。 7. 说出外角定义（一边与另一边延长线组成），在图形中准确识别外角及“不相邻两内角”； 8. 探索并证明“外角=不相邻两内角和”，推得“外角＞任一不相邻内角”； 9. 用外角性质做计算、推理，知道外角和=360°。 学习重难点 重点： 1. 三角形内角和定理及其证明​，不仅能说出“180°”，更能独立添加辅助线（作平行线），用几何语言完整书写证明过程。 2. 熟练运用“两锐角互余”进行计算，并能根据角度互余逆向判定直角三角形。 3. 掌握并证明“外角 = 与它不相邻的两个内角之和”，并能在复杂图形中识别、提取该等量关系。 难点： 1.理解并表述添加辅助线证明内角和定理的思路； 2.在复杂图形中准确识别外角及其对应的不相邻内角，规范书写几何推理过程。 知识点一 三角形的内角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 几何语言：在中，. 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线. 特别提醒 1）三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2）为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 即学即练 1． 1． 在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2． 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 知识点二 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 即学即练 1． 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平分．求证：是直角三角形． 知识点三 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（.） ③三角形的外角和为360°（） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 即学即练 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   2. 如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3. 如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 题型01 三角形内角和的证明 解题贴士 转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本 典｜例｜精｜析 例1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C． D． 变｜式｜巩｜固 1．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 2．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 解题贴士 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 典｜例｜精｜析 例2. 根据条件，在△ABC中，求∠A的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； 变｜式｜巩｜固 3.若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是_______ 4.已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 题型03 直角三角形的性质 解题贴士 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 典｜例｜精｜析 例3.如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 变｜式｜巩｜固 5.在中，，．求，的度数． 6.如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 题型04 直角三角形的判定 解题贴士 1.有一个角为90°，判定为直角三角形； 2.两个内角互余，判定为直角三角形； 3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。 典｜例｜精｜析 例4.在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变｜式｜巩｜固 7.已知：如图，在中，，垂足为D，．求证：为直角三角形． 8.如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 题型05 三角形外角的定义 解题贴士 1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。 2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。 3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。 典｜例｜精｜析 例5.如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 9.如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 10.关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 题型06 利用三角形外角的性质计算与证明 解题贴士 找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算 典｜例｜精｜析 例6.侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 变｜式｜巩｜固 11.如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 12.如图，在中，，D，E分别是边上的点，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若是的中点，，求证：； (3)若分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， ①当是边上的高，且时，则的度数为______； ②当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 题型07 三角形与平行线之间的角度问题 解题贴士 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理、直角三角形性质和三角形外角性质来解决问题. 典｜例｜精｜析 例7.如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D．． 变｜式｜巩｜固 13.如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 14.如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型08 三角形折叠中的角度问题 解题贴士 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 典｜例｜精｜析 例8.如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 15.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16.如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 题型09 三角板放置中的角度计算 解题贴士 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题. 典｜例｜精｜析 例9.两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 17.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 18.将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型10 等腰三角形角度探究 解题贴士 利用等腰三角形的两底角相等解决问题 典｜例｜精｜析 例10.如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是_____________ 变｜式｜巩｜固 19.若一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________ 20.在中，为边上的高，，，则的度数是_________ 题型11 三角形与角平分线、高线综合运用 解题贴士 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 典｜例｜精｜析 例11. 如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 21.如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 22.如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 题型12 三角形中的新定义问题 解题贴士 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题 典｜例｜精｜析 例12.当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为希望三角形，其中称为希望角．若一个希望三角形中有一个内角为，求这个希望三角形的希望角的度数． 变｜式｜巩｜固 23.如果三角形的两个内角与满足，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点是直线上的点，，若是“类直角三角形”，则___________°． 24.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 题型13 双角角平分线模型的角度探究 解题贴士 典｜例｜精｜析 例13.如图，，分别平分的内角，外角，外角．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 25.探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 26.【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 题型14 不规则图形内角和 解题贴士 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 典｜例｜精｜析 例14.如图，的度数为__________． 变｜式｜巩｜固 27.如图，已知，则为______． 28.在五角星形中，的度数_______． 基础通关 1.在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为______________ 6.如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则度数为_______ 7.如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为_______ 8.如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 9.如图，在中，D为边上一点，B为延长线上一点，连接交于点F，若，，，则等于_________ 10.如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 11.如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 素养提升 1.如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 2.如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 4.图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不同位置所决定，即位置决定数量关系．如图，直角三角板中，，，将三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则__________°． 5.如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 6.如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 迁移创新 1.如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 课标要点 1. 通过度量、剪拼感知内角和为180°，说出“为何要证明”； 2. 添加辅助线，用平行线性质+平角定义证明内角和定理； 3. 用定理求未知角、判断三角形形状。 4. 由内角和定理推出“直角三角形两锐角互余”； 5. 逆用得到“有两角互余的三角形是直角三角形”； 6. 用Rt△性质与判定做简单计算/证明。 7. 说出外角定义（一边与另一边延长线组成），在图形中准确识别外角及“不相邻两内角”； 8. 探索并证明“外角=不相邻两内角和”，推得“外角＞任一不相邻内角”； 9. 用外角性质做计算、推理，知道外角和=360°。 学习重难点 重点： 1. 三角形内角和定理及其证明​，不仅能说出“180°”，更能独立添加辅助线（作平行线），用几何语言完整书写证明过程。 2. 熟练运用“两锐角互余”进行计算，并能根据角度互余逆向判定直角三角形。 3. 掌握并证明“外角 = 与它不相邻的两个内角之和”，并能在复杂图形中识别、提取该等量关系。 难点： 1.理解并表述添加辅助线证明内角和定理的思路； 2.在复杂图形中准确识别外角及其对应的不相邻内角，规范书写几何推理过程。 知识点一 三角形的内角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 几何语言：在中，. 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线. 特别提醒 1）三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2）为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 即学即练 1． 1． 在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和为，已知两个角的度数，第三个角可通过180°减去已知两角的和求得． 【详解】解：在中，已知，根据三角形内角和定理，得： ， 故选：C． 2． 如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 3．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 知识点二 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 即学即练 1． 如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 2.如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 知识点三 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（.） ③三角形的外角和为360°（） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 即学即练 1．下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 2. 如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ， 是的外角， ， ， ． 3. 如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解： 是的外角， ， ， ， 故选：D． 题型01 三角形内角和的证明 解题贴士 转化思想，把三角形三个分散的内角，通过作平行线平移、拼接成平角（180°），这是所有证法的根本 典｜例｜精｜析 例1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 变｜式｜巩｜固 1．【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 2．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)（1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中 ①若，，则的度数为____． ②若，，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； （2）①过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数； ②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； （2）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ； ②， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 解题贴士 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 典｜例｜精｜析 例2. 根据条件，在△ABC中，求∠A的度数： (1)∠B＝70°，∠C＝50°，则∠A＝________； (2)∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A＝________； 【答案】(1)60°；(2)80°；(3)30°.　 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】(1)∵∠B＝70°，∠C＝50°，∴∠A＝180°－70°－50°＝60°； (2)∵∠C＝20°，∠A＝∠B，∴∠A＝×(180°－20°)＝80°； 故答案为：(1)60°；(2)80°； 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 3.若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是_______ 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：三角形的三个内角和为， 设三个内角大小分别为：、、， ， 解得， ， 此三角形的最大内角度数是． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 4.已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 题型03 直角三角形的性质 解题贴士 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 典｜例｜精｜析 例3.如图，直线，的直角顶点C在直线上，顶点B在直线上，交于点D，，，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， 在中，， ． 变｜式｜巩｜固 5.在中，，．求，的度数． 【答案】， 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是理解并掌握直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形中两个锐角互余，即可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6.如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】用表示，再利用，求出，再表示出，发现其等于，进而在直角三角形中求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型04 直角三角形的判定 解题贴士 1.有一个角为90°，判定为直角三角形； 2.两个内角互余，判定为直角三角形； 3. 三角形两边互相垂直，判定为直角三角形。 典｜例｜精｜析 例4.在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了一元一次方程的应用，根据条件合理设出未知数，根据三角形内角和定理建立方程即可求解． 【详解】解：①设， 则， 解得：， ∴ 故为直角三角形； ②设，则， ∴， 解得：，， 故不是直角三角形； ③∵， ∴， 故为直角三角形； ④设，则 ∴， 解得：， ∴ 故为直角三角形； 故选：B 变｜式｜巩｜固 7.已知：如图，在中，，垂足为D，．求证：为直角三角形． 【答案】证明见详解 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，通过角之间的转化推出为直角即可； 【详解】证明：∵ ∴ ∴, ∵ ∴, ∴ ∴为直角三角形 8.如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； （2）解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 题型05 三角形外角的定义 解题贴士 1.找外角：先看边，必须由一条边 + 另一边延长线构成。 2.区分关系：外角只和不相邻两个内角存在数量关系，和相邻内角互为邻补角（和为180°）。 3.识图技巧：复杂图形中，优先标出所有外角，借助外角性质转化角度，简化计算。 典｜例｜精｜析 例5.如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的外角的定义得出即可． 【详解】解：的一个外角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角定义和性质，注意：三角形的一个角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫三角形的外角． 变｜式｜巩｜固 9.如图所示，下列说法错误的是（    ） A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角； C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角； 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∠ACD是△ABC的一个内角，说法正确； B、∠BAD是△ABD的一个内角，说法正确； C、∠BEC是△ACE的一个外角，说法正确； D、∠AOC是△AEO的一个外角，原说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫作三角形的外角是解题的关键． 10.关于三角形的外角，下列说法错误的是（   ） A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的基本概念，需逐一分析各选项的正确性。 【详解】A选项：每个顶点处有2个外角（互为对顶角），故三角形共有6个外角，而非3个，选项A错误，符合题意. B选项：每个顶点处相邻两边延长形成的两个角均为外角，因此每个顶点处确实有两个外角，选项B正确，不符合题意. C选项：外角的定义是与相邻内角构成邻补角（即两角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为），选项C正确，不符合题意. D选项：三角形共有个顶点，每个顶点处有个外角，总计个外角，选项D正确，不符合题意. 故答案为：A. 题型06 利用三角形外角的性质计算与证明 解题贴士 找准外角及对应的不相邻内角，利用外角 = 不相邻两内角和列式计算 典｜例｜精｜析 例6.侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于_______度． 【答案】22 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故答案为：22． 变｜式｜巩｜固 11.如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12.如图，在中，，D，E分别是边上的点，连接． (1)若，则的度数为______； (2)若是的中点，，求证：； (3)若分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， ①当是边上的高，且时，则的度数为______； ②当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)①；②，证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，再根据三角形的高的定义及内角和定理求得，进而可求解； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得到，根据等量代换求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可； （3）先根据等腰三角形的性质得到，，进而求得，利用角平分线的定义可得答案； （4）①根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理分别求得，，，进而可求解； ②先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ， ，， 故答案为：； （2）证明：，D是的中点， ． ， ， ， ∴， ； （3）解：，是的中线， ，， ． ∵是的角平分线， ． （4）①∵是边上的高，， ，是的平分线， ． ， ． ， ， ， 故答案为：； ②．证明如下： ，， ，， ，， ， ． 题型07 三角形与平行线之间的角度问题 解题贴士 主要是利用平行线的性质得出角之间的数量关系，再利用三角形的内角和定理、直角三角形性质和三角形外角性质来解决问题. 典｜例｜精｜析 例7.如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角板中角度计算问题 【详解】解：． 变｜式｜巩｜固 13.如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14.如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型08 三角形折叠中的角度问题 解题贴士 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 典｜例｜精｜析 例8.如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 变｜式｜巩｜固 15.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据矩形的性质和平行线的性质可得，结合折叠的性质可得，利用三角形外角性质可得，最后在 中利用两锐角互余即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，，即，故选项正确， 由折叠的性质可知：， ∴，故选项不一定正确． 16.如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 题型09 三角板放置中的角度计算 解题贴士 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题. 典｜例｜精｜析 例9.两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变｜式｜巩｜固 17.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、对顶角相等、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 结合三角板的特征得到，，，再由是的外角、是的外角即可得解． 【详解】解：如下图： 三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形， ，，， 是的外角，与是对顶角， ， 是的外角， ． 故选：． 18.将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角板角的度数结合，即可求解． 【详解】解：， ， ，， . 题型10 等腰三角形角度探究 解题贴士 利用等腰三角形的两底角相等解决问题 典｜例｜精｜析 例10.如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是_____________ 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 变｜式｜巩｜固 19.若一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数为_________________________________________________________ 【答案】三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、用一元一次不等式解决几何问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数． 【详解】解 当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为 可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 当底角为、时，则等腰三角形性质可得 ， 解得， 此时三个内角分别为、、； 综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键． 20.在中，为边上的高，，，则的度数是_________ 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或， 故选：． 题型11 三角形与角平分线、高线综合运用 解题贴士 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 典｜例｜精｜析 例11. 如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出，再计算出，继而得到，再利用角平分线定义得， 再利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵分别为边上的高线和的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 21.如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 22.如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． （2）证明：∵，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． ， 分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ； ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 题型12 三角形中的新定义问题 解题贴士 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题 典｜例｜精｜析 例12.当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为希望三角形，其中称为希望角．若一个希望三角形中有一个内角为，求这个希望三角形的希望角的度数． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．分角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：①若的内角是，则希望角； ②若的内角是，则，解得希望角； ③若的内角既不是，也不是，则，即，解得， 综上所述，希望角的度数为或或． 变｜式｜巩｜固 23.如果三角形的两个内角与满足，则称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，已知点是直线上的点，，若是“类直角三角形”，则___________°． 【答案】15，105或30 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】分为四种情况，点在点左侧，且，点在点左侧，且点在点右侧，且，点在点右侧，且，画出图形，分别求出、、、的度数即可． 【详解】解：若点在点左侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， ； 若点在点左侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， 如图，若点在点右侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ， ； 若点在点右侧，是“类直角三角形”，且， ， ， ； 综上所述，的度数为或或 24.定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 题型13 双角角平分线模型的角度探究 解题贴士 典｜例｜精｜析 例13.如图，，分别平分的内角，外角，外角．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线定义，三角形的内角和定理及三角形外角性质，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故B正确； ∵，，，， ∴， ∴，故D正确； 无法判定． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 变｜式｜巩｜固 25.探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 26.【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 题型14 不规则图形内角和 解题贴士 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 典｜例｜精｜析 例14.如图，的度数为__________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质得出，，，结合平角的定义即可解答； 【详解】解：如图，设交于点，连接， 则，，， ∴， 又，， ∴． 变｜式｜巩｜固 27.如图，已知，则为______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 28.在五角星形中，的度数_______． 【答案】/180度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点，如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴． 基础通关 1.在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 2.如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 3.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理结合有一个角是90度的三角形是直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴是直角三角形；不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；不符合题意； C、，则：， ∴， ∴不是直角三角形；符合题意； D、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；不符合题意； 故选:C． 4.如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ， 故选：B． 5.如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为______________ 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 6.如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则度数为_______ 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 7.如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为_______ 【答案】110° 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 8.如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质 【分析】设交于点，根据已知可得，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 依题意， ∴ ∴ 9.如图，在中，D为边上一点，B为延长线上一点，连接交于点F，若，，，则等于_________ 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。根据题意先求得，再根据三角形内角和定理即可求得． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 10.如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）设，由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案； （2）由角平分线的定义得到，由三角形的高的定义得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 11.如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； (2)的度数为 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 素养提升 1.如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导、、与的数量关系，并验证选项D的等式即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ∴， 故A正确； 平分， ， 共线，B，C，F共线， ， 在中， ，故B错误； 分别平分， ，， ，故C正确； 由上可知，，， ，故D正确 2.如图，已知，，平分，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】延长交于点，根据平行得到，，，再由角平分线得到， 根据三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴，，， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 3.如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是______． 【答案】①②③④ 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③符合题意； ，， ， 故④符合题意， ∴符合题意的有①②③④． 4.图形变换中，图中的角与角之间的大小关系通常由图形运动的不同位置所决定，即位置决定数量关系．如图，直角三角板中，，，将三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则__________°． 【答案】10或20或30 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、利用平移的性质求解 【分析】根据平移后对应线段互相平行可得，再根据点在线段上时，，点在线段延长线上时，，两种情况结合与之间存在两倍关系分类讨论求解， 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， I．当点在线段上时，如图 ①当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴，解得：， ∴； II．点在线段延长线上时，如图2， ③当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴，，不合题意舍去， 综上所述：等于、、． 5.如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数大小不变，理由： ∵平分， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先求出的度数，利用即可求出的度数； （2）先求出的度数，利用即可求出的度数； （3）利用平分，平分，求出即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 6.如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）由得到，从而，即可得出，从而证明； （2）由得到，由得到，因此．由平行线的性质得到，从而，即可得证结论； （3）由平行线的性质结合，可得，， 设，，因此，从而．由平行线的性质与角平分线的定义得到，因此，根据角平分线的定义得到，可得，从而，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 迁移创新 1.如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 2.如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（　　） A．50° B．55° C．63° D．65° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由光线的反射角等于入射角得出，，由平角的定义和三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得 ，， ∴． 故选：C． 3.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $