25.2.2公式法（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。通过回顾配方法步骤及练习，引出其繁琐性，引导学生用配方法推导一般式方程的解，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“特殊到一般”推导求根公式培养抽象能力，分类讨论判别式三种情况发展推理意识，规范解题步骤强化模型意识。含典例分析、拓展提升及真题感知，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供系统教学流程和丰富例题，提高教学效率。

25.2降次----解一元二次方程 25.2 公式法 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程求根公式的推导过程，熟记求根公式及根的判别式公式.掌握根的判别式与一元二次方程实数根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况.熟练运用公式法规范解一元二次方程，掌握解题标准步骤，规避常见运算错误. 经历“配方法解一般式方程→推导求根公式→归纳解题步骤→应用解题”的完整过程，体会从特殊到一般、转化与化归的数学思想.通过分类讨论判别式的取值情况，培养分类探究、归纳总结的学习能力，提升代数推理和运算能力. 在公式推导的探究过程中，感受数学公式的严谨性、简洁性，体会数学的逻辑美感.养成规范解题、细致运算、严谨思考的良好学习习惯，增强学习数学的自信心. 你能说一说，用配方法解方程的步骤吗？ 化：二次项系数化为 1 ； 移：将常数项移到等号右边； 配：配方，使等号左边成为完全平方式； 开：等号两边开平方； 解：求出方程的解。 知识回顾 练习：用配方法解方程： . 解：移项，得 =2. 二次项系数化为1，得x2 – 2x=1. 配方，得 x2 – 2x+(2)2=1+()2，(x – )2=5. 由此可得 x – 2=±，即x1= 2– ，x2=2+. 这把“万能钥匙”就是——公式法！ 它将是我们解一元二次方程最通用、最直接的工具，今天就让我们一起推开这扇大门。 如果有一种万能公式，能解任意一元二次方程而且还简单就好啦 导入新课 思考：配方法的“小麻烦” 配方法虽能解一元二次方程，但步骤繁琐，当系数是分数或较大数时，计算量大且容易出错。我们能否找到更直接的路径？ 揭晓答案 你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？ 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 活动 解：移项，得： x2+ x = – . x2+ x + ()2 = – + ()2 ， (x + )2 = . ① 为什么方程两边可以同时除以 a 进行化简？ 用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) ax2+bx = –c. 二次项系数化为1，得： 配方，得： 整理方程得： 根据一元二次方程的定义，二次项系数 a 不能等于 0（a≠0），等式两边除以a有意义 对于方程①，接下来能直接开平方解吗？ 配方关键：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 5 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 活动 用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) (x + )2 = . ① ax2+bx+c=0 (a≠0) ≥ 0 （1）当 满足什么条件，方程两边能开平方 （2） 的正负性由哪个代数式的值决定？ ∵a≠0，∴4a2>0. ∴ 的正负性由式子 b2– 4ac 的值决定 ① b2– 4ac ＞0 ② b2– 4ac =0 ③ b2– 4ac ＜0 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 活 动 ① 当 b2–4ac>0 时，>0， (x + )2 = ＞0 开平方得：x + =± . 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . (x + )2 = . ① ax2+bx+c=0 (a≠0) 用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) （3）试着根据式子 b2– 4ac 的值确定方程的解 三种情况 活 动 (x + )2 = . ① ax2+bx+c=0 (a≠0) 用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) （3）试着根据式子 b2– 4ac 的值确定方程的解 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 ②当 b2–4ac=0 时，=0， (x + )2 = =0 开平方得：x + =0 ∴方程有两个相等的实数根： x1 = x2 = – . 活 动 (x + )2 = . ① ax2+bx+c=0 (a≠0) 用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) （3）试着根据式子 b2– 4ac 的值确定方程的解 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 ③当 b2–4ac<0 时，<0， (x + )2 = < 0 即 (x + )2 <0， ∵不论 x取任何实数， (x + )2 <0 不成立， ∴方程无实数根. 新知探究 探究点1 自主探究，推导公式 归一归 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 一元二次方程 ，当≥0时 2.公式法解一元二次方程 当一元二次方程为一般式时，把各系数直接带入求根公式，直接得出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，当b2– 4ac≥0 时，才可以用求根公式. 求根公式 新知探究 探究点2 归纳公式法解题步骤 议一议 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） （3）求 （4）判 （5）代 易错点：计算b2–4ac的值时，注意a，b，c符号的问题. （1）化 （2）定 确定 a，b，c 的值 求出 b2–4ac 的值； 若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解； 若 b2–4ac<0，则方程无实数根. 将a，b，c的值代入求根公式： 算出方程的根 （6）算 11 新知探究 探究点2 归纳公式法解题步骤 练一练 及时巩固 用公式法解方程：. 求根公式 解：a=1，b=－3，c = 2. ∵ ， ∴方程有两个不等实数根： ∴ 相信你能行 新知探究 探究点3 根的判别式 议一议 （1）应用公式法解一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的前提是什么？ 前提 （2）不解一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)能判断方程的根的情况吗？ 由求根公式得： 决定了方程实根的情况 ax2+bx+c=0 (a≠0) b2–4ac>0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 b2–4ac=0 b2–4ac<0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 根的判别式 新知探究 探究点3 根的判别式 归一归 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． （1）一元二次方程根的判别式 （2）不解一元二次方程判断方程的根 作用：判断一元二次方程根的性质的重要依据。 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0） 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 = b2 -4ac > 0 两个不相等的实数根 >0 两个不相等的实数根 = b2 -4ac = 0 两个相等的实数根 =0 两个相等的实数根 = b2 -4ac < 0 没有实数根 <0 没有实数根 新知探究 探究点3 根的判别式 练一练 1.（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×0＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程有无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D 新知探究 练一练 一元二次方程 b2– 4ac 根的情况 x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根 2x2+3x+2=0 – 7 无实数根 4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根 3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根 2. 不解一元二次方程判断方程的根 探究点3 根的判别式 16 典例分析 例1 用公式法解下列方程： （1）x2– 4x – 7=0； x = （2）2x2 –2x+1=0； （3）5x2 –3x=x+1； （4）x2 +17=8x. 课本P11例3 （1）解：∵ a=1，b= – 4，c= – 7， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×1×(–7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = 2±， 即 x1=2+，x2= 2 – . （2）解：∵ a=2，b= – 2，c= 1， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = . 典例分析 例1 用公式法解下列方程： （1）x2– 4x – 7=0； x = （2）2x2 –2x+1=0； （3）5x2 –3x=x+1； （4）x2 +17=8x. 课本P11例3 （3）解：方程化为 5x2 – 4x –1=0， ∴a=5，b= – 4，c= – 1， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(–1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1=1，x2= – . （4）解：方程化为 x2 – 8x+17=0， ∴a=1，b= – 8，c=17， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–8)2– 4×1×17= – 4 <0. ∴方程无实数根. 典例分析 例2.解方程：； 解：，，， ， ， 即 ， ∴ 方程的解： ，． 典例分析 例3.（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由题意得： Δ （﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m ∵关于x的一元二次方程﹣3x+m+1＝0有实数根， ∴Δ ≥0 即 5﹣4m ≥ 0， 解得：m， ∴实数m的取值范围是m． D 典例分析 例4.已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 二次项系数和常数项的符号不同， ， ， ∵， 该方程一定有两个不相等的实数根； （1）证明： 典例分析 例4.已知关于的一元二次方程． (1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根； (2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． （2）解：不是，反例（答案不唯一）， 理由如下： 方程有两个不相等的实数根， ，满足即可， 反例：，， 即，这个方程有两个不相等的实数根， 该方程二次项系数和常数项的符号相同． 新知巩固 教材第12页 用公式法解下列方程： （1）x2+x – 6=0； （2）x2 – x – =0； （3）3x2 – 6x +4=0； （4）2x2 – 3x=0； 解：（1）∵a=1，b=1，c= –6， ∴ Δ=b2 – 4ac=12– 4×1×(–6)=25>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， ∴方程得解为： x1=2，x2= – 3. （2）：∵ a=1，b= –，c= – ， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–)2– 4×1×(– )=4>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， ∴方程得解为： x1= +1，x2= – 1. 新知巩固 教材第12页 用公式法解下列方程： （1）x2+x – 6=0； （2）x2 – x – =0； （3）3x2 – 6x +4=0； （4）2x2 – 3x=0； （3）∵ a=3，b= – 6，c= 4， ∴ Δ=b2 – 4ac =(–6)2– 4×3×4= – 12<0. ∴方程无实数根. （4）∵ a=2，b= – 3，c= 0， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×0=9>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， ∴方程的解为： x1=0，x2= . 拓展提升 1.定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． （1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； 拓展提升 1.定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． （2）解：方程整理得： ， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵ ， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． ∴， ， ∴， 拓展提升 2.已知 a，b，c为 △ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0 有两个相等的实数根， 试判断 △ABC 的形状. 解：将原方程整理，得 3x2–2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0. ∴Δ=b2–4ac=[2(a+b+c)]2–4×3(ab+bc+ac) =4(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc)–12(ab+bc+ac) =4(a2+b2+c2–ab–ac–bc) =2[(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(a2–2ac+c2)] =2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2] ∵方程有两个相等的实数根，∴ Δ=0， 即 2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]=0. ∴ a–b=0， b–c=0， a–c=0. ∴ a=b=c，△ABC为等边三角形. 真题感知 1.（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 C 解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 真题感知 2．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1 C 真题感知 3．（2025•扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 真题感知 5．（2025•山东）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　 ． m＞﹣4 解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0， 解得m＞﹣4． 真题感知 6.（2025·漯河校考）解下列方程：． 解：（1）∵a=2，b=-9，c= 8， ∴ Δ=b2 – 4ac=（-9）2– 4×2×8=17>0. 方程有两个不相等的实数根 x = ， ∴方程得解为： x1= ，x2= . 真题感知 4．（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　 　 ． 方程有两个不相等的实数根 解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0． ∴该方程有两个不相等的实数根． 知识与技能 （1）两个核心公式： 根的判别式： 、 求根公式当 时,方程有两个不相等的实数根： ， ； （2）判别式三种结论： 两不等实根， 两相等实根， 无实数根. （3）公式法解题五步核心步骤： 化一般式→定系数→求判别式→判根的情况→代入求解. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）特殊到一般：从数字系数方程配方，推广到字母系数一般方程，推导通用公式； （2）分类讨论思想：根据判别式的不同取值，分类讨论方程根的三种情况； （3）转化思想：将繁琐的配方法转化为程序化的公式法，简化运算过程. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）确定a、b、c时，必须带符号，切勿遗漏负号； （2）必须先判断的取值，<0时无需代入公式，直接判定无实数根； （3）牢记前提条件：一元二次方程a≠0，含参数题型需优先验证； （4）计算判别式和公式代入时，注意平方、正负运算，避免基础计算失误； （5）最终结果需化为最简根式、最简分数，不可保留复杂分式. 课后练习 用公式法解下列方程： （5）x2+4x+8=4x+11； 解：方程化为 x2– 3=0， a=1，b=0，c= –3， ∴ Δ=b2 – 4ac =02– 4×1×(–3)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， ∴方程的解: x1= ，x2= – . 教材第12页 （6）x(2x– 4)=5 – 8x. 解：方程化为 2x2+4x–5=0， a=2，b=4，c= –5， ∴ Δ=b2 – 4ac=42– 4×2×(–5)=56>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， ∴方程的解: x1= –1+ ，x2= –1 – . 课后练习 习题 25.2 教材p17页 5.用公式法解下列方程： （1）x2+x–12=0； （2）x2–x – =0； （3）x(x – 4)=2–8x； （4）x2+2x+10=0； 解：（1）因为 a=1，b=1，c= – 12， Δ=b2– 4ac=12–4×1×(–12)=49>0， ∴ x = = ， ∴ 原方程的根为: x1=3，x2= – 4. （2）因为 a=1，b= – ，c= – ， Δ=b2– 4ac=(– )2–4×1×(–)=3>0， ∴ x = = ， ∴原方程的根为： x1= ，x2= . 课后练习 习题 25.2 教材p17页 5.用公式法解下列方程： （1）x2+x–12=0； （2）x2–x – =0； （3）x(x – 4)=2–8x； （4）x2+2x+10=0； 解：（3）原方程可化为x2+4x–2=0. ∵ a=1，b=4，c= – 2， ∴Δ=b2– 4ac=42–4×1×(–2)=24>0， ∴ x = = ， ∴原方程的根为 x1= –2+2，x2= –2–2. （4）因为 a=1，b=2，c=10， ∴Δ=b2– 4ac =(2)2– 4×1×10 = – 20<0， 所以原方程无实数根. 课后练习 习题 25.2 教材p18页 10.无论 x 取何值，方程 (x–3)(x–2)–p2=0 总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由. 解：无论p取何值，方程 (x–3)(x–2) –p2=0 总有两个不等的实数根，理由如下： 原方程可化为： x2–5x+6–p2=0， Δ=(–5)2 – 4×1×(6–p2) =25–24+4p2 =1+4p2. ∵无论p取何值， p2≥0， ∴1+4p2>0，即 Δ>0， ∴原方程总有两个不等的实数根. $