3.2.2函数的奇偶性综合训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性的概念辨析、性质应用及综合拓展，通过多题型梯度设计构建从定义到复合问题的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-3题|奇偶性定义判断与图像识别|从奇偶性定义生成，结合函数图像直观理解概念本质| |性质应用|单选4-8题+多选9-11题|奇偶性与单调性/对称性/周期性结合|通过奇偶性推导函数对称性、单调性，建立性质间逻辑联系| |综合拓展|填空12-14题+解答15-19题|含参数综合问题与实际应用|整合奇偶性与函数值域、不等式求解，体现数学语言表达现实问题的应用意识|

函数的奇偶性 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性的概念，当时，为偶函数，当时，为奇函数，则由函数是偶函数可排除B，C，D，再判断选项A中函数的单调性即可． 【详解】对于A，因为，所以是偶函数， 当时，设，则， 所以， 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，因为，所以是奇函数，故B错误； 对于C，因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，故D错误. 故选：A. 2．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的零点，判断选项. 【详解】函数的定义域为，，所以是偶函数，故排除C，，得，所以函数有2个零点，排除BD. 故选：A 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解析式即可. 【详解】由，则，故， 所以. 故选：D 4．函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数和中心对称的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数， ，即， 所以是关于对称. 由于函数与函数的图象关于x轴对称 所以的中心对称点为. 故选：B 5．若函数的定义域为R，图象关于原点对称，在上是减函数，且，，，则使得的的取值范围是（    ） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2） 【答案】C 【解析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数在上是减函数，即可利用其单调性在和上解不等式即可． 【详解】函数的定义域为R，图象关于原点对称，在上是减函数，且，所以函数在上是减函数． 当时，，显然不是的解． 当时，，即，而，所以 ，解得； 当时，，即，而，所以 ，解得． 综上，的的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 6．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 【答案】D 【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断. 【详解】因为是奇函数，所以， 因为是奇函数，所以， 即关于和对称， 所以，， 得，得， 令，， ，，满足条件， 而，，满足条件， 但是奇函数，是偶函数，故AB都错； 且，故C错； 因为，所以， 即，所以可是奇函数.故D对 故选：D 7．已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】构造函数，易知为奇函数，根据已知条件确定在上的最小值为9，再根据奇函数的性质判断在上的最大值，最终确定函数在区间上的最大值. 【详解】由题可设，，其定义域为， 易知：，则为奇函数， 又因为函数在区间上的最小值为9. 则在区间上的最小值为 由奇函数对称区间上的单调性相同：故在区间上的最大值为. 所以在区间上的最大值为. 故选：C 8．已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】解：设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 由， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：D. 二、多选题 9．已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．在定义域上为增函数 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】由函数的奇偶性及时，，可判断ABC,由可判断D. 【详解】定义在上的偶函数，当时，， 对于，则正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，函数在上单调递减，C错误； 对于D，当时，， 故不是不等式的解，D错误. 故选：AB 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 11．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D. 【详解】由于函数的定义域为为偶函数， 则，即，则的图象关于直线对称，A正确； 又为奇函数，则，即， 故的图象关于点对称，B正确； 由于，令，则， 又的图象关于直线对称，故，C错误； 又，，则， 故，即，则， 即的一个周期为8，D正确， 故选：ABD 三、填空题 12．已知定义上的函数满足，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据题意得函数为上的奇函数，再结合奇函数的性质求解即可. 【详解】解：根据题意得函数为上的奇函数，所以， 因为当时，， 所以 所以 故答案为： 13．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 14．若y＝f（x）在（﹣3，0）上是减函数，又y＝f（x﹣3）的图像的一条对称轴为y轴，则f（）、、f（﹣5）的大小关系是________（请用“”把它们连接起来） 【答案】 【分析】根据题意，由函数图像变化的规律得到y＝f（x）的图像可以由y＝f（x﹣3）的图像向左平移3个单位得到，可得y＝f（x）的图像的一条对称轴为x＝﹣3，进而可得f（﹣5）＝f（﹣1），f（）＝f（）；由函数在（﹣3，0）的单调性可得f（﹣1）＜f（）＜f（），由对称性可得答案． 【详解】y＝f（x）的图像可以由y＝f（x﹣3）的图像向左平移3个单位得到， 又由y＝f（x﹣3）的图像的一条对称轴为y轴， 则y＝f（x）的图像的一条对称轴为x＝﹣3， f（﹣5）＝f（﹣1），f（）＝f（）； y＝f（x）在（﹣3，0）上是减函数，且1， 则有f（﹣1）＜f（）＜f（）， 又由f（﹣5）＝f（﹣1），f（）＝f（）， 则f（﹣5）＜f（）＜f（）， 故答案为：f（﹣5）＜f（）＜f（）． 四、解答题 15．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解解析式即可； （2）按照、和分类讨论，利用二次函数性质求解值域，最后再求并集即可得解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 设，则，所以，所以， 综上：， （2）当时，在单调递增， 在上单调递减，又，，所以此时； 当时，； 当时，在单调递减， 在上单调递增，又，，所以此时； 所以的值域为． 16．已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数对称性列式求解即可； （2）利用二次函数的单调性列不等式求解即可； （3）按照和分类讨论，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称. 因为的图象的对称轴为直线，所以，解得. （2）因为在上单调递增，所以， 则，故的取值范围是. （3）当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， . 故. 17．函数满足f(1)=10，f(9)=10. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数的奇偶性. (3)求f(x)在[1,4]上的最小值与最大值； (4)写出f(x)的单调区间. 【答案】(1)a=1，b=9； (2)奇函数，证明见解析； (3)最小值6，最大值10； (4)增区间为，减区间. 【分析】（1）由已知函数值列方程组求参数a、b即可. （2）根据函数奇偶性的定义证明的奇偶性. （3）应用基本不等式及对勾函数的性质确定闭区间上最值. （4）由（2）（3）的结论即可确定f(x)的单调区间. 【详解】（1）由题设，，可得. （2）由（1）得：，则为奇函数，证明如下： ，且定义域为， ∴为奇函数. （3）当时，，当且仅当时等号成立， ∴在上递减，在上递增. ∴在[1,4]上有，且， ∴. 综上，[1,4]上最小值6，最大值10. （4）由（3）知：在上递减，在上递增， 由（2）可得：在上递增，在上递减. 综上，在、上递增，、上递减. 18．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2)在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略（2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 19．已知函数是定义在上的奇函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明. (3)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， （2）略 （3）函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则解得， 所以t的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（　　） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为R，图象关于原点对称，在上是减函数，且，，，则使得的的取值范围是（    ） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2） 6．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．可是奇函数 7．已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．3 D．6 8．已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．在定义域上为增函数 D．不等式的解集为 10．已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 11．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 三、填空题 12．已知定义上的函数满足，当时，，则________． 13．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 14．若y＝f（x）在（﹣3，0）上是减函数，又y＝f（x﹣3）的图像的一条对称轴为y轴，则f（）、、f（﹣5）的大小关系是________（请用“”把它们连接起来） 四、解答题 15．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 16．已知函数. (1)若对任意实数，都有，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，求的最小值. 17．函数满足f(1)=10，f(9)=10. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数的奇偶性. (3)求f(x)在[1,4]上的最小值与最大值； (4)写出f(x)的单调区间. 18．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 19．已知函数是定义在上的奇函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明. (3)若求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $