25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的概念，通过复习方程和一元一次方程等旧知，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛安排等实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步抽象出新知特征。 其亮点是以实际问题情境为载体，如人体雕像比例问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力。通过对比一元一次方程与一元二次方程的异同发展推理意识，结合逆向思维、生活应用等多样化练习，帮助学生用数学语言表达数量关系。课堂小结结构化梳理核心内容，既利于学生系统掌握知识，也为教师提供清晰教学脉络，提升教学效率。

人教版 九年级数学上 25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1.会设未知数，列一元二次方程. 2.了解一元二次方程及其根的概念. 3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数． 复习回顾 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 探索新知 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 图1 图2 3600 cm2 50 cm 100 cm 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 探索新知 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 探索新知 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 探索新知 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. 特点： 2.只含一个未知数； 1.都是整式方程； 3.未知数的最高次数是2. 观察与思考 一元二次方程的概念 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 探索新知 思考：为什么规定a≠0？ 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 探索新知 B 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； 探索新知 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探索新知 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 探索新知 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 探索新知 视频学习 随堂练习 2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 随堂练习 3. 新课标 概念辨析 (2026·深圳龙岗区期中)下列方 程中，是一元二次方程的是(　A　) A. 2x2＋3＝0 B. －2x＋4＝0 C. x2－－1＝0 D. x2－y＝0 A 4. (2026·长春调研)将一元二次方程2x2＝x＋8化为一 般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为(　D　) A. 8 B. 4 C. －8 D. －4 D 5..关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 6..已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______. 3 C 随堂练习 随堂练习 A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝3 7.下列是方程5x2－4x－1＝0的解的是(　B　) B 8.新情境 世界杯 2026年国际足联世界杯亚洲区预选赛的第二、三阶段均采取小组双循环赛制(即小组内每两队之间都要比赛两场).若某小组的x支球队间共进行了30场比赛，则可列方程为(　B　) A. x(x＋1)＝30 B. x(x－1)＝30 C. x(x＋1)＝30 D. x(x－1)＝30 B 随堂练习 9. 新视角 逆向思维 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 满足a－b＋c＝0，则方程必有一根为(　C　) A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 C 10. (1)(2026·长治期中)若关于x的方程x2－2kx＝4x－1化成一般形式后不含一次项，则k的值为(　B　) A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 B 随堂练习 A. －x B. －1 C. x D. 1或－1 (2)若关于x的一元二次方程(m＋3)x2－4x＋mx＝｜ m｜的常数项是－3，则其一次项是(　A　) A 11.新考向 图象信息题 某厂家2026年1至5月份的某种产品产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ⁠. 180(1＋x)2＝461　 随堂练习 12 (2026·泉州期中)若关于x的一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0(a≠0)有一根为x＝2025，则一元二次方程a(x －1)2＋bx－b＋2＝0必有一根为(　C　) A. x＝2024 B. x＝2025 C. x＝2026 D. x＝2027 C A. B. C. D. C 随堂练习 14(1)(2025·青海中考)若x＝1是一元二次方程x2－4x ＋c＝0的一个根，则c的值为 ⁠. (2)(2026·上海杨浦区期中)若x＝b是方程x2－ax＋b＝ 0的根(b≠0)，则a－b的值为 ⁠. 易错变式 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0 有一个根为x＝0，则a＝ ⁠. 3　 1　 －1　 随堂练习 15. 新情境 生活应用 如图，有一张长方形桌子的桌 面长130cm，宽60cm.有一块长方形台布的面积是这 张桌子桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂 下的长度相等.若设台布垂下的长度为xcm，则可列 出x满足的方程为 ⁠ ⁠. (130＋2x)(60＋2x)＝2×130×60 (或x2＋95x－1950＝0)　 随堂练习 －2　 2　 [解析]∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m≠0， (3)m3－5m＋2026＝ ⁠. 2028　 17把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； 解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1 解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81 随堂练习 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25 解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1 随堂练习 随堂练习 18.将下列一元二次方程化为一般形式(使二次项系 数为正)，并写出其中的二次项系数、一次项系数和 常数项： (1）(x－2)2＝6x2＋3； 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为－1. (2)2(t＋2)＝(t＋1)2. 解：t2－3＝0，二次项系数为1， 一次项系数为0，常数项为－3. 一次项系数为4，常数项为－1. 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 解：t2－3＝0，二次项系数为1， 一次项系数为0，常数项为－3. 19.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0. 随堂练习 （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100， 化为一般形式为 x2–2x–100=0. （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0. 随堂练习 随堂练习 20.一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝 围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关 于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (1)甲同学用14cm长的铁丝围成了一个面积为12cm2 的矩形，设矩形的长为xcm； 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12，即x2－7x＋ 12＝0. 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12， 即x2－7x＋12＝0. 随堂练习 20. 一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝 围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关 于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (2)乙同学用30cm长的铁丝围成一个斜边长为13cm 的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为 xcm. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132，即x2 －17x＋60＝0. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132， 即x2－17x＋60＝0. 随堂练习 解：(1)∵方程(a＋1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0是关 于x的一元二次方程， 随堂练习 22. 改编题 模块综合 已知关于x的一元二次方程(a＋ 1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为 △ABC三边的长. (2)若x＝1是方程的根，且b＝c，试判断△ABC的形 状，并说明理由. 解：(2)△ABC是等边三角形. 理由如下：由(1)得a＝1， 又∵x＝1是方程的根， ∴2－2b＋(1－c)＝0，即2b＋c＝3. 又∵b＝c，∴b＝c＝1. ∴a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形. 解：(2)△ABC是等边三角形.理由如下：由(1)得a＝1， 又∵x＝1是方程的根，∴2－2b＋(1－c)＝0， 即2b＋c＝3.又∵b＝c，∴b＝c＝1. ∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形. 课堂小结 $