专题17 分式的运算与化简求值（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦分式的运算与化简求值核心知识点，以分式基本性质为基础，系统梳理约分、通分的方法，进而展开分式乘除、乘方、加减运算法则的学习，明确混合运算顺序，并强调化简求值中分母不为0等关键注意事项，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过典例与变式结合的题型设计，如分式化简求值题中整体代入方法的应用，培养学生运算能力与推理意识。错误分析题（如化简过程纠错）引导批判性思维，巩固与强化训练覆盖不同难度，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

专题 17 分式的运算与化简求值 1.掌握分式基本性质，熟练进行约分、通分，能将分式化为最简分式； 2.熟记分式乘、除、乘方、加减运算法则，规范完成分式混合运算； 3.掌握分式化简求值解题步骤，能根据分式有意义的条件选取合适字母数值代入； 4.会利用整体代入、限定整数取值等方法解决条件型、综合型分式求值题。 （一）分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不变。 用途：约分、通分、化系数为整数、化简符号。 （二）分式乘除法则 乘法：分子相乘作分子，分母相乘作分母： 除法：除以一个分式 = 乘它的倒数： 运算技巧：先因式分解，再约分，最后相乘，减少大数计算。 （三）分式乘方 分子、分母分别乘方： （四）分式加减法则同分母分式加减：分母不变，分子相加减： 异分母分式加减：先通分（找最简公分母），再同分母运算： （五）分式混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内； 全程随时因式分解、约分，结果化为最简分式 / 整式。 （六）化简求值核心注意事项 代入前必须保证原分式所有分母≠0，除式≠0；常用限制条件：平方非负、绝对值非负、分式有意义、整数取值；整体代入：无法单独求字母值时，把代数式整体代换； 结果最终代数字计算，不要中途约分代值。 题型 01 分式的运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B． C． D． A【解析】原式 ． 故选：A． 【变式】化简的结果为（　　） A．a﹣b B．a+b C． D． B【解析】 ＝a+b， 故选：B． 题型 02 分式的化简求值 【典例2】先化简、再求值：，其中，a＝1，，c＝2． 解: ， 当a＝1，，c＝2时，原式2． 【变式】先化简，再求值：，其中a满足a2﹣4＝0． 解:原式＝（）• • ； ∵a2﹣4＝0，a﹣2≠0，∴a＝﹣2，原式． 题型 03 分式的综合运算 【典例3】若恒成立，则A+B＝（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 C【解析】右边， ∵等式恒成立， ∴分子恒相等，即2x﹣1＝﹣A（x+2）+B（x+1）， 整理右侧得2x﹣1＝（B﹣A）x+（B﹣2A）， 可得方程组， 解得：，∴A+B＝3+5＝8．故选：C． 【变式】对于实数m，n，定义两种新运算：，．则x△y÷（x*y）的值为 ． x﹣y【解析】x△y，x*y， ∴x△y÷（x*y） ＝x﹣y，故答案为：x﹣y． 【巩固训练】 1. 化简：（　　） A． B． C． D． A【解析】 • ， 故选：A． 2. 化简的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D． A【解析】 • ＝x﹣1， 故选：A． 3. 若，则的值为（　　） A．10 B．7 C． D． A【解析】∵，∴y+x＝3xy，∴10， 故选：A． 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是　 ． x≠1且x≠0【解析】根据分式有意义的条件，可得x﹣1≠0且0， 解得x≠1且x≠0．故答案为：x≠1且x≠0． 5. 化简：　 ． 1﹣x【解析】原式 ＝1﹣x． 6. 已知x＝3y，那么代数式的值为　　 ． 【解析】 ， ∵x＝3y，∴原式．故答案为：． 7. 已知2x+y﹣5＝0，求代数式的值． 解:由题知， 因为2x+y﹣5＝0， 所以2x+y＝5， 所以． 8. 下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ＝2（x+3）﹣6② ＝2x+6﹣6③ ＝2x④ （1）上述解题过程从第　　 （填写序号）步开始出现错误； （2）请写出完整的正确解题过程． 解:（1）根据分式加减运算法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，第②步错误去掉了公分母， 因此从第②步开始出现错误； 故答案为：②； （2）原式 ． 9. 化简求值：，其中a，b满足|a﹣2|+（b+1）2＝0． 解:原式•a（a+b） ＝a﹣b， ∵|a﹣2|+（b+1）2＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0， 解得a＝2，b＝﹣1， 当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2﹣（﹣1）＝3． 【强化训练】 1. （2026•丛台区校级二模）若x是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（　　） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 B【解析】 ＝1，由数轴可知，1在范围②内，故选：B． 2. （2026春•达川区期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即．通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． C【解析】被污染的式子为： • ． 故选：C． 3. （2026春•金东区期末）已知：，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 D【解析】已知：，则b﹣a＝3ab， 即a﹣b＝﹣3ab， 原式 ＝1， 故选：D． 4. （2026春•玉环市期末）已知（xm）n＝x﹣3，（3m）2•9n＝27，则的值是 　　 ． 【解析】∵（xm）n＝x﹣3，（3m）2•9n＝27， ∴xmn＝x﹣3，32m•32n＝33， ∴mn＝﹣3，32m+2n＝33， ∴2m+2n＝3， ∴m+n， ∴．故答案为：． 5. （2025•青海）先化简，再从﹣2，0，1中选一个合适的数代入求值． 解:原式＝（）• • ＝a﹣2， 由题意得：a≠±2， 当a＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2，当a＝1时，原式＝1﹣2＝﹣1． 6. （2026•眉山）先化简，再求值：，其中a，b满足|b+1|＝0． 解:原式 • ， 由已知可得，a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1，∴原式． 7. （2026春•金凤区校级期末）小嘉在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算过程，并用黑板擦遮住了其中的一部分，然后让琪琪来解答，该等式为． （1）求被黑板擦遮住部分的代数式． （2）原分式运算的结果能等于﹣1吗？请说明理由． 解:（1）根据题意，被黑板擦遮住部分的代数式为， ∵ ， ∴被黑板擦遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下：假设原分式运算的结果等于﹣1，则， 两边同乘x﹣3，得x+3＝﹣（x﹣3）， 解得x＝0， 当x＝0时，原分式中的分母2x＝0，分式无意义，故原分式运算的结果不能等于﹣1． 8. （2026•信都区二模）设A＝（，其中“”遮盖了一个关于x的最简分式． （1）若“”部分是，请化简A，并求当时A的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 解:（1）∵A＝（，是， ∴ ， 当时，； （2）设被遮盖的分式为M，∵化简后， ∴， ， ， ， ， ，解得：． 9. （2026•丛台区校级模拟）数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“Δ”． 解：根据题意可得，，…第一步第二步 ，…第三步 ．…第四步 （1）以上过程是从第　二　 步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）若a＝2×10﹣2，b＝2×103，求正确的“Δ”的值． 解:（1）在题中的解答过程里，第二步的移项出现错误，导致后续步骤开始出现错误，正确的解答过程如下： 根据题意可得，， ， ， ．故答案为：二； （2）∵a＝2×10﹣2，b＝2×103，∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 17 分式的运算与化简求值 1.掌握分式基本性质，熟练进行约分、通分，能将分式化为最简分式； 2.熟记分式乘、除、乘方、加减运算法则，规范完成分式混合运算； 3.掌握分式化简求值解题步骤，能根据分式有意义的条件选取合适字母数值代入； 4.会利用整体代入、限定整数取值等方法解决条件型、综合型分式求值题。 （一）分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不变。 用途：约分、通分、化系数为整数、化简符号。 （二）分式乘除法则 乘法：分子相乘作分子，分母相乘作分母： 除法：除以一个分式 = 乘它的倒数： 运算技巧：先因式分解，再约分，最后相乘，减少大数计算。 （三）分式乘方 分子、分母分别乘方： （四）分式加减法则同分母分式加减：分母不变，分子相加减： 异分母分式加减：先通分（找最简公分母），再同分母运算： （五）分式混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内； 全程随时因式分解、约分，结果化为最简分式 / 整式。 （六）化简求值核心注意事项 代入前必须保证原分式所有分母≠0，除式≠0；常用限制条件：平方非负、绝对值非负、分式有意义、整数取值；整体代入：无法单独求字母值时，把代数式整体代换； 结果最终代数字计算，不要中途约分代值。 题型 01 分式的运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式】化简的结果为（　　） A．a﹣b B．a+b C． D． 题型 02 分式的化简求值 【典例2】先化简、再求值：，其中，a＝1，，c＝2． 【变式】先化简，再求值：，其中a满足a2﹣4＝0． 题型 03 分式的综合运算 【典例3】若恒成立，则A+B＝（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 【变式】对于实数m，n，定义两种新运算：，．则x△y÷（x*y）的值为 ． 【巩固训练】 1. 化简：（　　） A． B． C． D． 2. 化简的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．1﹣x D． 3. 若，则的值为（　　） A．10 B．7 C． D． 4. 若代数式有意义，则x的取值范围是　 ． 5. 化简：　 ． 6. 已知x＝3y，那么代数式的值为　　 ． 7. 已知2x+y﹣5＝0，求代数式的值． 8. 下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ＝2（x+3）﹣6② ＝2x+6﹣6③ ＝2x④ （1）上述解题过程从第　　 （填写序号）步开始出现错误； （2）请写出完整的正确解题过程． 9. 化简求值：，其中a，b满足|a﹣2|+（b+1）2＝0． 【强化训练】 1. （2026•丛台区校级二模）若x是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（　　） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 2. （2026春•达川区期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即．通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 3. （2026春•金东区期末）已知：，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4. （2026春•玉环市期末）已知（xm）n＝x﹣3，（3m）2•9n＝27，则的值是 　　 ． 5. （2025•青海）先化简，再从﹣2，0，1中选一个合适的数代入求值． 6. （2026•眉山）先化简，再求值：，其中a，b满足|b+1|＝0． 7. （2026春•金凤区校级期末）小嘉在黑板上写了一个分式混合运算的正确计算过程，并用黑板擦遮住了其中的一部分，然后让琪琪来解答，该等式为． （1）求被黑板擦遮住部分的代数式． （2）原分式运算的结果能等于﹣1吗？请说明理由． 8. （2026•信都区二模）设A＝（，其中“”遮盖了一个关于x的最简分式． （1）若“”部分是，请化简A，并求当时A的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 9. （2026•丛台区校级模拟）数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“Δ”． 解：根据题意可得，，…第一步第二步 ，…第三步 ．…第四步 （1）以上过程是从第　二　 步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）若a＝2×10﹣2，b＝2×103，求正确的“Δ”的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $