16.2 整式的乘法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“整式的乘法”核心知识点，系统梳理同底数幂的除法、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式及整式的除法等内容，构建从基础幂运算到整式乘除的递进式知识支架，帮助学生夯实运算基础。 资料以题型为导向，每个知识点配套“解题知识+典例+变式”模块，通过具体问题（如用卡片拼长方形理解多项式乘法）培养学生的抽象能力与运算能力，强化推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用数学语言解决问题的能力。

第16章 16.2 整式的乘法 内 容 导 航 题型1 同底数幂的除法 题型2 单项式乘单项式 题型3 单项式乘多项式 题型4 多项式乘多项式 题型5 整式的除法 考 点 演 练 题型1 同底数幂的除法 解｜题｜知｜识 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．5a2+3a2＝8a4 B．a3•a4＝a12 C．a+2b＝2ab D．a5÷a2＝a3 【答案】D 【解答】解：A、结果是8a2，故本选项正确； B、结果是a7，故本选项错误； C、不能合并，故本选项错误； D、结果是a3，故本选项正确； 故选：D． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5 【答案】B 【解答】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、a2•a3＝a5，故B符合题意； C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意； D、（a2）3＝a6，故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】若3x＝2，3y＝5，则31+x﹣2y的值为（　　） A．﹣20 B．﹣19 C． D． 【答案】C 【解答】解：31+x﹣2y＝3•3x÷32y＝6÷25． 故选：C． 【变式3】已知xm＝3，xn＝6，则x2m﹣n的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：． 故答案为：． 题型2 单项式乘单项式 解｜题｜知｜识 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【典例1】在下列运算中，计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x3+x3＝x6 C．3x2•2x＝6x3 D．（2x）3＝6x3 【答案】C 【解答】解：A、x2•x3＝x5，故计算错误； B、x3+x3不是同类项，不能合并，故错误； C、3x2•2x＝6x3，计算正确； D、（2x）3＝8x3，计算不正确． 故选：C． 【变式1】计算：（　　） A．﹣9x2y3 B．6x2y3 C．6x3y5 D．9x3y5 【答案】D 【解答】解：原式9x3y5． 故选：D． 【变式2】若单项式﹣8xay和x2yb的积为﹣2x5y6，则ab的值为（　　） A．2 B．30 C．﹣15 D．15 【答案】D 【解答】解：﹣8xayx2yb＝﹣2xa+2yb+1＝﹣2x5y6， ∴a+2＝5，b+1＝6， 解得a＝3，b＝5， ∴ab＝3×5＝15， 故选：D． 【变式3】（1）已知am＝2，an＝3，求a2m﹣3n的值． （2）已知：x2n＝3，求x4n+（2xn）（﹣5x5n）的值． （3）已知3x+5y＝4，求8x•25y的值． （4）已知3×9m×27m＝321，求m的值． 【答案】（1）； （2）﹣261； （3）16； （4）m＝4． 【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴a2m﹣3n ＝a2m÷a3n ＝（am）2÷（an）3 ＝22÷33 ； （2）∵x2n＝3， ∴x4n+（2xn）（﹣5x5n） ＝x4n+（﹣10x6n） ＝（x2n）2﹣10（x2n）3 ＝32﹣10×33 ＝﹣261； （3）∵3x+5y＝4， ∴8x•25y ＝23x•25y ＝23x+5y ＝24＝16； （4）∵3×9m×27m＝321， ∴3×32m×33m＝321， ∴35m+1＝321， ∴5m+1＝21， 解得m＝4． 题型3 单项式乘多项式 解｜题｜知｜识 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【典例1】一个长方体的长、宽、高分别是3a+6，4a和3a，则它的体积等于（　　） A．15a3+18a2 B．21a3+42a2 C．36a3+72a D．36a3+72a2 【答案】D 【解答】解：一个长方体的长、宽、高分别是3a+6，4a和3a， 依题意，长方体的体积为（3a+6）×4a×3a ＝12a2（3a+6） ＝36a3+72a2． 故选：D． 【变式1】定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【答案】B 【解答】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 【变式2】若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．﹣3 B． C．0 D．3 【答案】A 【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2 ＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x， ∵结果中不含有x2项， ∴﹣2a﹣6＝0， ∴a＝﹣3． 故选：A． 【变式3】阅读材料：若m2﹣2m﹣1＝0，则m2﹣2m＝1，利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：m3﹣3m2+m+5＝m（m2﹣2m）﹣m2+m+5＝m×1﹣m2+m+5＝﹣（m2﹣2m）+5＝﹣1+5＝4． 请你根据材料，解决下列问题： 已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式2x3﹣3x2﹣11x+1的值． 【答案】4． 【解答】解：由题意可得：x2﹣3x＝1， 原式＝2x（x2﹣3x）+3x2﹣11x+1 ＝2x×1+3x2﹣11x+1 ＝3x2﹣9x+1 ＝3（x2﹣3x）+1 ＝3×1+1 ＝4． 题型4 多项式乘多项式 解｜题｜知｜识 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【典例1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 【答案】B 【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6， ∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n， ∴y2+my+n＝y2+y﹣6， ∴m＝1，n＝﹣6． 故选：B． 【变式1】如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵（x﹣2）（x2+3mx﹣m） ＝x（x2+3mx﹣m）﹣2（x2+3mx﹣m） ＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m ＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m， ∵如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项， ∴3m﹣2＝0， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（2a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片（　　） A．7张 B．6张 C．3张 D．2张 【答案】A 【解答】解：现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（2a+b），宽为（a+3b）的大长方形， 大长方形的面积为：（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2， ∵C类卡片的面积为ab， ∴需要C类卡片为7张； 故选：A． 【变式3】若的积中不含x与x2项． （1）求p，q的值； （2）求代数式（﹣p3q2）2+p2024q2023的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） ， ∵的积中不含x与x2项， ∴， ∴； （2）（﹣p3q2）2+p2024q2023 ＝p6q4+p2023•p•q2023 ＝p6q4+（pq）2023•p， 当p＝﹣3，时， 原式＝（﹣3）6 ＝32+（﹣1）×（﹣3） ＝9+3 ＝12． 题型5 整式的除法 解｜题｜知｜识 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【典例1】小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，□×3ab＝6ab﹣3ab3，□为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【答案】A 【解答】解：将各选项分别代入并验证等号左右两边是否相等再进行判断如下： A．将（2﹣b2）代入验证，可得（2﹣b2）×3ab＝6ab﹣3ab3，故本选项符合题意； B．将（2+2b）代入验证，可得（2+2b）×3ab＝6ab+6ab2≠6ab﹣3ab3，故本选项不符合题意； C．将（3ab+2b2）代入验证，可得（3ab+2b2）×3ab＝9a2b2+6ab3≠6ab﹣3ab3，故本选项不符合题意； D．将（2ab+b2）代入验证，可得（2ab+b2）×3ab＝6a2b2+3ab3≠6ab﹣3ab3，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】已知★÷6x4y3＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【答案】A 【解答】解：由题意得★＝2xy2×6x4y3＝12x5y5， 故选：A． 【变式2】一个机箱面板的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，则这个面板的宽为（　　） A． B． C．x﹣2y+3 D．xy﹣2y+3 【答案】A 【解答】解：∵面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy， ∴面板的宽＝（2x2y﹣4xy3+3xy）÷2xy ， 故选：A． 【变式3】计算： （1）； （2）（4x3y﹣6x2y2+2xy）÷2xy 【答案】（1）0； （2）2x2﹣3xy+1． 【解答】解：（1） ＝2﹣3﹣（﹣1） ＝2﹣3+1 ＝0； （2）（4x3y﹣6x2y2+2xy）÷2xy ＝（4x3y÷2xy）﹣（6x2y2÷2xy）+（2xy÷2xy） ＝2x2﹣3xy+1． 过 关 验 收 1. 下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x6÷x3＝x2 C．（x2）3＝x6 D．（xy）2＝xy2 【答案】C 【解答】解：A、x2•x3＝x5，故该项不正确，不符合题意； B、x6÷x3＝x3，该项不正确，不符合题意； C、（x2）3＝x6，该项正确，符合题意； D、（xy）2＝x2y2，该项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 若x≠0，x5□x4＝x，则“□”内应填的运算符号为（　　） A．﹣ B．+ C．÷ D．× 【答案】C 【解答】解：∵x5÷x4＝x5﹣4＝x， ∴若x≠0，x5÷x4＝x， ∴“□”内应填的运算符号为÷， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A． B．x2•x3＝x6 C．（2xy）2＝2x2y2 D．x8÷x4＝x4 【答案】D 【解答】解：根据分数除法、同底数幂的乘法、积的乘方和同底数幂除法逐项分析判断如下： ∵选项A：， ∴A错误，不符合题意； ∵选项B：x2•x3＝x2+3＝x5≠x6， ∴B错误，不符合题意； ∵选项C：（2xy）2＝22•x2•y2＝4x2y2≠2x2y2， ∴C错误，不符合题意； ∵选项D：x8÷x4＝x8﹣4＝x4， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 4. 计算：（﹣a）4•a3÷（﹣a2）＝　﹣a5 ． 【答案】﹣a5． 【解答】解：原式＝a4•a3÷（﹣a2）＝a7÷（﹣a2）＝﹣a5． 故答案为：﹣a5． 5. 下列各式中，计算正确的是（　　） A．36+32＝38 B．（﹣xy2）3＝﹣x3y5 C．xy•（﹣2x）＝﹣2x2﹣2xy D．53÷52＝5 【答案】D 【解答】解：根据积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂除法，有理数乘方运算逐项分析判断如下： A．36+32＝729+9＝738≠6561＝38，故A错误，不符合题意； B．（﹣xy2）3＝（﹣1）3•x3•（y2）3＝﹣x3y6≠﹣x3y5，故 B错误，不符合题意； C．xy•（﹣2x）＝﹣2x2y≠﹣2x2﹣2xy，故C错误，不符合题意； D．53÷52＝53﹣2＝51＝5，故D正确，符合题意； 故选：D． 6. 若单项式﹣2x4ay3与是同类项，则这两个单项式的乘积为（　　） A．﹣x8y3 B．x8y3 C．﹣x16y6 D．x16y6 【答案】C 【解答】解：若单项式﹣2x4ay3与是同类项， 则这两个单项式是﹣2x8y3和， ∴， 故选：C． 7. 下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2•3ab2＝﹣3a2b5 C．a3+a5＝a8 D．a6÷a2＝a4 【答案】D 【解答】解：A、（2a2）3＝23•（a2）3＝8a6≠6a6，错误，不符合题意； B、﹣a2b2•3ab2＝﹣3•a2+1•b2+2＝﹣3a3b4≠﹣3a2b5，错误，不符合题意； C、a3与a5为加法，不能合并，错误，不符合题意； D、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，正确，符合题意． 故选：D． 8. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1）4；（2）． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+2+1＝4； （2）原式． 9. 已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：∵M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x+5， ∴M•N+P ＝﹣x（x2﹣ax）+x3+3x2+5 ＝﹣x3+ax2+x3+3x2+5 ＝（a+3）x2+5， ∵M•N+P的值与x的取值无关， ∴a+3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：A． 10. 某同学计算一个多项式乘﹣3x2时，因抄错符号，算成了加上﹣3x2，得到的答案是x2x+1，那么正确的计算结果是　﹣12x4　 ． 【答案】﹣12x4 【解答】解：这个多项式是（x2x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2x+1， 正确的计算结果是：（4x2x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4x3﹣3x2． 故答案为：﹣12x4x3﹣3x2． 11. 如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　4m+n ，宽b＝　2m+n ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）大长方形的长a＝m+n+3m＝4m+n，宽b＝m+n+m＝2m+n； 故答案为：4m+n，2m+n； （2）阴影部分的面积： （4m+n）（2m+n）﹣6m（m+n） ＝8m2+4mn+2mn+n2﹣6m2﹣6mn， ＝2m2+n2， ∴阴影部分的面积为2m2+n2； （3），阴影部分的面积为2m2+n2，且S1＝4S2， ∴8m2+6mn+n2＝4（2m2+n2）＝8m2+4n2， 整理得：6mn＝3n2， 解得：n＝2m． 12. 先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 13. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 【答案】D 【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+6）（x+4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x+6）（x+4）﹣6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x+4，宽为x和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x+4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x+4）+24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x+6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x+6）+x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x+4）+24＝x2+4x+24，故符合题意； 故选：D． 14. 若（x﹣a）（x2+3x﹣2）的展开式中不含x2项，则常数a的值为（　　） A．0 B．3 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵多项式（x﹣a）（x2+3x﹣2）＝x3+（3﹣a）x2+（﹣3a﹣2）x+2a不含x2项， ∴3﹣a＝0， 解得a＝3． 故选：B． 15. 已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+24， ∴x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+24， ∴a+b＝m，ab＝24， ∵a、b为整数， ∴或或或或或或或， 或或或或或或或， ∴24+1＝25，12+2＝14，8+3＝11，6+4＝10，4+6＝10，3+8＝11，﹣24﹣1＝﹣25，﹣12﹣2＝﹣14，﹣8﹣3＝﹣11，﹣6﹣4＝﹣10， ∴a+b＝25或14或11或10或﹣25或﹣14或﹣11或﹣10， ∴m的取值有8个， 故选：D． 16. 小明在计算（x+3）（x﹣■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣4，则被染黑的常数为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】截：∵（x+3）（x﹣■）的结果中的一次项系数为﹣4， ∴3﹣■＝﹣4， 解得■＝7， 故答案为：7． 17. 若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【答案】A 【解答】解：由题意得， ∴m＝4，n＝2， 故选：A． 18. （6x4﹣4x3+2x2）÷2x2＝　3x2﹣2x+1　 ． 【答案】3x2﹣2x+1． 【解答】解：（6x4﹣4x3+2x2）÷2x2 ＝6x4÷2x2﹣4x3÷2x2+2x2÷2x2 ＝3x2﹣2x+1． 故答案为：3x2﹣2x+1． 19. 计算： （1）（x﹣1）（x+2）； （2）（12x2y﹣8xy2）÷4xy． 【答案】（1）x2+x﹣2；（2）3x﹣2y． 【解答】解：（1）原式＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2； （2） 原式＝12x2y÷4xy﹣8xy2÷4xy＝3x﹣2y． 20. 化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝[x2﹣2xy+y2﹣3x2+2xy+x2﹣y2]÷2x ＝（﹣x2）÷2x x， 当x＝1，y＝﹣2时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 16.2 整式的乘法 内 容 导 航 题型1 同底数幂的除法 题型2 单项式乘单项式 题型3 单项式乘多项式 题型4 多项式乘多项式 题型5 整式的除法 考 点 演 练 题型1 同底数幂的除法 解｜题｜知｜识 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 【典例1】下列运算正确的是（　　） A．5a2+3a2＝8a4 B．a3•a4＝a12 C．a+2b＝2ab D．a5÷a2＝a3 【变式1】下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5 【变式2】若3x＝2，3y＝5，则31+x﹣2y的值为（　　） A．﹣20 B．﹣19 C． D． 【变式3】已知xm＝3，xn＝6，则x2m﹣n的值为 　 ． 题型2 单项式乘单项式 解｜题｜知｜识 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【典例1】在下列运算中，计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x3+x3＝x6 C．3x2•2x＝6x3 D．（2x）3＝6x3 【变式1】计算：（　　） A．﹣9x2y3 B．6x2y3 C．6x3y5 D．9x3y5 【变式2】若单项式﹣8xay和x2yb的积为﹣2x5y6，则ab的值为（　　） A．2 B．30 C．﹣15 D．15 【变式3】（1）已知am＝2，an＝3，求a2m﹣3n的值． （2）已知：x2n＝3，求x4n+（2xn）（﹣5x5n）的值． （3）已知3x+5y＝4，求8x•25y的值． （4）已知3×9m×27m＝321，求m的值． 题型3 单项式乘多项式 解｜题｜知｜识 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【典例1】一个长方体的长、宽、高分别是3a+6，4a和3a，则它的体积等于（　　） A．15a3+18a2 B．21a3+42a2 C．36a3+72a D．36a3+72a2 【变式1】定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【变式2】若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．﹣3 B． C．0 D．3 【变式3】阅读材料：若m2﹣2m﹣1＝0，则m2﹣2m＝1，利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：m3﹣3m2+m+5＝m（m2﹣2m）﹣m2+m+5＝m×1﹣m2+m+5＝﹣（m2﹣2m）+5＝﹣1+5＝4． 请你根据材料，解决下列问题： 已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式2x3﹣3x2﹣11x+1的值． 题型4 多项式乘多项式 解｜题｜知｜识 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【典例1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 【变式1】如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为（　　） A． B．0 C． D． 【变式2】如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（2a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片（　　） A．7张 B．6张 C．3张 D．2张 【变式3】若的积中不含x与x2项． （1）求p，q的值； （2）求代数式（﹣p3q2）2+p2024q2023的值． 题型5 整式的除法 解｜题｜知｜识 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【典例1】小明在写作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，□×3ab＝6ab﹣3ab3，□为墨水弄污的部分，那么被墨水弄污的部分是（　　） A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2） 【变式1】已知★÷6x4y3＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【变式2】一个机箱面板的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，则这个面板的宽为（　　） A． B． C．x﹣2y+3 D．xy﹣2y+3 【变式3】计算： （1）； （2）（4x3y﹣6x2y2+2xy）÷2xy 过 关 验 收 1. 下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x6÷x3＝x2 C．（x2）3＝x6 D．（xy）2＝xy2 2. 若x≠0，x5□x4＝x，则“□”内应填的运算符号为（　　） A．﹣ B．+ C．÷ D．× 3. 下列计算正确的是（　　） A． B．x2•x3＝x6 C．（2xy）2＝2x2y2 D．x8÷x4＝x4 4. 计算：（﹣a）4•a3÷（﹣a2）＝　 ． 5. 下列各式中，计算正确的是（　　） A．36+32＝38 B．（﹣xy2）3＝﹣x3y5 C．xy•（﹣2x）＝﹣2x2﹣2xy D．53÷52＝5 6. 若单项式﹣2x4ay3与是同类项，则这两个单项式的乘积为（　　） A．﹣x8y3 B．x8y3 C．﹣x16y6 D．x16y6 7. 下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2•3ab2＝﹣3a2b5 C．a3+a5＝a8 D．a6÷a2＝a4 8. 计算与化简： （1）； （2）． 9. 已知M＝x2﹣ax，N＝﹣x，P＝x3+3x2+5，若M•N+P的值与x的取值无关，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．5 D．4 10. 某同学计算一个多项式乘﹣3x2时，因抄错符号，算成了加上﹣3x2，得到的答案是x2x+1，那么正确的计算结果是　 　 ． 11. 如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 ，宽b＝　 ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 12. 先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 13. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 14. 若（x﹣a）（x2+3x﹣2）的展开式中不含x2项，则常数a的值为（　　） A．0 B．3 C．2 D．﹣2 15. 已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 16. 小明在计算（x+3）（x﹣■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣4，则被染黑的常数为 　 　 ． 17. 若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 18. （6x4﹣4x3+2x2）÷2x2＝　 　 ． 19. 计算： （1）（x﹣1）（x+2）； （2）（12x2y﹣8xy2）÷4xy． 20. 化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $