18.2 分式的乘法与除法同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（人教版）

本讲义聚焦“分式的乘法与除法”核心知识点，系统梳理分式乘法法则、除法法则、乘方法则及混合运算顺序，明确“先乘方再乘除”的运算逻辑，结合因式分解、整式与分式转化等技巧，搭建从基础法则到综合应用的学习支架。 资料通过典例引领、变式训练（如接力游戏纠错、结果反推被污染式子）及过关验收设计，强化运算能力与推理意识，课中助力教师分层教学，课后学生可通过多样化题目自测，有效查漏补缺，提升分式运算的准确性与规范性。

第18章 18.2 分式的乘法与除法 内 容 导 航 题型1 分式的乘除法 考 点 演 练 题型1 分式的乘除法 解｜题｜知｜识 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【典例1】计算：（　　） A．a B． C．b D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．a﹣b B．a+b C．b D． 【变式3】老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4】下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a4 B．a2•a2＝2a2 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D． 【变式5】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式6】计算： （1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）； （2）（xy﹣x2）•． 过 关 验 收 1. 下列计算错误的是（　　） A．2a2•a3＝2a5 B． C．m4+m4＝m8 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 2. 化简的结果是（　　） A． B．a C． D． 3. 如果x等于它的倒数，那么分式的值是（　　） A． B．﹣1 C．﹣1或5 D．5 4. 计算（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 5. 计算：（　　） A． B． C． D． 6. 老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如下：（），则被遮住的部分是（　　） A． B． C． D． 7. 计算结果为（　　） A． B． C． D． 8. 化简：a ． 9. 计算：（）2＝ ． 10. 若，则A等于 　 ． 11. 如果代数式m2+2m＝1，那么的值为　 　 ． 12. 给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是　 ；根据你发现的规律，试写出第6个分式　 ． 13. （1）计算：； （2）化简：． 14. 计算： （1）； （2）（m+1）2﹣（m+1）（m﹣1）+2m． 15. 计算： （1）2x•x5+（x3）2； （2）． 16. （1）计算：； （2）因式分解：9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）． 17. 计算：（1）a3•a+（﹣2a2）2； （2）． 18. 计算： （1）； （2）（5x+1）（2x﹣3）﹣（3x﹣2）2． 19. 计算： （1）（10x2y﹣5xy2）÷（﹣5xy）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）（2x﹣5）2﹣（2x+7）（2x﹣7）． 21. 计算： （1）x4•（﹣2x）2﹣x8÷x2； （2）； 因式分解： （3）a3﹣6a2b+9ab2． 22. 计算． 23. 已知：A，B． （1）化简分式A； （2）若关于x的分式方程：A+B＝1的解是非负数，求m的取值范围； （3）当x取什么整数时，分式A的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 18.2 分式的乘法与除法 内 容 导 航 题型1 分式的乘除法 考 点 演 练 题型1 分式的乘除法 解｜题｜知｜识 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【典例1】计算：（　　） A．a B． C．b D． 【答案】D 【解答】解：， 故选：D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 【变式2】若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．a﹣b B．a+b C．b D． 【答案】C 【解答】解：原式， 又∵为整式， ∴□•（a+b）必须能被b整除，选项C符合题意． 故选：C． 【变式3】老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：老师到甲：，故选项A不符合题意； 甲到乙：，故选项B符合题意； 乙到丙：，故选项C不符合题意； 丙到丁：，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式4】下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a4 B．a2•a2＝2a2 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D． 【答案】A 【解答】A．a6÷a2＝a6﹣2＝a4，符合同底数幂的除法规则，正确． B．a2•a2＝a4，不符合合并同类项法则，原式错误． C．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，应为完全平方公式，原式错误． D.，指数运算错误，原式错误． 故选：A． 【变式5】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， 故选：B． 【变式6】计算： （1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）； （2）（xy﹣x2）•． 【答案】（1）5x2﹣4xy； （2）﹣y． 【解答】解：（1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y） ＝4x2﹣4xy+y2+x2﹣y2 ＝5x2﹣4xy； （2）（xy﹣x2）• ＝﹣y． 过 关 验 收 1. 下列计算错误的是（　　） A．2a2•a3＝2a5 B． C．m4+m4＝m8 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 【答案】C 【解答】解：A.2a2•a3＝2a5，故选项A正确； B.，故选项B正确； C．m4+m4＝2m4，故选项C错误； D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，故选项D正确． 故选：C． 2. 化简的结果是（　　） A． B．a C． D． 【答案】B 【解答】解：原式a． 故选：B． 3. 如果x等于它的倒数，那么分式的值是（　　） A． B．﹣1 C．﹣1或5 D．5 【答案】D 【解答】解：∵x等于它的倒数， ∴x＝±1， ∴ ＝x2﹣3x+1， 当x＝1时，分式无意义，舍去； 当x＝﹣1时，原式＝1+3+1＝5； 综上，原式的值为5， 故选：D． 4. 计算（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：（）2 • ， 故选：D． 5. 计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：原式， 故选：C． 6. 老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如下：（），则被遮住的部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：被遮住的部分是 ， 故选：D． 7. 计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式•x（x﹣2） ． 故选：B． 8. 化简：a ． 【答案】a． 【解答】解：原式 ＝a． 故答案为：a． 9. 计算：（）2＝　　 ． 【答案】 【解答】解：原式， 故答案为： 10. 若，则A等于 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 11. 如果代数式m2+2m＝1，那么的值为　1　 ． 【答案】1 【解答】解： ＝m2+2m， 因为m2+2m＝1， 所以的值为1， 故答案为：1 12. 给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是　　 ；根据你发现的规律，试写出第6个分式　　 ． 【答案】； 【解答】解：， 第五个分式为：•（）， 第六个分式为：•（）， 故答案为：；． 13. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0； （2）x． 【解答】解：（1） ＝4﹣1﹣3 ＝0； （2） ＝x． 14. 计算： （1）； （2）（m+1）2﹣（m+1）（m﹣1）+2m． 【答案】（1）；（2）4m+2． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（m2+2m+1）﹣（m2﹣1）+2m ＝m2+2m+1﹣m2+1+2m ＝4m+2． 15. 计算： （1）2x•x5+（x3）2； （2）． 【答案】（1）3x6； （2）． 【解答】解：（1）2x•x5+（x3）2 ＝2x6+x6 ＝3x6； （2） ． 16. （1）计算：； （2）因式分解：9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）． 【答案】（1）； （2）（x﹣y）（3a﹣2b）（3a+2b）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a﹣2b）（3a+2b）． 17. 计算：（1）a3•a+（﹣2a2）2； （2）． 【答案】（1）5a4； （2）． 【解答】解：（1）原式＝a4+4a4 ＝5a4； （2）原式 ． 18. 计算： （1）； （2）（5x+1）（2x﹣3）﹣（3x﹣2）2． 【答案】（1）； （2）x2﹣x﹣7． 【解答】解：（1） ； （2）（5x+1）（2x﹣3）﹣（3x﹣2）2 ＝（10x2﹣15x+2x﹣3）﹣（9x2﹣12x+4） ＝10x2﹣13x﹣3﹣9x2+12x﹣4 ＝x2﹣x﹣7． 19. 计算： （1）（10x2y﹣5xy2）÷（﹣5xy）； （2）． 【答案】（1）y﹣2x；（2）． 【解答】解：（1）原式＝5xy（2x﹣y）÷（﹣5xy） ＝﹣（2x﹣y） ＝y﹣2x； （2）原式•• ． 20. 计算： （1）； （2）（2x﹣5）2﹣（2x+7）（2x﹣7）． 【答案】（1）； （2）74﹣20x． 【解答】解：（1）原式•； （2） 原式＝4x2﹣20x+25﹣4x2+49＝74﹣20x． 21. 计算： （1）x4•（﹣2x）2﹣x8÷x2； （2）； 因式分解： （3）a3﹣6a2b+9ab2． 【答案】（1）3x6； （2）； （3）a（a﹣3b）2． 【解答】解：（1）x4•（﹣2x）2﹣x8÷x2 ＝x4•4x2﹣x6 ＝4x6﹣x6 ＝3x6； （2） ； （3）a3﹣6a2b+9ab2 ＝a（a2﹣6ab+9b2） ＝a（a﹣3b）2． 22. 计算． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式•（4a2b2） •• ． 23. 已知：A，B． （1）化简分式A； （2）若关于x的分式方程：A+B＝1的解是非负数，求m的取值范围； （3）当x取什么整数时，分式A的值为整数． 【答案】（1）； （2）m且m≠2，m； （3）当x取﹣2，2或0时，分式A的值为整数． 【解答】解：（1）A • ； （2）∵A+B＝1， ∴1， ∴x2﹣4x﹣（x2﹣2m）＝x﹣1， 解得：x， ∵分式方程的解是非负数， ∴x≥0且x≠1， ∴0且1，4， ∴m且m≠2，m， ∴m的取值范围为：m且m≠2，m； （3）A ＝x﹣3， ∵分式A的值为整数， ∴x﹣1＝±3或±1， ∴x＝4，﹣2，2，0， 由题意得：x﹣4≠0， ∴x≠4， ∴当x取﹣2，2或0时，分式A的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $