16.2 整式的乘法同步分层训练2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 分层设计梯度清晰，从基础运算到几何综合应用递进，强化整式乘法知识体系构建与数学核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单项式/多项式乘法、因式分解基础|直接计算题（如选择1-5），夯实运算能力| |中档层|几何图形面积与整式乘法结合|图形面积表示（如选择3、填空11），培养几何直观| |提升层|动态几何与代数恒等式证明|含参数综合题（如选择8、综合18），发展推理意识与模型观念|

16.2 整式的乘法 同步分层训练 一、选择题 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（　　） A．-11 B．11 C．-3 D．3 3．如图，四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式， ① ② ③ ④ 你认为其中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 4．计算：（　　） A． B． C． D． 5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（　　） A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 6．设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若，则，的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．如图1的8张宽为a，长为 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则　 　. 10．一个多项式与的积为，则　 　. 11．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 ， 的正方形和长为 宽为 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： ． （1）图3可以解释为等式：　 　； （2）要拼出一个两边长为 ， 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论； 　 　块， 　 　块， 　 　块 （3）如图4，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若用 ， （ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是　 　 （填序号）．① ；② ；③ ；④ ． 12．现有A、B、C三种型号的地板砖，其规格如图所示，若用这三种地板砖铺设一个长为 ，宽为 的长方形地面，则需要B种地砖　 　块． 13．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片　 　张． 三、计算题 14．计算： 15．若的积中不含项与项，求、的值； 16．小马虎同学在进行两个多项式的乘法时，不小心把乘以，错抄成除以，结果得，则第一个多项式是多少？ 四、综合题 17．我们知道，根据几何图形的面积关系可以说明一些等式的成立． 例如：可以用图1的面积关系来说明． （1）根据图2写出一个等式　 　； （2）请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明 （注：不必证明，用代数式标出各部分面积即可）． 18． （1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形， 请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（，为常数） ①因式的积的形式：　 　； ②关于的二次多项式的形式：　 　；由①与②，可以得到一个等式：　 　. （2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：， 故答案为：B. 【分析】先计算积的乘方，再进行单项式乘以单项式运算. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵(x-3)(x+n)=x2+(n-3)x-3n=x2-mx+12， ∴n-3=-m，-3n=12， ∴n=-4，m=7， ∴m-n=7-(-4)=11. 故答案为：B. 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-3)(x+n)=x2+(n-3)x-3n=x2-mx+12，据此可求出m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：最大长方形的面积为：（2a+b）（m+n）=2a（m+n）+b（m+n）=m(2a+b)+n(2a+b)=2am+2an+bm+bn； 故其中正确的有①②③④； 故选：D. 【分析】根据矩形的面积等于矩形的长×宽可得最大长方形的面积为（2a+b）（m+n），然后根据多项式乘多项式对四种表示方法进行判断即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：. 故答案为：B. 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3=x2+ax+b， ∴a=-2，b=-3. 故答案为：B. 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x+1)(x-3)=x2-2x-3，据此可得a、b的值. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2， ∴需要C类纸片的张数为8. 故答案为：C. 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(3a+b)(2a+2b)=6a2+8ab+2b2，据此可得需要C类纸片的张数. 7．【答案】A 【解析】【解答】∵，， ∴，， 故答案为：A. 【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出a、b的值即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的面积为 ，右下角的阴影部分的面积为 ， S1=（BC-3 ）× ，S2=（BC- ）×5 =（BC -3 ）× -(BC- ）×5 . = = 当 的长度变化时，按照同样的放置方式， 始终保持不变， ， . 故答案为： . 【分析】 分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即与BC无关，则可求得a与b的数量关系． 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴(x+a)(x-3)=x2-3x-ax-3a=x2+(a-3)x-3a 即：x2+(a-3)x-3a=x2+2x-b ∴ 解得： ∴a-b=5-15=-10 故答案为：-10 【分析】因为(x+a)(x-3)=x2+2x-b，计算(x+a)(x-3)的结果为：x2+(a-3)x-3a与x2+2x-b的系数对比，得出关于a，b的二元一次方程组，解出a，b的值，再计算a-b的结果即可。 10．【答案】0 【解析】【解答】解：∵积中x的三次项的系数为1， ∴另一个多项式的一次项系数也是1， ∵积中有常数项为2， ∴另一个多项式为， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：0. 【分析】根据多项式的乘法法则由“积中x的三次项的系数为1”得另一个多项式的一次项系数也是1，由“积中有常数项为2”得另一个因式的常数项是-2，据此可得另一个多项式为（x-2），然后根据多项式的乘法法则算出三个多项式的乘积，最后根据多项式中每项的系数相同，可得结果. 11．【答案】（1）2a2+5ab+2b2 （2）3；4；1 （3）①③ 【解析】【解答】解：（1） =2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2（2）因为 =3a2+4ab+b2，所以需要a×a的3块，a×b的4块，b×b的1块， 故答案为：3，4，1．（3）由图4可知，m=x+y，n=x-y，所以①正确； 因为m2-n2= =2x•2y=4xy，所以②不正确； 因为mn= =x2-y2，所以③正确； 因为 ，所以④不正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 【分析】（1）图3是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得出等式； （2）计算出（a+b）（3a+b）的结果，即可得出答案； （3）根据图4得出 ，n=x-y，再依据公式进行恒等变形即可。 12．【答案】5 【解析】【解答】解：根据题意可得长方形地面的面积为 ， 则需要B种地砖5块， 故答案为：5． 【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求出，因为A的面积为，B的面积为ab，C的面积为，即可得到需要5块B种地砖。 13．【答案】7 【解析】【解答】长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为： （3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2， ∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2， ∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张， 故答案为：7． 【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+b，宽为a+2b的长方形的面积是多少，判断需要B类卡片多少张即可。 14．【答案】解： . 【解析】【分析】先根据单项式乘多项式进行化简，进而合并同类项即可求解。 15．【答案】解： ， ∵积中不含项与项， ，， 【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法化简可得，再根据“ 积中不含x项与项”，可得 ，，再求出p、q的值即可。 16．【答案】解： ， ， 【知识点】多项式乘多项式 【解析】【分析】根据被除式等于除式乘以商式列出式子，进而根据多项式乘以多项式的法则计算即可. 17．【答案】（1） （2）解：例如∶可以用下面的图形的面积关系来说明∶ 【解析】【解答】解：(1)； 【分析】（1）根据所给的图形求出即可作答； （2）根据多项式乘以多项式法则，结合题意计算求解即可。 18．【答案】（1）（x-a）（x-b）；x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab （2）解：由（1）可知：（a-m）（a-2）=a2-（m+2）a+2m， 又∵（a-m）（a-2）=a2+na+6， ∴2m=6，n=-（m+2）. 解得：m=3，n=-5； （3）解：∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x， 新几何体的体积=（x+1）（x-1）x， ∴x3-x=（x+1）（x-1）x. 【解析】【解答】解：（1）①阴影部分的面积=（x-a）（x-b）， ②阴影部分的面积=x2-ax-bx+ab=x2-（a+b）x+ab， ∵阴影部分的面积不变， ∴（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab. 故答案为：①（x-a）（x-b）；②x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab； 【分析】（1）①，阴影部分矩形的长与宽分别表示为x-a与x-b，进而根据矩形的面积等于长×宽即可得出答案；②利用割补法，阴影部分的面积=长为x的正方形的面积-长为a宽为b的矩形的面积-长为x宽为b的矩形的面积-长为x宽为a的矩形的面积，即可得出答案，进而根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等即可得到等式； （2）将所给等式的左边利用（1）的结论变形，通过观察即可得出关于m、n的方程组，求解即可得出m、n的值； （3）用棱长为x的正方体的体积减去长为x宽为1高1的体积表示出左图的体积，根据长方体体积计算公式算出长宽高分别为（x+1）、x、（x-1）的体积，由两个体积相等建立等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $