3.2.2函数的奇偶性(一)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦函数的奇偶性，通过“基础+综合”分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|奇偶性定义、定义域对称性、函数值计算、图象性质|单选/多选/填空结合，如定义域对称判断（题1）、利用奇偶性求函数值（题2），夯实概念理解| |综合应用练|奇偶性与单调性综合、函数方程、最值问题|解答题为主，如奇偶性与单调性解不等式（题13）、函数模型求最值（题15），提升应用意识|

　函数的奇偶性(一) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b的值为 (　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 2.(5分)(2026·咸阳高一检测)设f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x-1,则f(4)= (　　) A.11　 B.-12 C.13　 D.-13 3.(5分)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为 (　　) A.-2 B.2 C.1 D.0 4.(5分)(2026·临沂高一检测)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A.f(x+1)+3　 B.f(x+1)-3 C.f(x-1)+3　 D.f(x-1)-3 5.(5分)(多选)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的有 (　　) A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 6.(5分)(多选)设函数f(x)=g(x)=f(x-2),则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是增函数 C.g[f(1)]=1 D.若g(a)=0,则a=2 7.(5分)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+2x+b,则f(0)+f(-1)=　　.  8.(5分)(2026·六安高一检测)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=2.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=　　.  9.(5分)已知函数y=f(x)为奇函数,g(x)=,若f(x)与g(x)图象仅有四个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则y1+y2+y3+y4=　　.  10.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=2x+; (2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)=(1-x). 【综合应用练】 11.(5分)函数f(x)=是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 12.(5分)已知函数f(x)=+++5,则f(m)+f(-m)= (　　) A.5 B.0 C.10 D.14 13.(5分)已知函数f(x)为R上的奇函数,满足在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集为　　.  14.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x<0时,f(x)=x2+2x+1. (1)画出函数f(x)的大致图象; (2)直接写出函数f(x)的值域和单调区间; (3)若方程f(x)=a有两个实数根,直接写出a的取值范围. 15.(10分)已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2. (1)求函数f(x)和g(x); (2)判断f(x)+g(x)的奇偶性; (3)求函数f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值. 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b的值为 (　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 【解析】选A.因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1. 2.(5分)(2026·咸阳高一检测)设f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x-1,则f(4)= (　　) A.11　 B.-12 C.13　 D.-13 【解析】选C.因为f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x-1, 所以f(4)=-f(-4)=-[3×(-4)-1]=13. 3.(5分)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为 (　　) A.-2 B.2 C.1 D.0 【解析】选A.f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2. 4.(5分)(2026·临沂高一检测)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　) A.f(x+1)+3　 B.f(x+1)-3 C.f(x-1)+3　 D.f(x-1)-3 【解析】选B.因为f(x)==3+,则f(x+1)-3=3+-3=, 而函数g(x)=的定义域为{x|x≠0},且g(-x)==-=-g(x), 即函数g(x)=为奇函数,故f(x+1)-3是奇函数,而f(x+1)+3=3++3=6+不是奇函数, 同理f(x-1)-3=3+-3=和f(x-1)+3=3++3=6+都不是奇函数. 5.(5分)(多选)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的有 (　　) A.这个函数有两个单调递增区间 B.这个函数有三个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 【解析】选BC.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出其在[-7,7]上的图象,如图所示.由图象可知这个函数有三个单调递增区间,有三个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不是-7. 6.(5分)(多选)设函数f(x)=g(x)=f(x-2),则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是增函数 C.g[f(1)]=1 D.若g(a)=0,则a=2 【解析】选AD.对于A,当x>0时,f(-x)=-1=-f(x),当x<0时,f(-x)=1=-f(x), 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-0)=-f(0),所以f(x)是奇函数,所以A正确; 对于B,因为当x>0时,f(x)=1是常函数,不是增函数,所以B错误; 对于C,由题意得g(x)=f(x-2)=所以g[f(1)]=g(1)=-1,所以C错误; 对于D,因为g(x)=所以由g(a)=0,得a=2,所以D正确. 7.(5分)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+2x+b,则f(0)+f(-1)=　-3　.  【解析】根据奇函数的性质,可得f(0)=0, 即b=0,所以当x≥0时,f(x)=x3+2x. 所以f(1)=13+2×1=3.根据奇函数的性质,可得f(-1)=-f(1)=-3, 所以f(0)+f(-1)=-3. 8.(5分)(2026·六安高一检测)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=2.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=　 -2　.  【解析】设F(x)=f(x)+x2. 因为F(x)是奇函数,所以F(-x)=-F(x), 即f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],所以f(-x)+f(x)=-2x2. 将x=1代入上式可得f(-1)+f(1)=-2,因为f(1)=2,所以f(-1)=-4, 所以g(-1)=f(-1)+2=-2. 9.(5分)已知函数y=f(x)为奇函数,g(x)=,若f(x)与g(x)图象仅有四个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则y1+y2+y3+y4=　0　.  【解析】函数g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又g(-x)==-=-g(x),所以函数g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数, 所以g(x)的图象关于原点对称,又函数y=f(x)为奇函数,即f(x)的图象也关于原点对称, 所以它们的四个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)分为两组关于原点中心对称, 所以y1+y2+y3+y4=2×0+2×0=0. 10.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=2x+; (2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)=(1-x). 【解析】(1)函数的定义域为{x|x≠0},由f(-x)=-2x+=-(2x+)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (2)函数的定义域为R,由f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数. (3)由≥0,得-1≤x<1. 所以函数f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,故函数f(x)是非奇非偶函数. 【综合应用练】 11.(5分)函数f(x)=是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】选B.若x是有理数,则-x也是有理数, 所以f(-x)=f(x)=1;若x是无理数,则-x也是无理数,所以f(-x)=f(x)=0. 所以函数f(x)是偶函数. 12.(5分)已知函数f(x)=+++5,则f(m)+f(-m)= (　　) A.5 B.0 C.10 D.14 【解析】选C.令g(x)=++,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则f(x)=g(x)+5, 又g(-x)=++=-(++)=-g(x), 所以g(x)=++为奇函数,则g(-m)=-g(m),即g(-m)+g(m)=0, 所以f(m)+f(-m)=g(m)+5+g(-m)+5=10. 13.(5分)已知函数f(x)为R上的奇函数,满足在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集为　(-∞,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)　.  【解析】因为函数f(x)为R上的奇函数,则f(-2)=-f(2)=0,f(0)=0, 因为f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以在(-∞,0)上单调递增,作出函数f(x)的大致图象如图所示: 由(x-2)f(x)>0,得或,即或, 由图知x<-2或0<x<2或x>2, 故不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2)∪(2,+∞). 14.(10分)已知定义在R上的奇函数f(x),当x<0时,f(x)=x2+2x+1. (1)画出函数f(x)的大致图象; (2)直接写出函数f(x)的值域和单调区间; (3)若方程f(x)=a有两个实数根,直接写出a的取值范围. 【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示: (2)由图象可得函数的值域为R,单调递增区间为(-1,0),(0,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞). (3)a的取值范围为(-1,0)∪(0,1). 15.(10分)已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2. (1)求函数f(x)和g(x); 【解析】(1)设f(x)=k1x,g(x)=(k1,k2≠0), 则1=f(1)=k1,2=g(1)=k2,所以f(x)=x,g(x)=. (2)判断f(x)+g(x)的奇偶性; 【解析】(2)令h(x)=f(x)+g(x)=x+,则其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 又h(-x)=-x+=-(x+)=-h(x),所以f(x)+g(x)为奇函数. (3)求函数f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值. 【解析】(3)因为当x∈(0,2)时,f(x)+g(x)=x+≥2=2, 当且仅当x=>0,即x=∈(0,2)时不等式等号成立, 故f(x)+g(x)在(0,2)上的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $