专题01 空间向量及其线性运算 4种常见考法归类（57题）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算，系统梳理空间向量的概念、线性运算（加减、数乘、线性表示）、共线问题（判断、求参数、推论应用）、共面问题（判断、求参数、推论应用）等核心知识点，构建从基础概念到运算应用的递进式学习支架。 资料以4种考法归类57道典型题，题型与知识点紧密对应，解题策略具体。通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），通过推理过程提升推理意识（数学思维），用向量语言解决几何问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题01 空间向量及其线性运算4种常见考法归类（57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的概念辨析 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 （二）空间向量的数乘运算 （三）空间向量的线性表示 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 （1）判断空间向量共线 （2）证明三点共线 （二）由空间向量共线求参数值 （三）空间共线向量定理的推论及其应用 题型四 空间向量共面问题 （一）空间向量共面的判断 （二）空间向量共面求参数 （三）空间共面向量定理的推论及其应用 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 题型一 空间向量的概念辨析 解题策略：1.处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 2.理解空间向量相关概念的注意点 (1)注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. (2)在空间中仍然有：(AB,CD不共线)→四边形 ABCD为平行四边形. (3)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 1．（2026高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．（2026高二·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 3．（2026高二·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 4．（2026高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 5．【多选】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 6．（2026高二·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 知识点2 空间向量的线性运算 1、 空间向量的位置： 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）： 向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． 5、空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 （3）对数乘向量与向量的关系的进一步理解： ①可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． ②实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 题型二 空间向量的线性运算 解题策略：1.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ （首尾相接首尾连） 减法 a－b＝－＝ （共起点，连终点，指向被减向量） 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2.空间向量线性运算中的三个关键点 3.向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． （1） 空间向量的加减运算 解题策略：空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 7．（2026高二·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． （2） 空间向量的数乘运算 解题策略：利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 11．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 12．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高三·四川成都·期中）已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高一·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 （三）空间向量的线性表示 解题策略：化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 18．（2026高二·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2026高二·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 20．（2026高二·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 21．（2026高二·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 22．（2026高二·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 23．（2026高二·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 24．（2026高二·河北保定·阶段检测）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 共线向量 1、共线（平行）向量的定义 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 注：在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)直线的方向向量的求法 求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量， 因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量. 3、共线向量定理推论： 如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 注：拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 4、共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 解题策略：1.判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 2.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．　　 （1）判断空间向量共线 25．（2026高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A．B． C． D． 26．（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 27．（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 28．【多选】（2026高二·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 29．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． （2）证明三点共线 30．（2026高三·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 31．（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 32．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. （2） 由空间向量共线求参数值 33．（2026高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 34．（2026高二·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 36．（2026高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 37．（2026高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 （3） 空间共线向量定理的推论及其应用 38．（2026高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 39．（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 知识点4 共面向量 1、共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．） 2、 共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 4、共面向量定理的用途： （1）证明四点共面； （2）证明线面平行. 5、向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 6、证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型四 空间向量共面问题 解题策略：证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． （1） 空间向量共面的判断 40．（2026高二·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是__________ 41．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 42．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 43．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 44．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 45．（2026高三·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 46．【多选】（2026高二·广东深圳·阶段检测）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 47．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． （2） 空间向量共面求参数 48．（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 49．（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 50．【多选】（2026高二·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 51．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 52．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 （3） 空间共面向量定理的推论及其应用 53．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 54．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 55．【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 56．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 57．（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册考点通关 专题01 空间向量及其线性运算4种常见考法归类（57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的概念辨析 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 （二）空间向量的数乘运算 （三）空间向量的线性表示 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 （1）判断空间向量共线 （2）证明三点共线 （二）由空间向量共线求参数值 （三）空间共线向量定理的推论及其应用 题型四 空间向量共面问题 （一）空间向量共面的判断 （二）空间向量共面求参数 （三）空间共面向量定理的推论及其应用 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 题型一 空间向量的概念辨析 解题策略：1.处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 2.理解空间向量相关概念的注意点 (1)注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. (2)在空间中仍然有：(AB,CD不共线)→四边形 ABCD为平行四边形. (3)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 1．（2026高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．（2026高二·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 3．（2026高二·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 4．（2026高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 5．【多选】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 6．（2026高二·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 知识点2 空间向量的线性运算 1、 空间向量的位置： 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）： 向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 注：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：． 5、空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 （3）对数乘向量与向量的关系的进一步理解： ①可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． ②实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 题型二 空间向量的线性运算 解题策略：1.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ （首尾相接首尾连） 减法 a－b＝－＝ （共起点，连终点，指向被减向量） 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2.空间向量线性运算中的三个关键点 3.向量线性运算的解题技巧 （1）向量加法的三角形法则是解决空间向量加法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果． （3）利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量． （1） 空间向量的加减运算 解题策略：空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 7．（2026高二·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 8．（2026高二·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 9．（2026高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 10．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. （2） 空间向量的数乘运算 解题策略：利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 11．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 12．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 13．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 14．（2026高三·四川成都·期中）已知四棱锥的底面是平行四边形，，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可. 【详解】． 故选：D 15．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法、数乘运算求解即可. 【详解】如图， ， 故选：B 16．（2026高一·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 17．（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. （三）空间向量的线性表示 解题策略：化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 18．（2026高二·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 19．（2026高二·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 20．（2026高二·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 21．（2026高二·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：B 22．（2026高二·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 23．（2026高二·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 24．（2026高二·河北保定·阶段检测）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 知识点3 共线向量 1、共线（平行）向量的定义 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 注：在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)直线的方向向量的求法 求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量， 因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量. 3、共线向量定理推论： 如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 注：拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 4、共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 注：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 解题策略：1.判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 2.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．　　 （1）判断空间向量共线 25．（2026高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 26．（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 27．（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 28．【多选】（2026高二·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 29．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. （2）证明三点共线 30．（2026高三·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明:连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． (3)证明:连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）略； （3）略. 31．（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】略 32．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. 【答案】(1) (2) ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）略 （2） 由空间向量共线求参数值 33．（2026高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 34．（2026高二·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 35．（2026高二·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 36．（2026高二·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 37．（2026高二·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C （3） 空间共线向量定理的推论及其应用 38．（2026高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 39．（2026高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 知识点4 共面向量 1、共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．） 2、 共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 4、共面向量定理的用途： （1）证明四点共面； （2）证明线面平行. 5、向量共面证明思路 （1）证明点在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足． （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中）． 6、证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型四 空间向量共面问题 解题策略：证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． （1） 空间向量共面的判断 40．（2026高二·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是__________ 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 41．已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案. 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. 42．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 43．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 44．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 45．（2026高三·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 46．【多选】（2026高二·广东深圳·阶段检测）空间中，已知与不共线，那么“与、共面”的充分不必要条件是（    ） A．存在唯一一组实数、，使得 B． C．不存在实数、，使得 D． 【答案】BD 【分析】根据充分不必要条件的概念，以及向量共面的相关知识，然后依次分析每个选项与“与、共面”之间的条件关系. 【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数、，使得，那么可以直接得出与、共面； 反之，若与、共面，也一定存在唯一一组实数、，使得， 所以“存在唯一一组实数、，使得”是“与、共面”的充要条件，而不是充分不必要条件，故A选项不符合要求； 当时，显然可以由和线性表示，即与、共面，所以“”能推出“与、共面”； 但是当与、共面时，不一定就等于，还可能有其他的线性组合形式， 所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故B选项符合要求； “不存在实数、，使得”，这与“与、共面”是相互矛盾的关系， 即“不存在实数、，使得”能推出“与、不共面”，而不是“与、共面”，所以C选项不符合要求； 因为零向量与任意向量都共面，所以时，与、共面，即“”能推出“与、共面”； 反之，当与、共面时，不一定为零向量，所以“”是“与、共面”的充分不必要条件，故D选项符合要求. 故选：BD. 47．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】 取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】略 （2） 空间向量共面求参数 48．（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 49．（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 50．【多选】（2026高二·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 51．（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 52．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. （3） 空间共面向量定理的推论及其应用 53．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 54．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 55．【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 56．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 57．（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． $