第19讲 多边形（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第19讲 多边形 目录 知识点1 多边形的定义与构成要素 2 知识点2 多边形的分类 2 知识点3 正多边形定义 2 知识点4 多边形对角线核心公式 3 知识点5 对角线分割三角形规律 3 知识点6 多边形截角变化规律 3 知识点7 多边形周长与网格面积 3 题型1 多边形的概念与分类 3 题型2 正多边形概念辨析 5 题型3 多边形截角后的边数问题 7 题型4 多边形的周长 9 题型5 网格中多边形面积比较 11 题型6 多边形对角线的条数问题 14 题型7 对角线分成的三角形个数问题 15 解答题 17 1. 知识目标：掌握多边形、正多边形的定义与分类，理解多边形边、顶点、对角线、内角基本概念，熟记对角线、内部分割三角形个数公式。 2. 能力目标：能辨析正多边形概念、解决多边形截角变边问题，会计算多边形周长、对比网格多边形面积，熟练运用对角线公式解题。 3. 素养目标：建立平面图形认知模型，培养数形结合思维，提升图形辨析、公式运算与图形变化分析能力。 知识点1 多边形的定义与构成要素 同一平面内，由不在同一直线上的三条及以上线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做多边形。核心四要素：同一平面、线段围成、首尾顺次相连、封闭图形。 组成部分：围成多边形的线段为边；相邻两边的公共端点为顶点；相邻两边组成的角为内角。 知识点2 多边形的分类 1. 按边数分类：三角形、四边形、五边形……n边形（边数≥3）。 2. 按形状分类：凸多边形、凹多边形。初中无特殊说明，默认均为凸多边形。 凸多边形：多边形所有顶点都在任意一条边所在直线的同侧；凹多边形存在顶点在对应边直线两侧。 知识点3 正多边形定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 知识点4 多边形对角线核心公式 1. 对角线定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2. 单个顶点对角线条数：过n边形一个顶点可作（n-3）条对角线（排除自身与相邻两个顶点）。 3. n边形总对角线条数公式：（除以2避免重复计数）。 知识点5 对角线分割三角形规律 过n边形一个顶点作所有对角线，可将n边形分割为（n-2）个三角形，是后续内角和公式的推导依据。 知识点6 多边形截角变化规律 多边形剪掉一个角，边数存在三种变化情况：边数不变、边数加1、边数减1，取决于裁剪直线经过的顶点数量。 知识点7 多边形周长与网格面积 1. 周长：多边形所有边长之和，规则多边形可利用边长特征简便计算。 2. 网格多边形面积：常用割补法、数格子法，不满一格按半格计算，可快速对比面积大小。 题型1 多边形的概念与分类 解题技巧：严格对照四大判定条件，缺一不是多边形；排除曲线图形、不封闭图形、线段共线图形；区分凸、凹多边形，看顶点是否全部在边的同侧；按边数准确归类多边形，熟记边数最少的多边形是三角形。 1．在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形、四边形、八边形都是多边形，圆不是多边形． 2．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 3．如图，图中的凸四边形有________个． 【答案】 【详解】解：图中的凸四边形为四边形，四边形，四边形，共3个． 4．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 题型2 正多边形概念辨析 解题技巧：紧扣双重判定标准，必须同时满足各边相等、各角相等；单独边长相等（如菱形）、单独角度相等（如矩形）均不是正多边形；判断题优先核验两个条件，快速排除错误选项，精准辨析正多边形。 5．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 6．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 7．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 8．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 题型3 多边形截角后的边数问题 解题技巧：分三种情况分类讨论，不遗漏、不重复；裁剪线经过两个顶点，边数减1；裁剪线经过一个顶点，边数不变；裁剪线不经过任何顶点，边数加1；解题优先画图辅助，结合原多边形边数，准确算出截后所有可能边数。 9．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 10．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 11．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 12．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 题型4 多边形的周长 解题技巧：周长本质是所有边长总和，无固定公式；规则正多边形周长=边长×边数；不规则多边形逐段相加求和；遇平移、折叠图形，利用边长等量替换，简化周长计算，避免重复计算。 13．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 14．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 15．现有个大小一样的正六边形纸片，可按下列方式进行拼接： 方式1：如图1；方式2：如图2； （1）若用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是________（用a表示）． （2）用m个边长均为1的正六边形纸片，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得到图案的外轮廓的周长为18，则m的最大值为________． 【答案】 7 【分析】（1）通过观察方式1的拼接图形，找出正六边形个数与外轮廓周长之间的数量关系，从而即可得出结果； （2）分析两种拼接方式，再结合总损耗，得出总损耗越大，越大，由此画出图形，结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：（1）用一个边长为a的正六边形纸片时，周长为， 用两个边长为a的正六边形纸片时，周长为， 用三个边长为a的正六边形纸片时，周长为， …， ∴用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是； （2）方式1：每新增个正六边形，外轮廓总周长仅比前序增加，共享条边共损耗； 方式2：个正六边形拼接时，共享条边，共损耗，总外轮廓周长为，平均每个正六边形的周长损耗更大，能在更短的外轮廓周长下容纳更多正六边形， 为了让尽可能大，且所有正六边形的总周长减去拼接时的总损耗等于周长，即总损耗， ∴总损耗越大，越大， 用m个边长均为1的正六边形纸片，优先使用高损耗的方式进行拼接，如图所示： 此时图案的外轮廓的周长为18， m的值最大为． 16．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 题型5 网格中多边形面积比较 解题技巧：统一用数格子或割补法计算面积；整格直接计数，半格两两合并为一格，零星半格单独核算；将不规则网格多边形补为规则图形，用整体减空白求面积；算出准确面积后再对比大小，杜绝肉眼主观判断。 17．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 18．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 19．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 20．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 题型6 多边形对角线的条数问题 解题技巧：熟记两大核心公式，精准套用；过一个顶点对角线条数：n-3；多边形总对角线条数：；区分单顶点条数与总条数，避免公式混用；已知对角线条数可列方程反求多边形边数。 21．如图，在五边形中，从顶点A出发，可以作对角线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据多边形对角线求解公式进行求解即可． 【详解】解：∵n边形从一个顶点出发可以引条对角线，从五边形的一个顶点出发可以画出（条）对角线． 22．从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：从边形的一个顶点出发，最多可引出的对角线数量为条， ∵从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线， ∴， 解得． 23．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有______条． 【答案】/九 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 24．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 【答案】 【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为条；组成的三角形的个数为个，分别求出m、n的值即可得出． 【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可引出条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成个三角形， ∴， ∴． 题型7 对角线分成的三角形个数问题 解题技巧：固定核心结论，n边形过一个顶点作对角线，可分成（n-2）个三角形；三角形个数只与边数有关，与对角线数量无关；可通过三角形个数反向求多边形边数，公式正向、逆向灵活套用。 25．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 ， 解得 ． 26．过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边形分成三角形的个数为，这个多边形的边数为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题利用多边形对角线的基本规律求解，先根据一个顶点引出的对角线数量求出多边形边数，再计算对角线分成三角形的个数． 【详解】解：对于边形，从任意一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点引对角线，因此可引出对角线的数量为条． ∵ 本题中从一个顶点共画出条对角线， ∴ ，解得， 又∵ 从边形一个顶点引出对角线，所得三角形个数为， ∴ ，即，． 27．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 28．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 【答案】11 【分析】根据过边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，代入边数计算即可． 【详解】解：由八边形的边数为， 可得 ， ， 计算得，， 则． 解答题 29．一个多边形的内角和与外角和之比为，求这个多边形的边数． 【答案】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列比例求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故这个多边形的边数为5． 30．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形有多少条边？ 【答案】15 【分析】根据正多边形的外角和为，且每个外角都相等，即可求解． 【详解】解：， 这个多边形有15条边． 31．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 32．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 33．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 【答案】（1）（2） （3）， 【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键； （1）根据图形规律完成表格； （2）根据规律求得多边形边数； （3）根据所给公式计算得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：； 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵时， 其中规定：， ∴， ∴， ∵， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 多边形 目录 知识点1 多边形的定义与构成要素 2 知识点2 多边形的分类 2 知识点3 正多边形定义 2 知识点4 多边形对角线核心公式 3 知识点5 对角线分割三角形规律 3 知识点6 多边形截角变化规律 3 知识点7 多边形周长与网格面积 3 题型1 多边形的概念与分类 3 题型2 正多边形概念辨析 4 题型3 多边形截角后的边数问题 5 题型4 多边形的周长 5 题型5 网格中多边形面积比较 6 题型6 多边形对角线的条数问题 7 题型7 对角线分成的三角形个数问题 8 解答题 9 1. 知识目标：掌握多边形、正多边形的定义与分类，理解多边形边、顶点、对角线、内角基本概念，熟记对角线、内部分割三角形个数公式。 2. 能力目标：能辨析正多边形概念、解决多边形截角变边问题，会计算多边形周长、对比网格多边形面积，熟练运用对角线公式解题。 3. 素养目标：建立平面图形认知模型，培养数形结合思维，提升图形辨析、公式运算与图形变化分析能力。 知识点1 多边形的定义与构成要素 同一平面内，由不在同一直线上的三条及以上线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做多边形。核心四要素：同一平面、线段围成、首尾顺次相连、封闭图形。 组成部分：围成多边形的线段为边；相邻两边的公共端点为顶点；相邻两边组成的角为内角。 知识点2 多边形的分类 1. 按边数分类：三角形、四边形、五边形……n边形（边数≥3）。 2. 按形状分类：凸多边形、凹多边形。初中无特殊说明，默认均为凸多边形。 凸多边形：多边形所有顶点都在任意一条边所在直线的同侧；凹多边形存在顶点在对应边直线两侧。 知识点3 正多边形定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 常见正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 知识点4 多边形对角线核心公式 1. 对角线定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2. 单个顶点对角线条数：过n边形一个顶点可作（n-3）条对角线（排除自身与相邻两个顶点）。 3. n边形总对角线条数公式：（除以2避免重复计数）。 知识点5 对角线分割三角形规律 过n边形一个顶点作所有对角线，可将n边形分割为（n-2）个三角形，是后续内角和公式的推导依据。 知识点6 多边形截角变化规律 多边形剪掉一个角，边数存在三种变化情况：边数不变、边数加1、边数减1，取决于裁剪直线经过的顶点数量。 知识点7 多边形周长与网格面积 1. 周长：多边形所有边长之和，规则多边形可利用边长特征简便计算。 2. 网格多边形面积：常用割补法、数格子法，不满一格按半格计算，可快速对比面积大小。 题型1 多边形的概念与分类 解题技巧：严格对照四大判定条件，缺一不是多边形；排除曲线图形、不封闭图形、线段共线图形；区分凸、凹多边形，看顶点是否全部在边的同侧；按边数准确归类多边形，熟记边数最少的多边形是三角形。 1．在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，图中的凸四边形有________个． 4．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 题型2 正多边形概念辨析 解题技巧：紧扣双重判定标准，必须同时满足各边相等、各角相等；单独边长相等（如菱形）、单独角度相等（如矩形）均不是正多边形；判断题优先核验两个条件，快速排除错误选项，精准辨析正多边形。 5．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 7．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 8．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 多边形截角后的边数问题 解题技巧：分三种情况分类讨论，不遗漏、不重复；裁剪线经过两个顶点，边数减1；裁剪线经过一个顶点，边数不变；裁剪线不经过任何顶点，边数加1；解题优先画图辅助，结合原多边形边数，准确算出截后所有可能边数。 9．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 10．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 的边数是______． 题型4 多边形的周长 解题技巧：周长本质是所有边长总和，无固定公式；规则正多边形周长=边长×边数；不规则多边形逐段相加求和；遇平移、折叠图形，利用边长等量替换，简化周长计算，避免重复计算。 13．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 14．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 15．现有个大小一样的正六边形纸片，可按下列方式进行拼接： 方式1：如图1；方式2：如图2； （1）若用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是________（用a表示）． （2）用m个边长均为1的正六边形纸片，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得到图案的外轮廓的周长为18，则m的最大值为________． 16．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 题型5 网格中多边形面积比较 解题技巧：统一用数格子或割补法计算面积；整格直接计数，半格两两合并为一格，零星半格单独核算；将不规则网格多边形补为规则图形，用整体减空白求面积；算出准确面积后再对比大小，杜绝肉眼主观判断。 17．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 18．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 19．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 20．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 题型6 多边形对角线的条数问题 解题技巧：熟记两大核心公式，精准套用；过一个顶点对角线条数：n-3；多边形总对角线条数：；区分单顶点条数与总条数，避免公式混用；已知对角线条数可列方程反求多边形边数。 21．如图，在五边形中，从顶点A出发，可以作对角线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 23．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有______条． 24．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 题型7 对角线分成的三角形个数问题 解题技巧：固定核心结论，n边形过一个顶点作对角线，可分成（n-2）个三角形；三角形个数只与边数有关，与对角线数量无关；可通过三角形个数反向求多边形边数，公式正向、逆向灵活套用。 25．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 26．过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边形分成三角形的个数为，这个多边形的边数为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 27．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 28．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 解答题 29．一个多边形的内角和与外角和之比为，求这个多边形的边数． 30．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形有多少条边？ 31．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 32．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 33．数学活动：巧分图形探奥秘． 明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交． 探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格： 多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形 剖分出三角形的个数 （2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形； 探究规律2：多边形的三角剖分方法数 瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数； （3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $