第14讲转化表达（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册暑假预习讲义

第14讲 转化 表达 目录 知识点1 转化与表达核心思想 2 知识点2 常见几何体展开图 2 知识点3 正方体11种展开图分类与禁忌 3 知识点4 表面积与体积基础公式 4 知识点5 几何体的三视图 4 知识点6 折叠距离与图形补全 4 题型1 几何体展开图的认识 4 题型2 由展开图计算几何体的表面积 5 题型3 由展开图计算几何体的体积 6 题型4 正方体几种展开图的识别 7 题型5 正方体相对两面上的字 8 题型6 含图案的正方体的展开图 9 题型7 求展开图上两点折叠后的距离 10 题型8 补一个面使图形围成正方体 11 题型9 从不同方向看几何体 13 解答题 13 1. 知识目标：理解立体图形与平面图形的转化思想，掌握常见几何体展开图特征、正方体11种展开图规律，学会三视图观察方法，熟记表面积、体积基础计算公式。 2. 能力目标：能识别各类几何体展开图、判断正方体相对面，熟练计算展开图对应的表面积与体积，掌握补全正方体展开图、折叠距离求解、三视图识图的解题方法。 3. 素养目标：建立平面与立体相互转化的空间观念，培养图形折叠、还原、观察想象能力，渗透数形结合数学思想。 知识点1 转化与表达核心思想 1. 核心本质：立体图形与平面图形可以相互转化，展开是立体变平面，折叠是平面变立体。 2. 数学表达：通过展开、折叠、三视图，将立体几何问题转化为平面图形问题，简化求解。 3. 核心原则：图形展开、折叠前后，形状、大小、面积、体积均不发生改变，仅位置形态变化。 知识点2 常见几何体展开图 1. 正方体、长方体：展开图均由多个长方形、正方形组成。 2. 圆柱：侧面展开为长方形，两个底面为圆形，完整展开图是长方形+两个等圆。 3. 圆锥：侧面展开为扇形，底面为圆形，完整展开图是扇形+一个圆。 4. 棱柱：侧面展开为长方形，上下底面为全等多边形。 知识点3 正方体11种展开图分类与禁忌 1. 四大类型：一四一型（6种）、一三二型（3种）、三三型（1种）、二二二型（1种）。 可围成正方体的平面展开图有以下11种。 一类：1、4、1型 二类：2、3、1型 三类：2、2、2型 四类：3、3型 不可围成的图形有：（出现“田”，“凹”形也不行） 2. 排除口诀：一线不过四、田凹应弃之，出现4个以上正方形连成一线、田字形、凹字形均不是正方体展开图。 3. 相对面规律：同行隔一个、异行隔一列，Z字两端是对面。 知识点4 表面积与体积基础公式 1. 正方体：表面积，体积（a为棱长）。 2. 长方体：表面积，体积（长a、宽b、高c）。 3. 圆柱：侧面积，体积（r底面半径、h高）。 知识点5 几何体的三视图 1. 主视图：从正面观察几何体得到的平面图形。 2. 左视图：从左面观察几何体得到的平面图形。 3. 俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形。 4. 核心特征：三视图均为平面图形，可完整表达立体图形的结构特征。 知识点6 折叠距离与图形补全 1. 展开图两点距离：平面直线距离，折叠后为立体图形表面最短路径。 2. 补全正方体展开图：根据11种标准模型，补齐缺失正方形，规避田字、凹字错误结构。 题型1 几何体展开图的认识 解题技巧（看轮廓、辨结构、匹配几何体） 1. 柱体展开：侧面均为长方形，上下底面为全等多边形或圆形。 2. 锥体展开：侧面为扇形或三角形，仅有一个底面。 3. 快速区分：含扇形必为圆锥，含多个正方形为正方体，含长方形+双圆为圆柱。 4. 排除异形结构，根据侧面、底面形状精准匹配立体图形。 1．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 3．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是________． 4．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 题型2 由展开图计算几何体的表面积 解题技巧（拆分平面、累加面积、对应公式） 1. 展开图表面积=所有平面小图形面积之和，无重叠、无遗漏。 2. 规则几何体直接套用表面积公式，无需逐个累加。 3. 无盖、镂空题型，减去缺失面的面积，贴合实际图形结构。 4. 看清已知边长、半径等条件，统一单位后再计算。 5．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 6．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 8．一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 题型3 由展开图计算几何体的体积 解题技巧（提取参数、套用公式、精准计算） 1. 从展开图中提取立体图形的棱长、底面半径、高等关键参数。 2. 区分正方体、长方体、圆柱对应体积公式，不混淆公式。 3. 组合几何体体积=各基础几何体体积之和。 4. 展开图仅提供尺寸，体积计算回归立体图形公式求解。 9．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 10．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 11．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 12．如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 题型4 正方体几种展开图的识别 解题技巧（记模型、用口诀、快速排除） 1. 熟记11种标准展开图四类模型，对照匹配。 2. 巧用排除口诀：一线不过四、田凹应弃之。 3. 五个、六个正方形连成一线，直接判定不是正方体展开图。 4. 出现田字形、凹字形结构，一律排除。 13．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 14．如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 15．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 16．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 题型5 正方体相对两面上的字 解题技巧（隔面相对、Z端对应、快速定位） 1. 同行相邻不相对，同行隔一个为对面。 2. 异行隔一列，首尾对应为对面。 3. Z字形结构，Z字两端的正方形互为对面。 4. 正方体任意两个相对面不相邻、无公共棱、无公共顶点。 17．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 18．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 19．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 20．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 题型6 含图案的正方体的展开图 解题技巧（锁定图案、固定相邻、折叠验证） 1. 重点观察特殊图案（线条、图形、符号）的相邻位置、朝向。 2. 相邻面折叠后位置不变，相对面不相邻，快速排除错误选项。 3. 对比图案方向、拼接位置，反向验证展开图正误。 4. 复杂题型可局部折叠还原，精准判断。 21．下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 22．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 23．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 24．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 题型7 求展开图上两点折叠后的距离 解题技巧（平面测距、折叠定位、最短优先） 1. 展开图上两点距离为平面直线距离，折叠后为立体表面最短路径。 2. 优先将立体图形展开为平面，用勾股定理、边长求和计算距离。 3. 固定折叠对应面，找准两点折叠后的对应位置。 4. 立体表面距离，一律转化为平面展开图直线距离求解。 25．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 26．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 27．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 28．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 题型8 补一个面使图形围成正方体 解题技巧（对照模型、规避禁忌、唯一补位） 1. 对照正方体11种展开图模型，匹配现有图形结构。 2. 补面后严禁出现田字、凹字、一线超四的错误结构。 3. 优先补在空缺、对称位置，保证折叠后无重叠、无空缺。 4. 补完后反向验证，确认可完美围成正方体。 29．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 30．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 31．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 32．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 题型9 从不同方向看几何体 解题技巧（平视观察、分层画图、虚实区分） 1. 主视图、左视图、俯视图均为平视正投影，不倾斜、不透视。 2. 分层观察：上层遮挡下层，可见轮廓画实线，遮挡线条不画。 3. 长对正、高平齐、宽相等，三视图尺寸对应匹配。 4. 组合几何体分层计数，精准还原每一层视图轮廓。 33．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 34．一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 35．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 36．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 解答题 37．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 38．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 39．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 40．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 转化 表达 目录 知识点1 转化与表达核心思想 2 知识点2 常见几何体展开图 2 知识点3 正方体11种展开图分类与禁忌 3 知识点4 表面积与体积基础公式 4 知识点5 几何体的三视图 4 知识点6 折叠距离与图形补全 4 题型1 几何体展开图的认识 4 题型2 由展开图计算几何体的表面积 6 题型3 由展开图计算几何体的体积 8 题型4 正方体几种展开图的识别 10 题型5 正方体相对两面上的字 12 题型6 含图案的正方体的展开图 14 题型7 求展开图上两点折叠后的距离 16 题型8 补一个面使图形围成正方体 18 题型9 从不同方向看几何体 21 解答题 22 1. 知识目标：理解立体图形与平面图形的转化思想，掌握常见几何体展开图特征、正方体11种展开图规律，学会三视图观察方法，熟记表面积、体积基础计算公式。 2. 能力目标：能识别各类几何体展开图、判断正方体相对面，熟练计算展开图对应的表面积与体积，掌握补全正方体展开图、折叠距离求解、三视图识图的解题方法。 3. 素养目标：建立平面与立体相互转化的空间观念，培养图形折叠、还原、观察想象能力，渗透数形结合数学思想。 知识点1 转化与表达核心思想 1. 核心本质：立体图形与平面图形可以相互转化，展开是立体变平面，折叠是平面变立体。 2. 数学表达：通过展开、折叠、三视图，将立体几何问题转化为平面图形问题，简化求解。 3. 核心原则：图形展开、折叠前后，形状、大小、面积、体积均不发生改变，仅位置形态变化。 知识点2 常见几何体展开图 1. 正方体、长方体：展开图均由多个长方形、正方形组成。 2. 圆柱：侧面展开为长方形，两个底面为圆形，完整展开图是长方形+两个等圆。 3. 圆锥：侧面展开为扇形，底面为圆形，完整展开图是扇形+一个圆。 4. 棱柱：侧面展开为长方形，上下底面为全等多边形。 知识点3 正方体11种展开图分类与禁忌 1. 四大类型：一四一型（6种）、一三二型（3种）、三三型（1种）、二二二型（1种）。 可围成正方体的平面展开图有以下11种。 一类：1、4、1型 二类：2、3、1型 三类：2、2、2型 四类：3、3型 不可围成的图形有：（出现“田”，“凹”形也不行） 2. 排除口诀：一线不过四、田凹应弃之，出现4个以上正方形连成一线、田字形、凹字形均不是正方体展开图。 3. 相对面规律：同行隔一个、异行隔一列，Z字两端是对面。 知识点4 表面积与体积基础公式 1. 正方体：表面积，体积（a为棱长）。 2. 长方体：表面积，体积（长a、宽b、高c）。 3. 圆柱：侧面积，体积（r底面半径、h高）。 知识点5 几何体的三视图 1. 主视图：从正面观察几何体得到的平面图形。 2. 左视图：从左面观察几何体得到的平面图形。 3. 俯视图：从上面观察几何体得到的平面图形。 4. 核心特征：三视图均为平面图形，可完整表达立体图形的结构特征。 知识点6 折叠距离与图形补全 1. 展开图两点距离：平面直线距离，折叠后为立体图形表面最短路径。 2. 补全正方体展开图：根据11种标准模型，补齐缺失正方形，规避田字、凹字错误结构。 题型1 几何体展开图的认识 解题技巧（看轮廓、辨结构、匹配几何体） 1. 柱体展开：侧面均为长方形，上下底面为全等多边形或圆形。 2. 锥体展开：侧面为扇形或三角形，仅有一个底面。 3. 快速区分：含扇形必为圆锥，含多个正方形为正方体，含长方形+双圆为圆柱。 4. 排除异形结构，根据侧面、底面形状精准匹配立体图形。 1．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 3．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是________． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了几何体的展开图．根据圆柱的展开图特征即可求解． 【详解】解：该展开图由1个长方形和2个大小相等的圆组成，符合圆柱的展开图特征，故原几何体为圆柱． 故答案为：圆柱． 4．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 题型2 由展开图计算几何体的表面积 解题技巧（拆分平面、累加面积、对应公式） 1. 展开图表面积=所有平面小图形面积之和，无重叠、无遗漏。 2. 规则几何体直接套用表面积公式，无需逐个累加。 3. 无盖、镂空题型，减去缺失面的面积，贴合实际图形结构。 4. 看清已知边长、半径等条件，统一单位后再计算。 5．已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 6．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 7．如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 8．一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 【答案】150 【分析】本题考查了常见几何体的表面积的求法；要能够想象出物体表面积的变化情况，锻炼学生的空间想象能力；直六棱柱的侧面积由所有侧面矩形组成，其值等于底面周长乘以侧棱长. 【详解】解：直六棱柱的侧面积计算公式为侧面积 = 底面周长 × 侧棱长， 代入已知数据，底面周长为30厘米，侧棱长为5厘米，得侧面积（平方厘米）． 故答案为：150. 题型3 由展开图计算几何体的体积 解题技巧（提取参数、套用公式、精准计算） 1. 从展开图中提取立体图形的棱长、底面半径、高等关键参数。 2. 区分正方体、长方体、圆柱对应体积公式，不混淆公式。 3. 组合几何体体积=各基础几何体体积之和。 4. 展开图仅提供尺寸，体积计算回归立体图形公式求解。 9．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 10．如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 11．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 12．如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 题型4 正方体几种展开图的识别 解题技巧（记模型、用口诀、快速排除） 1. 熟记11种标准展开图四类模型，对照匹配。 2. 巧用排除口诀：一线不过四、田凹应弃之。 3. 五个、六个正方形连成一线，直接判定不是正方体展开图。 4. 出现田字形、凹字形结构，一律排除。 13．下列不属于一个正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的“”、“”、“”等常见类型及“一线不过四，田凹应弃之”的口诀进行判断． 【详解】解： A、属于“”型，能折叠成正方体 ． B、属于“”型，能折叠成正方体 ． C、属于“”型，能折叠成正方体． D、属于“凹”字型结构，折叠后会有两个面重合，不能围成正方体． 14．如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】将原图的展开图折叠成正方体，即可得出答案． 【详解】解：将原图的展开图折叠成正方体，可知，与点重合的点为点和点． 15．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了正方体几种展开图的识别，解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 【详解】解：（1）（3）（4）可以折成正方体， （2）（5）折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体， 故答案为：（1）（3）（4）． 16．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的展开图有11种，其中“141”型有6种，“132”型有4种，“222”型有1种，“33”型有1种，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断即可． 【详解】解：在②或③或④处涂黑一个小正方形可构成“132”型，满足题意； 在⑥处涂黑一个小正方形可构成“33”型，满足题意； 在①或⑦处涂黑一个小正方形，涂黑的6个小正方形不能形成一个正方体的展开图， ∴可以涂黑的小正方形的位置一共有4处， 故答案为：4． 题型5 正方体相对两面上的字 解题技巧（隔面相对、Z端对应、快速定位） 1. 同行相邻不相对，同行隔一个为对面。 2. 异行隔一列，首尾对应为对面。 3. Z字形结构，Z字两端的正方形互为对面。 4. 正方体任意两个相对面不相邻、无公共棱、无公共顶点。 17．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“中”与“故”是相对面，“国”与“事”是相对面，“讲”与“好”是相对面． 18．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】B 【分析】在正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，有“的”字一面的相对面上的字是中． 19．如图是一个正方体的展开图，则该正方体上与“国”字相对的字是________． 【答案】运 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可判断． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可知：“中”与“神”是相对面，“奥”与“精”是相对面，“国”与“运”是相对面， 因此该正方体上与“国”字相对的字是“运”． 20．下图是一个正方体的展开图，在相应的正方形内填上一个适当的数，使得正方体相对的面上的两数互为相反数，则__________． 【答案】 【分析】先找出正方体相对的面，再根据相反数的定义求出，即可求出代数式的值． 【详解】∵由题可知，与、与、与是相对面， 又∵正方体相对的面上的两数互为相反数， ∴，，， ∴． 题型6 含图案的正方体的展开图 解题技巧（锁定图案、固定相邻、折叠验证） 1. 重点观察特殊图案（线条、图形、符号）的相邻位置、朝向。 2. 相邻面折叠后位置不变，相对面不相邻，快速排除错误选项。 3. 对比图案方向、拼接位置，反向验证展开图正误。 4. 复杂题型可局部折叠还原，精准判断。 21．下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体可知有圆点的面与有阴影部分的面是相邻的面，再逐项判断即可． 【详解】解：从原正方体知，带圆点的面与黑色的面是相邻的两个面， A选项：带圆点的面与黑色的面是相对的两个面，不是相邻的，所以图形不是； B、C、D选项：带圆点的面与黑色的面都是相邻的，都是原正方体的展开图． 22．如图所示的正方体的展开图是（     ）                                          A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据题意，阴影正方形面为上面，圆圈正方形面为右面，黑白三角形面为前面，展开图中只有④符合要求； 【详解】解：④符合要求； 23．如图是一个无盖的正方体纸盒的展开图．“”所在的位置是________面． 【答案】 后 【详解】解：正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者呈现“”字型两端， 观察图形可知，第一行右侧的面与第三行的面是相对面，即“前”字所在的面与“☆”所在的面是相对面， 因为“前”字所在的面是前面， 所以“☆”所在的位置是后面． 24．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 题型7 求展开图上两点折叠后的距离 解题技巧（平面测距、折叠定位、最短优先） 1. 展开图上两点距离为平面直线距离，折叠后为立体表面最短路径。 2. 优先将立体图形展开为平面，用勾股定理、边长求和计算距离。 3. 固定折叠对应面，找准两点折叠后的对应位置。 4. 立体表面距离，一律转化为平面展开图直线距离求解。 25．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 26．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 27．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 28．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 题型8 补一个面使图形围成正方体 解题技巧（对照模型、规避禁忌、唯一补位） 1. 对照正方体11种展开图模型，匹配现有图形结构。 2. 补面后严禁出现田字、凹字、一线超四的错误结构。 3. 优先补在空缺、对称位置，保证折叠后无重叠、无空缺。 4. 补完后反向验证，确认可完美围成正方体。 29．如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 30．在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 31．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 32．如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 题型9 从不同方向看几何体 解题技巧（平视观察、分层画图、虚实区分） 1. 主视图、左视图、俯视图均为平视正投影，不倾斜、不透视。 2. 分层观察：上层遮挡下层，可见轮廓画实线，遮挡线条不画。 3. 长对正、高平齐、宽相等，三视图尺寸对应匹配。 4. 组合几何体分层计数，精准还原每一层视图轮廓。 33．从上面观察如图的物体，看到的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看有2行，前边1行3个小正方形，后边1行靠左1个小正方形， 则从上面观察，看到的形状是． 34．一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状得出最下面一层最少要有6个，根据从右面看到的形状可以得出第二层最少要有2个，从而得出总个数最少需要8个． 【详解】解：（个）， 即搭这样一个立体图形至少需要8个小正方体． 35．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 36．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到几何体的形状，判断底层小立方块的个数，再判断上层最多有几个小立方块，即可求解． 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 解答题 37．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 38．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2)这个几何体的表面积为． 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， 这个几何体的表面积为． 39．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 40．综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $