1.5全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，通过问题情境导入，对比含变量陈述句是否为命题引出量词概念，引导学生从具体问题抽象出全称与存在量词的定义、符号表示及命题形式，构建知识支架。 其亮点在于以实例驱动教学，通过判断四边形内角和、实数算术平方根等命题真假，培养学生数学思维的逻辑推理能力，结合命题否定的符号化表达，强化数学语言的精确性。课堂小结系统梳理知识要点，助力学生形成结构化认知，也为教师提供清晰的教学路径。

1.5 全称量词与存在量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定． 情境导入 问题1：下列陈述句是命题吗？如果是，它们真假如何？它们之间有什么联系和区别？ （1） （2）对所有的； （3）存在一个. （2）、（3）在开头对变量的取值范围进行了限定则能判断真假， 命题（2）为假，命题（3）为真。 （1）无法判断真假，不是命题； 我们把像“所有”“存在”这样的短语称为量词， 本节课我们将学习全称量词和存在量词的相关知识. 问题2：阅读课本回答问题： （1）全称量词的概念和符号表示； （2）全称量词命题的概念和符号表示； （3）存在量词的概念和符号表示； （4）存在量词命题的概念和符号表示. 1. 全称量词及表示: 短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 定义： 表示： 用符号“ ”表示 2. 全称量词命题及表示: 定义： 含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示： 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x）成立”表示为: 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x）成立”. 全称量词与全称量词命题 1. 存在量词及表示: 短语“存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个” “对某些” “有的”在逻辑中一般叫做存在量词。 定义： 表示： 2. 存在量词命题及表示: 定义： 含有存在量词的命题，叫存在量词命题。 表示： 读作:“存在一个x属于M，有p(x）成立”。 用符号“ ”表示 存在量词命题“M中存在一个x，使得 p(x）成立”表示为: ∃x∈M,p(x） 存在量词与存在量词命题 例1.判断下列全称量词命题的真假： (1) 每个四边形的内角和都是 360∘； (2) 任何实数都有算术平方根； (3) ∀x∈{y∣y是无理数},x3 是无理数。 例2.判断下列存在量词命题的真假： (1) 存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2) 至少有一个整数 n，使得 n2+n 为奇数； (3) ∃x∈{y∣y是无理数},x2 是无理数。 全称量词命题真假判断 判定全称量词命题是真命题，需要证明在集合M中，每一个元素x都使 p(x)成立； 判定全称量词命题是假命题，只需在集合M中找到一个元素x，使 p(x)不成立即可。 存在量词命题真假判断 判定存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可； 判定存在量词命题是假命题，需要证明在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在即可。 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定． 例如，“56 是8 的倍数” 的否定为 “56 不是 8的倍数”，“空集是集合A={1,2,3,4}的真子集” 的否定为 “空集不是集合A={1,2,3,4}的真子集”． 下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定． 探究 写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ （1）所有的正方形都是平行四边形； （2）每一个合数都是偶数； （3）. （1）的否定是“并非所有的正方形都是平行四边形”,即 存在一个正方形不是平行四边形； （2）的否定是“并非每一个合数都是偶数”，即存在一个合数不是偶数； （3）的否定是“并非所有的. ”，即 全称量词命题的否定 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“）”，则它的否定为“并非） ”，也就是“不成立”.通常，用符号“）”表示“）不成立”. 全称量词命题：）， 它的否定： 否定全称量词命题的步骤 2）否定结论：把全称量词命题的结论否定 1）更换量词：把全称量词变成存在量词 全称量词命题的否定是存在量词命题. 例3.写出下列命题的否定： (1) ∀n∈Z,n∈Q； (2) 任意奇数的平方还是奇数； (3) 每个平行四边形都是中心对称图形。 探究 写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ （1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形； （3） ∃∈R，²－２＋1＝０． （1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即 所有实数的绝对值都不是正数； （2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即，每一个平行四边形都不是菱形； （3）的否定是“不存在²－２＋1＝０. ”，即²－２＋1０. 存在量词命题的否定 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“）”，则它的否定为“不存在） ”，也就是“不成立”.通常，用符号“）”表示“）不成立”. 存在量词命题：）， 它的否定： 否定存在量词命题的步骤 2）否定结论：把存在量词命题的结论否定 1）更换量词：把存在量词变成全称量词 存在量词命题的否定是全称量词命题. 例4.写出下列命题的否定： (1) 有些三角形是直角三角形； (2) 有些梯形是等腰梯形； (3) 存在一个实数，它的绝对值不是正数。 综合运用 1. 判断命题真假，并写出命题否定 (1) 平面直角坐标系下每条直线都与 x 轴相交。 (2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形。 (3) 存在一个三角形，它的内角和小于 180∘。 (4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。 2. 将命题改写为含有一个量词的全称量词或存在量词的形式，并写出否定 (1) 平行四边形的对角线互相平分 (2) 三个连续整数的乘积是 6 的倍数 (3) 三角形不都是中心对称图形 (4) 一元二次方程不总有实数根 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系. 课堂小结 $