1.2集合间的基本关系 课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的包含与相等关系，系统讲解子集、真子集、空集的概念及表示。课堂导入先回顾集合与元素的基本性质、常见数集及表示方法，再通过“高一(1)班与高一年级学生”情境引入集合间关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合实例（如A={1,2,3}⊆B={1,2,3,4,5}）和Venn图培养直观想象，通过表格归纳子集个数规律发展数学抽象，典例与题型分类（子集个数、求参数等）强化逻辑推理。课堂小结系统梳理定义性质，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源。

【人教A 版】必修第一册 · 高一 第 一章集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 1.2集合间的基本关系 1 学 习 目 标 理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、 真子集. 2 在具体情境中，了解空集的含义，并会判断给定集合间的关 系，并会用符号和Venn图表示. 3 通过集合间关系探究，经历从具体到抽象归纳过程，体会 类比思想，发展逻辑推理与数学抽象，直观想象核心素养. N:自然数集(非负整数集); N*或N+: 正整数集 Z:整数集； Q: 有理数集； R:实数集 自然语言法、列举法、描述法 元素的性质 确定性、互异性、无序性 元素与集合的关系 属于(∈)、不属于(∈) 研究对象 元素组成的整体 新课引入 常见数集 表示方法 元素 集合 含义 新课引入 情境1: 如果把“高一(1)班全体学生”和“高一年级全体学生”视为两个集合，则这 两个集合中的元素有什么关系? 集合 集合 元素 高一(1)班 高一(2)班 高一(3)班 一个高中生 高一(1)班 高一(4)班 高一(5)班 高一(6)班 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x 是两条边相等的三角形}, F={x|x 是等腰三角形}. 新知探究 探究一：集合间的基本关系 问题1: 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集 合之间的关系吗?如何用数学语言表述这种关系? A中的元素都在B中 D中的元素都在C中 E=F, 元素一样 其中一个集合中的每一个元素都是另一个集合中的元素 符号语言：对任意的x∈A, 总有x∈B, 则ASB. 图形语言： Venn 图：用平面 上封闭曲线的内 部代表集合. 一般地，对于两个集合A,B, 如果集合A中任意一个元素都是集 合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A2 B(或BSA), 读 作“A包含于B” (或“B包含A”). 如 ：{1,2,3} ≌ N,N≌R,{ x|x为正方形}二{x|x为四边形}等. 探究一：集合间的基本关系 新知探究 问题2: 请你举出几个具有包含关系的集合实例，并画出Venn图 . (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)A={1,2,3},B={1,2,3}; AC B AC B 思考1: 同样是ACB, 它们之间有什么区别呢?能否针对这一情况， 对AS B进一步细分? A(B) 1,2,3 探究一：集合间的基本关系 新知探究 B的真子集，记作： A B 或 B …………… 读作：“A真包含于B” ( 或“B真包含A”) 如果集合ASB, 但存在元素x∈B, 且 x∉A, 就称集合A是集合 探究一：集合间的基本关系 新知探究 真子集 一般的，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任意一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 符号语言：若A≌B, 且B2A, 则A=B. 真子集 ( A 全 B) 相等 (A =B) 探究一：集合间的基本关系 新知探究 集合相等 子集 (AC B) A(B) 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记 为 ø, 并规定：空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集 问题4: 你能举出几个空集的例子吗? 的实数根组成集合是什么?它的元素有哪些? 没有实数根，它组成的集合中没有元素 新知探究 问题3: 方程x²+1=0 【答】 方程x²+1=0 探究一：集合间的基本关系 新知探究 思考2: 包含关系{a}SA 与属于关系a∈A 有什么区别?试结合实例作出解释 注：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是 元素与集合间的关系. 例如，在(1)中，A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. 我们有4∈B,4∉A; 我们还有A B. ø为空集；{0}含元素0;0为数字元素，三者意义各不相同。 0∈{0},0丈{0};ø全{0} 探究一：集合间的基本关系 新知探究 由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： (1)任何一个集合是它本身的子集，即A≌A; (2)对于集合A,B,C, 如果A SB, 且B≌C, 那么A SC. 辨析1.判断正误： (1)任意两个集合之间一定有包含关系 (2)空集是任何集合的真子集 (3)若A 全B, 则B中至少有一个元素不属于A (4) 任何集合都有子集和真子集 (5)集合{x|x²+1=0,x∈ R}= ( ×) ( ×) ( √ ) ( ×) ( √ ) 探究一：集合间的基本关系 典例精讲 例1: 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】可根据集合元素的个数进行分类书写，避免漏写。 解：集合{a,b }的所有子集为Φ, {a},{b}, {a,b}. 真子集有Φ, {a},{b}. 小技巧：空集是任何非空集合的真子集，即A≠ø, 则Ø全 A 。注意书写 子集的时候不要漏掉空集ø。 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ø 0 O 1 {a 1 ,a 2 a,b 2 の,{a}, {b}, {a, b} 4 la,b,c 3 の,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8 ①你能直接说出集合{a,b,c,d,e} 的子集的个数吗? 16 ②如果一个集合的元素个数为n, 你能用n 表示该集合子集、真子集的个数吗? 即时训练 辨析2.填写表格，回答后面的问题： 设集合A中有n个元素，则： (1)集合A的子集个数为：2n个； (2)集合A的真子集个数为：2n-1 个 ；— →除集合A自身 (3)集合A的非空真子集个数为：2n-2 个.— → 除集合A和空集 注：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 子集的个数 技巧点拨 例2: 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A={1,2,3},B={x|x 是8的约数}; (2)A={x|x 是长方形}, B={x|x 是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集. 辨析2.下列四个集合中，是空集的是 ( D). A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y²=-x²,x,y∈R} C.{x|x²≤0} D.{x|x²-x+1=0,x∈R} 典例精讲 1、设集合A={x|-1<x<2 且x∈N}, 则集合A的子集有( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D、6个 【答案】B 2、集合{yly =-x²+ 6,x,y∈N}的真子集个数是(). A 、9 B 、 8 C 、7 D 、6 【答案】C 3、已知x,y为非零实数，则集 的非空子集个数是 【答案】3 题型1 子集个数 4、设已知集合M满足{1,2}全 M S{1,2,3,4,5}, 则所有满足条件M的集合的个 数是( ). A 、6个 B 、7个 C 、8个 D、9个 【答案】B 5、满足{2,3} M {1,2,3,4,5}的集合M的个数为( ) A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个 【答案】B 6、满足{2,3}全 M {1,2,3,4,5}的集合M的个数为( ) A 、6个 B 、7个 C 、8个 D、9个 题型1 子集个数 【答案】A 1、指出下列各组集合之间的关系： (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={ x|x是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 【答案】(1)A与B无包含关系；(2)A B;(3)N 全M. 2 、已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N}, 用适 当的符号填空： (1)A B: (2)A C; (3){2 C: (4)2 C. 【答案】(1)=;(2)全；(3)全；(4)∈ 题型2判断集合关系 (1)列举观察法：当集合中的元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定 义得出集合之间的关系； (2)元素特征法：先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征，再利用 元素的特征判断得出集合之间的关系； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图，其中不等式解集之间的关系适合用数轴法. 判断集合间关系的常用方法 技巧点拨 1、已知集合A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1 数m的取值范围. 解：∵A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, ∴分两种情况： ①当B=Ø 时，则m+1>2m-1, 即m<2; 即 解得：2≤m≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是：{m|m ≤3} }, 若BSA , 求实 若 B 全A, 题型3利用集合间关系求参 技巧点拨 由集合间的关系求参数的取值范围问题的解决策略 1. 求解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示 出来，以形定数，积累直观想象的经验，同时还要注意验证集合的端点值，做到 准确无误，一般含“=”用实心圆点表示，不含“=”用空心圆圈表示； 2.涉及“A≌B” 或 “A B, 且 B≠ø” 的问题，一定要分A=ø 和A≠ø 两 种情况进行讨论，其 中A=ø 的情况易被忽略，应引起足够的重视. 2 、已知集合A={-2≤x≤5}, 数m 的取值范围. 解：据题意得：A≠ø. 题型3利用集合间关系求参 B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若 A≌B, 求实 所以， 解得， ∴ m 无解，即m的解集为Ø . 课堂小结 集合间的 基本关系 B A 若A≌B, 且B2A, 则A=B B(A) ø, 空集是任何集合的子集. 对任意的x∈A, 总有x∈B, 则A≌B 子集 B 或 B(A) 真子集 集合ASB, 但存在x∈B, 且x∉A, 则AB 相等 空集 $