精品解析：山东青岛市北京师范大学青岛实验学校2024-2025学年度上学期八年级数学阶段性学习成果诊断

北师大青岛附属学校八年级数学阶段性学习成果诊断 一、选择题（共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在，，，中， ，，是有理数，是无理数， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 13，14，15 B. 40，9，41 C. 3，4， D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确，符合题意； C、，不是整数，故选项不符合题意；． D、，，不是整数，故选项不符合题意；． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据相反数的概念求解即可； 【详解】的相反数是-， 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的概念，正确理解题意是解题的关键； 4. 如图，数轴上表示的点应在（ ） A. 点O与点A之间 B. 点A与点B之间 C. 点B与点C之间 D. 点C与点D之间 【答案】C 【解析】 【分析】估算出的取值范围，即可判断出表示的点在哪两个点之间. 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴数轴上表示的点在点之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，正确的估算的大小是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根与立方根．根据算术平方根与立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 6. 已知一个数x的两个平方根是3a＋2和2－5a，则数x的立方根是（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平方根的性质，可得：3a+2+2-5a=0，据此求出a的值是多少；然后求出3a+2的值，进而求出x的值，进而求出x的立方根． 【详解】解：∵一个数x的两个平方根是3a+2和2-5a， ∴3a+2+2-5a=0， 解得：a=2， 则x=（3×2+2）2=64， ∴64的立方根是4． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 7. 若是正整数，则正整数n不可能是(　　) A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或2或3， ∴或4或9， ∴或11或6， 故选：B． 8. 如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若，则的值是（ ） A. 672 B. 673 C. 674 D. 675 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ， ∵，即， ∴， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 二、填空题（共18分） 9. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 10. 若，都为实数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质，可求出x、y的值，然后代入代数式计算． 【详解】解：根据题意得： ， 解得， 则． 故答案是：． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 11. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 12. 如图，若圆柱的底面半径是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱沿的侧面展开，丝线绕圆柱一周，利用两点之间线段最短基本事实知道展开图中就是丝线的最短长度，用勾股定理求即可． 【详解】沿将侧面展开如图， 有两点之间线段最短，为最短线长, ，， 由勾股定理 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆柱体的侧面展开图问题，掌握两点之间线段最短，会利用基本事实解决问题，此问题常与勾股定理结合，掌握好勾股定理是解题关键． 13. 如图，在中，，，P是边上一点（不与点C重合），连接，若是等腰三角形，则的长为__________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，分、、三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点作于， ，， ， ， 当时，点与点重合，不符合题意， 当时，， 当时，如图所示，设，则， 在中，，即， 解得：， 综上所述，是等腰三角形时，的长为5或， 故答案为：5或． 14. 形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键． 三、解答题 15. 在数轴上作出对应的点． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，如图，轴，截取，根据勾股定理可得，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点C即为所求． 【详解】解：如图在原点左侧作，轴，截取，连接，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点C，则点C即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵点C在原点O的左边， ∴点C表示的数为． 16. 计算： （1） （2） （3） （4） （5）解方程： （6）解方程： 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解：， 整理得， 解得； 【小问6详解】 解：， 整理得， 即， 开方得， 解得． 17. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 【答案】a2+6a，4﹣3． 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而把已知代入求出答案． 【详解】解：原式＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6 ＝2a2﹣6﹣a2+6a+6 ＝a2+6a 把a＝﹣1代入，得， 原式＝a2+6a＝（﹣1）2+6（﹣1） ＝4﹣3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键． 18. 如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，求绿地的面积． 【答案】绿地的面积为96 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出和的长． 先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，，，， ∴， 绿地的面积 ， 答：绿地的面积为96． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 20. 根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是__________． （2）__________，__________． （3）若，求满足条件的整数的值． 【答案】（1） （2）13.3，137 （3）183或184 【解析】 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得的值即可； （3）根据，结合表格中对应值可得的取值范围，再确定整数即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据对应值可知， ， 190.44的平方根是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：13.3，137； 【小问3详解】 解：由表格中的对应值可知， 当时，， 整数的值为183，184， 答：满足条件的整数的值为183或184． 【点睛】本题考查了平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是解题的关键． 21. 如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，． （1）求证：． （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得出，再根据勾股定理即可求出的长； （2）根据全等三角形的性质及勾股定求出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，根据， 即， 解得：， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 22. 观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述规律后解决下面的问题： （1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为___________． （2）若的整数部分为，小数部分为，，求的值． 【答案】（1）4 （2）的值为：或 【解析】 【分析】（1）根据二次根式大小的估算方法，估算的范围，即可求出答案； （2）根据题意分别写出a、b的值，然后带入代数式求值即可； 【小问1详解】 解： ∴， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 当时， 当时， 综上所述：的值为：或． 【点睛】本题考查了根式的运算，涉及了估算二次根式的大小等知识，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 23. 阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： （1）求的值； （2）计算（为正整数）的值； （3）利用上面的解法，请计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：     ； 【小问3详解】 解： ． 24. 【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________． 【应用】 （2）如图，在中，点在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【答案】（1）①是；②或； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②设，则，根据“准直角三角形”的定义得到或，然后分情况讨论求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②设， ， ． ， 是钝角． 是“准直角三角形”， ∴或． 当时， 即， 解得， ∴； 当时， 即， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或； （2）略 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大青岛附属学校八年级数学阶段性学习成果诊断 一、选择题（共24分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 13，14，15 B. 40，9，41 C. 3，4， D. 1，， 3. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上表示的点应在（ ） A. 点O与点A之间 B. 点A与点B之间 C. 点B与点C之间 D. 点C与点D之间 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个数x的两个平方根是3a＋2和2－5a，则数x的立方根是（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 7. 若是正整数，则正整数n不可能是(　　) A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 8. 如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为、、．若，则的值是（ ） A. 672 B. 673 C. 674 D. 675 二、填空题（共18分） 9. 的平方根是____． 10. 若，都为实数，且，则______． 11. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 12. 如图，若圆柱的底面半径是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是__________． 13. 如图，在中，，，P是边上一点（不与点C重合），连接，若是等腰三角形，则的长为__________． 14. 形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____． 三、解答题 15. 在数轴上作出对应的点． 16. 计算： （1） （2） （3） （4） （5）解方程： （6）解方程： 17. 先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 18. 如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，求绿地的面积． 19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 20. 根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是__________． （2）__________，__________． （3）若，求满足条件的整数的值． 21. 如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，． （1）求证：． （2）求的面积． 22. 观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述规律后解决下面的问题： （1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为___________． （2）若的整数部分为，小数部分为，，求的值． 23. 阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： （1）求的值； （2）计算（为正整数）的值； （3）利用上面的解法，请计算：． 24. 【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________． 【应用】 （2）如图，在中，点在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $