25.1一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过雕像设计、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等现实问题导入，引导学生从具体情境抽象等量关系并列出方程，构建“问题情境—列方程—化简—概念”的学习支架，衔接实际应用与数学概念的形成。 其特色在于以情境化问题驱动概念生成，通过对比三个方程的共同点抽象定义，结合小组辩学、检测再学强化辨析能力。体现数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理方程特征）、数学语言（规范一般形式表达），助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 课堂导入 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 图2 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 例1 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B 知识点1 一元二次方程的概念 新知讲解 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点2 一元二次方程的一般形式 新知讲解 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 思考 方程①②③有什么共同点？ 　　 x2＋5x－25＝0 ① x2－75x＋350＝0 ② x2－x－56＝0 ③ 　　 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2. 一元二次方程： 一元二次方程的一般形式： ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 小组辩学 追问：分别指出上述三个一元二次方程的二次项、一次项、 常数项、二次项系数、一次项系数. 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 小组辩学 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 小组辩学 3.已知a是方程 x2+3x－1=0 的一个实数根,求2a2+6a+2026 的值. 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　时，是一元二次方程． 当k 　时，是一元一次方程． 1.下列方程：①x2＋y－6＝0； ②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0； ④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)， 其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 检测再学 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长. 检测再学 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？ 布置作业 基础题：P4 第1题 拓展题：P4 第5题 中档题：P4 第4题 $