第18讲 平行线 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第18讲 平行线 目录 知识点1 平面内两直线的位置关系 2 知识点2 平行线定义与表示 2 知识点3 平行线作图方法 3 知识点4 平行公理及推论 3 知识点5 三线八角识别 3 知识点6 平行线判定（由角定线） 3 知识点7 平行线性质（由线定角） 4 知识点8 判定与性质区别 4 题型1 平面内两直线的位置关系 4 题型2 用直尺、三角板画平行线 6 题型3 平行公理及其推论的应用 8 题型4 同位角相等，两直线平行 10 题型5 内错角相等，两直线平行 12 题型6 同旁内角互补，两直线平行 14 题型7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 16 题型8 两直线平行，同位角相等 18 题型9 两直线平行，内错角相等 21 题型10 两直线平行，同旁内角互补 23 题型11 根据平行线的性质探究角的关系 25 题型12 根据平行线的性质求角的度数 29 题型13 平行线的性质在生活中的应用 32 题型14 根据平行线判定与性质求角度 36 题型15 根据平行线判定与性质证明 39 题型16 同位角、内错角、同旁内角识别 45 解答题 47 1. 知识目标：掌握同一平面内两直线的位置关系，理解平行线定义与平行公理，识别三线八角，熟记平行线判定与性质定理。 2. 能力目标：会规范画平行线，能利用判定证明平行、利用性质求角度，掌握综合计算与几何证明方法。 3. 素养目标：建立平面几何模型，区分判定与性质的逻辑关系，培养识图能力与规范推理能力。 知识点1 平面内两直线的位置关系 同一平面内，不重合的两条直线只有相交、平行两种位置关系。相交有一个公共点，平行没有公共点；垂直是相交的特殊情况。 知识点2 平行线定义与表示 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b。线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行，脱离同一平面的不相交直线不一定平行。 知识点3 平行线作图方法 直尺、三角板画平行线四步法：一放、二靠、三移、四画。平移过程三角板不转动，保证角度不变，画出的直线互相平行。 知识点4 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论（传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。若a∥b，b∥c，则a∥c。 知识点5 三线八角识别 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，三类核心角： 1. 同位角：截线同侧、两被截线同侧，F型结构。 2. 内错角：截线两侧、两被截线之间，Z型结构。 3. 同旁内角：截线同侧、两被截线之间，U型结构。 知识点6 平行线判定（由角定线） 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点7 平行线性质（由线定角） 1. 两直线平行，同位角相等。 2. 两直线平行，内错角相等。 3. 两直线平行，同旁内角互补。 知识点8 判定与性质区别 判定：已知角的关系，证明直线平行（角→线）。 性质：已知直线平行，推导角的关系（线→角）。 几何综合题常用顺序：先判定平行，再用性质计算、证明。 题型1 平面内两直线的位置关系 解题技巧：同一平面内不重合直线只有相交、平行两类；垂直属于特殊相交，不单独归类；判断题优先检查“同一平面、不重合”两个前提，缺少条件即为错误；多线关系逐对判断，不混淆、不遗漏。 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【详解】解：在同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 2．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系判定解答即可； 【详解】解：根据题意，得两直线相交； 3．同一平面内的两条直线的位置关系有________种，分别是________． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 4．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 题型2 用直尺、三角板画平行线 解题技巧：严格遵循一放、二靠、三移、四画步骤；平移时三角板固定角度不旋转，保证同位角相等；只有直线外一点可作已知直线的平行线，直线上一点无法作出；作图保留平移痕迹，线条平直，规范标注平行符号。 5．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 6．过点画直线的平行线，小明和小亮借助直尺和三角板完成作图如下，下列说法正确的是（     ） A．小明作图的依据是两直线平行，内错角相等 B．小明作图的依据是同位角相等，两直线平行 C．小亮作图的依据是两直线平行，内错角相等 D．小亮作图的依据是同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】小明利用两个三角板构造内错角相等，小亮利用直尺和三角板平移构造同位角相等． 【详解】解：对于小明的作图,观察图形可知，小明利用两个三角板拼接，构造了一组内错角相等， ∵内错角相等， ∴两直线平行， ∴小明作图的依据是“内错角相等，两直线平行”，选项A表述的是平行线的性质，错误； 选项B表述的是同位角，与图形不符，错误； 对于小亮的作图，观察图形可知，小亮利用直尺和三角板进行平移作图， 在平移过程中，三角板与直尺边缘的夹角（即同位角）保持不变， ∵ 同位角相等, ∴两直线平行 ， ∴小亮作图的依据是“同位角相等，两直线平行”，选项C表述的是平行线的性质，错误； 选项D正确． 7．已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下： 则做法正确的是_____________________． 【答案】嘉嘉和琪琪 【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；据此分析作答即可． 【详解】解：嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出； 琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出； 故嘉嘉和琪琪的方法都正确． 8．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 【答案】同位 【分析】明确平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：已知，得出， 因此，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 题型3 平行公理及其推论的应用 解题技巧：牢记直线外一点有且仅有一条平行线，区分直线上点与直线外点；多条直线平行可传递，两两平行可互相推导；可利用传递性排除相交矛盾，快速判断多线平行关系，是几何识图基础依据。 9．下列说法中错误的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】A 【分析】本题考查平行公理，垂线定义与相交线的基本性质，根据相关定义和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平行公理要求：只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，∴A说法错误； ∵初中阶段默认在同一平面内，过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴B说法正确； ∵两条直线相交，有且只有一个交点，∴C说法正确； ∵互相垂直的定义就是两条直线相交成直角，∴D说法正确． 10．农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：这种做法的依据是平行于同一条直线的两条直线平行． 11．如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 【答案】 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如果旋转到与地面平行时， 可知不能与地面平行， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 12．在同一平面内，如果，，那么可得________，其依据是________________． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】两条直线都平行于同一条直线，据此推出两条直线的位置关系，再写出对应理论依据即可． 【详解】解：∵，， ∴，其依据是：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 题型4 同位角相等，两直线平行 解题技巧：识别F型同位角，找准一条截线、两条被截直线；一组同位角相等即可直接判定平行；复杂图形剥离多余线条，提取基础三线八角模型；无直接等角时，可通过对顶角、邻补角转化角度，间接证平行。 13．2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∴， 故其中的原理是同位角相等，两直线平行． 14．如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴（同位角相等，两直线平行），故该选项符合题意； B、，不能证明，故该选项不符合题意； C、，不能证明，故该选项不符合题意； D、，不能证明，故该选项不符合题意． 15．如图，记图中互相平行的直线的组数为组，则_______． 【答案】 【分析】根据可判断，求出可判断，进而可求出x的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，图中互相平行的直线有组． 所以． 16．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同位角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵与是直线和被直线所截形成的同位角， ∴根据同位角相等，两直线平行，可得． 题型5 内错角相等，两直线平行 解题技巧：识别Z型内错角，位置在两线中间、截线两侧；只要一组内错角相等，即可判定两直线平行；题目无直接角度相等时，借助邻补角、对顶角换算推导；是几何证明中使用频率最高的平行判定方法。 17．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 18．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故D选项符合题意， 其他选项都不能判定． 19．小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】解：根据题意可知，小亮画平行线a，b的作法的依据是内错角相等，两直线平行． 20．如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：要使，可添加． 题型6 同旁内角互补，两直线平行 解题技巧：识别U型同旁内角，位置在两线中间、截线同侧；核心依据为两角和为180°即可证平行；题干出现角度和、倍数关系，优先使用该判定；区分易错点：同旁内角是互补证平行，不是相等证平行。 21．三角板与三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则与的位置关系为（     ） A． B．与相交 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由三角板的角度计算得出，由角的和差关系得出，最后由同旁内角互补即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（     ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等、两直线平行 可判定 ，故本选项符合题意； B．，利用同位角相等、两直线平行 可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意； C．，利用同旁内角互补、两直线平行 可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意； D．，利用内错角相等、两直线平行可判定 ，不能判定，故本选项不符合题意． 23．如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，解答即可． 【详解】解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 24．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【详解】解：若，则教室里黑板的上，下边缘平行． 解决这个问题所应用的数学依据是同旁内角互补，两直线平行． 题型7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题技巧：两条直线垂直同一直线，均形成90°直角，同位角相等，可直接判定平行；仅限同一平面内，空间几何不成立；可直接作为判定依据，简化证明步骤，常用于横竖直线平行判定题型。 25．下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②、③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 故选：D． 26．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此可得答案． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 27．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”解答即可得． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 28．小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 【答案】平行 【分析】先根据已知条件梳理直线间平行、垂直的循环规律，再判断与的位置关系． 【详解】解：已知，且在同一平面， 依次推导： ， ， ， ， ， ， ， 由此可得规律：每4条直线为一个循环周期， 即：， 计算：，余数为0，此余数规律与的情况一致，故． 题型8 两直线平行，同位角相等 解题技巧：必须有两直线平行的前提，才有同位角相等，无平行不可乱用结论；已知平行可直接套用性质得等角；多用于角度等量代换、几何推理计算；严格区分判定与性质，避免因果倒置。 29．如图，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据邻补角求出，再结合平行线的性质求出． 【详解】解：， ， 直线， ． 30．如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 31．如图，，，，则________°． 【答案】 【分析】过点B作再根据平行线的性质求出，再求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】解：过点B作 ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 32．如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求出相关角的度数，再根据垂直的定义，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，设直线上方、直线右侧的角为 ， ， ． 题型9 两直线平行，内错角相等 解题技巧：两直线平行，Z型内错角必然相等；复杂图形可剥离多余线段，提取核心模型；可结合对顶角性质串联多组等角关系；是角度计算、几何证明的核心常用性质。 33．如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算． 【详解】解：， ， ， ， ． 34．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 35．如图，已知，，连接、，，则的度数为______°． 【答案】90 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，从而得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型10 两直线平行，同旁内角互补 解题技巧：两直线平行，U型同旁内角和为180°；已知一个角度可直接求另一个同旁内角；遇到角度倍数、比例题型，可设未知数列方程求解；牢记不平行的两条直线，同旁内角无互补关系。 37．如图，，给出下列几个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴(两直线平行，内错角相等)； (两直线平行，同位角相等)； (两直线平行，同旁内角互补)． 故①②④正确；选项C符合题意． 38．两平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线(   ) A．互相重合 B．互相平行 C．互相垂直 D．相交 【答案】C 【详解】解：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，理由如下： 如图，， ， 平分，平分， ，， ， 在中，-()=， 两平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． 39．如图，已知，则__________． 【答案】102 【详解】解：， ， ， ， ． 40．如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据对顶角相等及平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型11 根据平行线的性质探究角的关系 解题技巧：常见拐点、铅笔头模型，过拐点作平行线构造新的三线八角；利用同位角、内错角、同旁内角性质逐层推导角度和差、等量关系；不依靠视觉判断，严格依据定理推理，总结通用角度规律。 41．如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据判断和互补，再根据，分别是和的角平分线，求得，据此得出和互余． 【详解】解： 又，分别是和的角平分线， ， ， 和互余． 42．如图，已知直线，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正确的只有B选项． 43．已知和的两边分别平行，且的两倍与的差为，则的度数为____________． 【答案】或 【分析】先根据“两个角的两边分别平行”的条件，得到和相等或互补，结合“的两倍与的差为”的条件，分情况列出方程求解即可． 【详解】解：和的两边分别平行， 或， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 即， 解得：， 综上所述，的度数为或． 44．已知直线，点M在如图的位置，连接，．延长至点E，平分， 平分，直线和直线相交于点N．下列结论： ①若，，则； ②若，，则； ③； ④． 其中正确的是（填序号）________． 【答案】①④ 【分析】过点作，根据平行线的性质得到，，进而得出，可判断①；过点作，根据平行线的性质得到，，进而得出，再利用角平分线和邻补角的定义求出，可判断②；根据角平分线的定义得到，，设，，分别表示出和，进一步计算可判断③④，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 若，， 则，故①正确； 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 若，， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵平分， 平分， ∴，， 设，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ，故④正确； 综上，正确的是①④． 题型12 根据平行线的性质求角的度数 解题技巧：先确认两直线平行，再匹配对应角模型；根据相等或互补关系列算式；结合对顶角、邻补角、直角等隐藏条件综合计算；复杂图形分步拆解，逐角求解，避免跳步出错。 45．如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线的性质求解，再由平行线的性质求解． 【详解】解：记过点E的平行线为，如图， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 46．如图，直线，的平分线交直线于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义求出的度数，再利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 47．如图，，P、Q分别是线段上的定点，在与之间有一点F，分别为、的角平分线，若，则________度． 【答案】100 【分析】过E作，根据平行线的性质和角的和差关系，求出，再根据角平分线的定义和平角的定义推出，即可得出结果. 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵分别为、的角平分线， ，， ， ∵， ∴， 同法可得：． 48．如图，已知，，，延长交于点，射线在内部，若，，则的度数为__________． 【答案】32 【分析】由，利用平行线的同位角相等性质，可得与的等量关系．由，利用平行线的同位角相等性质，可得与的等量关系，从而推导得到的度数．结合已知的度数，通过角的和差关系计算出的度数．由，利用平行线的内错角相等性质，可得与的等量关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵， ∴ ． ． ∵ ， ∴ ． 题型13 平行线的性质在生活中的应用 解题技巧：将铁轨、栏杆、跑道、扶梯等生活场景，转化为平行线几何模型；利用平行线角度恒定、间距相等、永不相交的特征解题；结合生活常识验证结果合理性，贴合实际场景作答。 49．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 50．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则___________． 【答案】53 【详解】解：如图， ∵， ， ∵， ∴． 51．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． 【答案】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】解：过作，过作， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1) 证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 题型14 根据平行线判定与性质求角度 解题技巧：固定解题顺序，先利用角度关系判定两直线平行，再借助平行线性质求未知角；先证平行、再算角度，层层递进；每一步推理对应对应定理，杜绝判定与性质混用、因果倒置。 53．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于（     ）时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：， ，即． ，， ， 当 时，． 54．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E、F分别作的平行线，设，因为，所以所作直线也平行于，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等性质，依据角平分线的定义，将平分平分的条件转化为角的倍分关系，分别将用α和β表示．结合已知条件，将得到的两个角的表达式代入，求出，即可求解的度数． 【详解】解：过点E作，过点F作，设， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 55．如图1是向阳小区车库门口的一种折叠道闸，图2是其示意图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C转动时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，则此时的度数是_______． 【答案】/125度 【分析】根据平行线性质和垂直定义进行角度转换，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 56．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____． 【答案】 【分析】过点F作，由，得．利用平行线内错角相等，将拆分为．由角平分线的性质，得，，因此．由，得，即．代入，得，即可求出答案． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型15 根据平行线判定与性质证明 解题技巧：标准推理逻辑：已知条件→角度关系→判定平行→性质得角→得出结论；每一步书写标注依据，做到步步有据；选择最简推理路径，不冗余、不跳步；使用规范几何语言，杜绝口语化表达。 57．如图，已知AP平分，CP平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定与性质，解题的关键在于利用角平分线将角的关系转化为倍数关系，结合已知条件推导出同旁内角互补，从而判定．在此基础上，利用平行线的性质推导其他角的关系．对于结论④，需结合条件判定，进而利用平行线性质得出结论． 【详解】（1）判断结论①：． 由AP平分，CP平分，得，； ∵， ∴， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行可得：, ∴结论①成立； （2）判断结论②：． ∵（已证） ∴, ∵，， ∴，． ∴， ∴， ∵题中缺少条件，无法证得, ∴结论②不成立； （3）判断结论③：． ∵由已知条件只能推导出，无法直接得出与的位置关系， 又没有额外条件， ∴无法判定成立， ∴结论③不成立； （4）判断结论④：若，则． ∵CP平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵AP平分， ∴, ∴, ∴结论④若，则成立 ． 综上所述，正确结论有①④． 58．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义及角平分线定义，结合图形中三角板的角度特征进行逐一判断即可． 【详解】解： 在 中，， ， ， ， 在 中，， ， ， 故①正确； ，， （两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由图可知点 在 上， ， ， 在 中，， ， ， ，即 平分 ， 故③正确； 点 在 上， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 59．如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 【答案】①③④ 【分析】由平行线的性质和判定结合角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确，符合题意； 平分， ，， ，故②错误，不符合题意； ∵， ，， ，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 综上所述，结论正确的是①③④． 60．将一副三角板如图所示摆放在一起，已知，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行线的判定和性质，结合互余和互补角的定义，逐一分析各结论即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故结论④错误． ∴正确的结论是①②③． 题型16 同位角、内错角、同旁内角识别 解题技巧：先找准三线结构：一条截线、两条被截直线，无截线则无三类角；快速模型识别：F型同位角、Z型内错角、U型同旁内角；遮挡多余干扰线条，提取核心图形；区分对顶角、邻补角与截线八角，避免概念混淆。 61．如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，与都在截线（水平线）上方，且在两被截线之间，是同旁内角，故①正确； 与都在截线（水平线）上方，且都在被截线右侧，是同位角，故②正确； 在截线上方，在截线下方，但在被截线外侧，与不是内错角，故③错误； 与没有公共截线，不是同位角，故④错误； 与互为邻补角，不是对顶角，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有2个. 62．如图所示，结论中正确的是（     ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【分析】根据内错角、同位角和同旁内角的特征逐一判断即可． 【详解】解：选项A：和是直线被直线所截形成的角，这两个角不在被截线之间，所以构不成内错角，故A不符合题意； 选项B：和是直线相交形成的对顶角，故B不符合题意； 选项C：和是直线被直线所截形成的角，这两个角在被截线之间，在截线的同侧，所以构成同旁内角，故C符合题意； 选项D：和是直线被直线所截形成的角，这两个角在被截线之间，在截线的两侧，所以构成内错角，故D不符合题意． 63．如图，直线、被直线所截，则图中共有同旁内角________对． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角． 【详解】解：如图，和，和是同旁内角，共对． ． 64．如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 【答案】 【分析】直接利用同位角的定义求解即可． 【详解】解：∵直线与直线被直线所截， ∴和是同位角． 解答题 65．如图，，． (1)延长线段，交于点，请根据题意补全图形； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)补全图形如图所示； (2)证明：， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）按照题目要求延长线段与交于点，补全几何图形即可． （2）根据已知得到同旁内角互补，结合进行等量代换得到内错角相等，进而证明． （3）利用平行线的性质得到对应角相等，结合角平分线定义、垂直的定义，通过角的和差计算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ，． 平分， ． ， ． ， ， ， ． 66．如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 67．仰卧起坐是一项增加躯干肌肉力量和伸张性的运动，如图是彤彤做仰卧起坐某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得出，，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ． 68．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)若，则 ； (2)若，射线在内交直线于点，如图②所示，当、分别在点、的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过点作直线，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （2）延长交于点，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （3）分情况讨论，①当分别在点的右侧，②当点在点的左侧，点在点的右侧时，③当分别在点的左侧，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：过点作直线，如图： ， ， ，， ， ， （2）解：延长交于点，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：①当分别在点的右侧，如图： ， ， ， ， ， ，， ∵射线平分， ； ②当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ； ③当点分别在点的左侧，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 69．已知，点在上方，连接，． (1)如图1，若，，则 °； (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点．若平分，求的值． 【答案】(1)31 (2)解：． 理由：如图2，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ， ， ， 即． (3) 【分析】（1）过C点作，根据平行线的性质和角的和差即可得解； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长，交于点，过点作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过C点作， 则，， ∴． （2）略 （3）解：如图3，延长，交于点，过点作， ． ， ． ， ，， ， ． ， ． 平分，平分， ，， ． 由（2），可得， ， 即． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 70．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，再后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 平行线 目录 知识点1 平面内两直线的位置关系 2 知识点2 平行线定义与表示 2 知识点3 平行线作图方法 3 知识点4 平行公理及推论 3 知识点5 三线八角识别 3 知识点6 平行线判定（由角定线） 3 知识点7 平行线性质（由线定角） 4 知识点8 判定与性质区别 4 题型1 平面内两直线的位置关系 4 题型2 用直尺、三角板画平行线 5 题型3 平行公理及其推论的应用 6 题型4 同位角相等，两直线平行 7 题型5 内错角相等，两直线平行 9 题型6 同旁内角互补，两直线平行 10 题型7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 11 题型8 两直线平行，同位角相等 11 题型9 两直线平行，内错角相等 12 题型10 两直线平行，同旁内角互补 13 题型11 根据平行线的性质探究角的关系 14 题型12 根据平行线的性质求角的度数 15 题型13 平行线的性质在生活中的应用 16 题型14 根据平行线判定与性质求角度 18 题型15 根据平行线判定与性质证明 19 题型16 同位角、内错角、同旁内角识别 20 解答题 21 1. 知识目标：掌握同一平面内两直线的位置关系，理解平行线定义与平行公理，识别三线八角，熟记平行线判定与性质定理。 2. 能力目标：会规范画平行线，能利用判定证明平行、利用性质求角度，掌握综合计算与几何证明方法。 3. 素养目标：建立平面几何模型，区分判定与性质的逻辑关系，培养识图能力与规范推理能力。 知识点1 平面内两直线的位置关系 同一平面内，不重合的两条直线只有相交、平行两种位置关系。相交有一个公共点，平行没有公共点；垂直是相交的特殊情况。 知识点2 平行线定义与表示 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b。线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行，脱离同一平面的不相交直线不一定平行。 知识点3 平行线作图方法 直尺、三角板画平行线四步法：一放、二靠、三移、四画。平移过程三角板不转动，保证角度不变，画出的直线互相平行。 知识点4 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论（传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。若a∥b，b∥c，则a∥c。 知识点5 三线八角识别 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，三类核心角： 1. 同位角：截线同侧、两被截线同侧，F型结构。 2. 内错角：截线两侧、两被截线之间，Z型结构。 3. 同旁内角：截线同侧、两被截线之间，U型结构。 知识点6 平行线判定（由角定线） 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点7 平行线性质（由线定角） 1. 两直线平行，同位角相等。 2. 两直线平行，内错角相等。 3. 两直线平行，同旁内角互补。 知识点8 判定与性质区别 判定：已知角的关系，证明直线平行（角→线）。 性质：已知直线平行，推导角的关系（线→角）。 几何综合题常用顺序：先判定平行，再用性质计算、证明。 题型1 平面内两直线的位置关系 解题技巧：同一平面内不重合直线只有相交、平行两类；垂直属于特殊相交，不单独归类；判断题优先检查“同一平面、不重合”两个前提，缺少条件即为错误；多线关系逐对判断，不混淆、不遗漏。 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 2．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 3．同一平面内的两条直线的位置关系有________种，分别是________． 4．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 题型2 用直尺、三角板画平行线 解题技巧：严格遵循一放、二靠、三移、四画步骤；平移时三角板固定角度不旋转，保证同位角相等；只有直线外一点可作已知直线的平行线，直线上一点无法作出；作图保留平移痕迹，线条平直，规范标注平行符号。 5．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．过点画直线的平行线，小明和小亮借助直尺和三角板完成作图如下，下列说法正确的是（     ） A．小明作图的依据是两直线平行，内错角相等 B．小明作图的依据是同位角相等，两直线平行 C．小亮作图的依据是两直线平行，内错角相等 D．小亮作图的依据是同位角相等，两直线平行 7．已知直线，嘉嘉和琪琪想画出的平行线，他们的方法如下： 则做法正确的是_____________________． 8．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，得到，．这种作法的依据是______角相等，两直线平行． 题型3 平行公理及其推论的应用 解题技巧：牢记直线外一点有且仅有一条平行线，区分直线上点与直线外点；多条直线平行可传递，两两平行可互相推导；可利用传递性排除相交矛盾，快速判断多线平行关系，是几何识图基础依据。 9．下列说法中错误的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 10．农民伯伯在插秧时，为了保证所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都与前一行平行即可．如图2，插第②行时，只需与第①行平行即可，插第③行时，只需与第②行平行即可，这样就能保证第③行秧苗与第①行秧苗也平行．这种做法的依据是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 11．如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 12．在同一平面内，如果，，那么可得________，其依据是________________． 题型4 同位角相等，两直线平行 解题技巧：识别F型同位角，找准一条截线、两条被截直线；一组同位角相等即可直接判定平行；复杂图形剥离多余线条，提取基础三线八角模型；无直接等角时，可通过对顶角、邻补角转化角度，间接证平行。 13．2026年4月25日，“龙牌中国红杯”木工技能大赛在郑州圣达物流园隆重举行．如图是木工师傅常用的用角尺画平行线的方法，其中的原理是（     ） A．垂线段最短 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 14．如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，记图中互相平行的直线的组数为组，则_______． 16．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 题型5 内错角相等，两直线平行 解题技巧：识别Z型内错角，位置在两线中间、截线两侧；只要一组内错角相等，即可判定两直线平行；题目无直接角度相等时，借助邻补角、对顶角换算推导；是几何证明中使用频率最高的平行判定方法。 17．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 18．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 19．小亮在探究平行线的作法时，发现可以利用两个相同的直角三角尺画平行线，如图是小亮画平行线a，b的作法，则小亮这样画的依据是___________________________． 20．如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 题型6 同旁内角互补，两直线平行 解题技巧：识别U型同旁内角，位置在两线中间、截线同侧；核心依据为两角和为180°即可证平行；题干出现角度和、倍数关系，优先使用该判定；区分易错点：同旁内角是互补证平行，不是相等证平行。 21．三角板与三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则与的位置关系为（     ） A． B．与相交 C． D．无法确定 22．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（     ）．    A． B． C． D． 23．如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 24．老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 题型7 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题技巧：两条直线垂直同一直线，均形成90°直角，同位角相等，可直接判定平行；仅限同一平面内，空间几何不成立；可直接作为判定依据，简化证明步骤，常用于横竖直线平行判定题型。 25．下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 26．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 27．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 28．小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 题型8 两直线平行，同位角相等 解题技巧：必须有两直线平行的前提，才有同位角相等，无平行不可乱用结论；已知平行可直接套用性质得等角；多用于角度等量代换、几何推理计算；严格区分判定与性质，避免因果倒置。 29．如图，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，已知直线，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 31．如图，，，，则________°． 32．如图，平行线a，b被直线c所截，a与c相交于点O，于点O，，则的度数为__________． 题型9 两直线平行，内错角相等 解题技巧：两直线平行，Z型内错角必然相等；复杂图形可剥离多余线段，提取核心模型；可结合对顶角性质串联多组等角关系；是角度计算、几何证明的核心常用性质。 33．如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 34．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，已知，，连接、，，则的度数为______°． 36．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 题型10 两直线平行，同旁内角互补 解题技巧：两直线平行，U型同旁内角和为180°；已知一个角度可直接求另一个同旁内角；遇到角度倍数、比例题型，可设未知数列方程求解；牢记不平行的两条直线，同旁内角无互补关系。 37．如图，，给出下列几个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．两平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线(   ) A．互相重合 B．互相平行 C．互相垂直 D．相交 39．如图，已知，则__________． 40．如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 题型11 根据平行线的性质探究角的关系 解题技巧：常见拐点、铅笔头模型，过拐点作平行线构造新的三线八角；利用同位角、内错角、同旁内角性质逐层推导角度和差、等量关系；不依靠视觉判断，严格依据定理推理，总结通用角度规律。 41．如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 42．如图，已知直线，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 43．已知和的两边分别平行，且的两倍与的差为，则的度数为____________． 44．已知直线，点M在如图的位置，连接，．延长至点E，平分， 平分，直线和直线相交于点N．下列结论： ①若，，则； ②若，，则； ③； ④． 其中正确的是（填序号）________． 题型12 根据平行线的性质求角的度数 解题技巧：先确认两直线平行，再匹配对应角模型；根据相等或互补关系列算式；结合对顶角、邻补角、直角等隐藏条件综合计算；复杂图形分步拆解，逐角求解，避免跳步出错。 45．如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 46．如图，直线，的平分线交直线于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 47．如图，，P、Q分别是线段上的定点，在与之间有一点F，分别为、的角平分线，若，则________度． 48．如图，已知，，，延长交于点，射线在内部，若，，则的度数为__________． 题型13 平行线的性质在生活中的应用 解题技巧：将铁轨、栏杆、跑道、扶梯等生活场景，转化为平行线几何模型；利用平行线角度恒定、间距相等、永不相交的特征解题；结合生活常识验证结果合理性，贴合实际场景作答。 49．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 50．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则___________． 51．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． 52．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 题型14 根据平行线判定与性质求角度 解题技巧：固定解题顺序，先利用角度关系判定两直线平行，再借助平行线性质求未知角；先证平行、再算角度，层层递进；每一步推理对应对应定理，杜绝判定与性质混用、因果倒置。 53．为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图1是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，，．当等于（     ）时，与平行． A． B． C． D． 54．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 55．如图1是向阳小区车库门口的一种折叠道闸，图2是其示意图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C转动时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，则此时的度数是_______． 56．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____． 题型15 根据平行线判定与性质证明 解题技巧：标准推理逻辑：已知条件→角度关系→判定平行→性质得角→得出结论；每一步书写标注依据，做到步步有据；选择最简推理路径，不冗余、不跳步；使用规范几何语言，杜绝口语化表达。 57．如图，已知AP平分，CP平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③④ 58．如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 60．将一副三角板如图所示摆放在一起，已知，，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 题型16 同位角、内错角、同旁内角识别 解题技巧：先找准三线结构：一条截线、两条被截直线，无截线则无三类角；快速模型识别：F型同位角、Z型内错角、U型同旁内角；遮挡多余干扰线条，提取核心图形；区分对顶角、邻补角与截线八角，避免概念混淆。 61．如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 62．如图所示，结论中正确的是（     ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 63．如图，直线、被直线所截，则图中共有同旁内角________对． 64．如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 解答题 65．如图，，． (1)延长线段，交于点，请根据题意补全图形； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，于点，，求的度数． 66．如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 67．仰卧起坐是一项增加躯干肌肉力量和伸张性的运动，如图是彤彤做仰卧起坐某一瞬间的动作及其示意图，，，点F在直线上，若，，求的度数． 68．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)若，则 ； (2)若，射线在内交直线于点，如图②所示，当、分别在点、的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 69．已知，点在上方，连接，． (1)如图1，若，，则 °； (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，连接并延长至点．若平分，求的值． 70．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $