第15讲直线、射线、线段（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第15讲 直线、射线、线段 目录 知识点1 直线、射线、线段基本概念与区别 2 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 2 知识点3 两大几何基本事实 3 知识点4 点与直线的位置关系 3 知识点5 线段的和差与等分点 4 知识点6 两点间的距离 4 知识点7 尺规作线段基础 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 5 题型3 线段的应用 6 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 7 题型5 画出直线、射线、线段 8 题型6 点与线的位置关系 9 题型7 两点确定一条直线 10 题型8 线段的和与差 11 题型9 线段中点的有关计算 12 题型10 线段 n 等分点的有关计算 12 题型11 线段之间的数量关系 13 题型12 与线段有关的动点问题 14 题型13 两点之间线段最短 15 题型14 两点间的距离 16 题型15 最短路径问题 17 题型16 作线段 (尺规作图) 18 1. 知识目标：掌握直线、射线、线段的定义、区别与规范表示方法，理解两大几何基本事实，熟练掌握线段和差、中点、等分点核心知识点。 2. 能力目标：能准确识图计数、规范作图，熟练求解线段长度、处理线段动点、最短路径问题，掌握基础尺规作图方法。 3. 素养目标：建立几何图形直观认知，规范几何语言表达，培养数形结合、几何推理与空间建模能力。 知识点1 直线、射线、线段基本概念与区别 1. 直线：无端点，向两端无限延伸，不可度量长度。 2. 射线：1个端点，向一端无限延伸，不可度量长度，端点决定射线位置与方向。 3. 线段：2个端点，不能延伸，可以度量长度，是三者中唯一可测量的图形。 4. 表示规范：直线、线段字母无顺序；射线端点字母必须在前，顺序不可颠倒。 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 1. 线段：线段AB（BA通用）、线段a，无顺序要求，可互换。 基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 要点诠释： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2. 射线：射线OA（端点字母必须在前，不可写射线AO）、射线l，端点固定，方向唯一。 3. 直线：直线AB（BA通用）、直线l，无端点无方向，字母可互换。 核心禁忌：射线表示端点前置，三类图形命名必须带专属前缀（线段/射线/直线）。 知识点3 两大几何基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线（常用于固定木条、确定直线位置）。 2. 两点之间线段最短：两点之间所有连线中，线段长度最短，是最短路径问题核心依据。 知识点4 点与直线的位置关系 1. 点在直线上（直线经过该点）。 2. 点在直线外（直线不经过该点）。 知识点5 线段的和差与等分点 1. 线段和差：同一直线上的线段，可根据位置关系进行加减运算，满足图形位置逻辑。 2. 线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，若M是AB中点，则AM=BM=。 3. n等分点：将线段平均分成n段，每段长度相等，相邻分点间距一致。 知识点6 两点间的距离 1. 定义：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 2. 注意：距离是长度数值，不是线段图形本身。 知识点7 尺规作线段基础 1. 工具：无刻度直尺、圆规。 2. 核心操作：可作一条线段等于已知线段，可进行线段的截取、延长、拼接作图。 题型1 直线、线段、射线的数量问题 解题技巧（定点分类、不重不漏、按规计数） 1. 直线：两点确定一条直线，图形中直线数量极少，直接观察贯穿直线即可。 2. 线段：数两个端点组成的有限线段，按顺序逐段统计，避免重复漏数。 3. 射线：一个端点对应两个方向射线，每个端点双向计数，注意区分方向、不重复。 4. 通用公式：n个点在同一直线上，线段总条数=。 1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 3．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 4．如图，往返于两地的火车，从地到地时，需要准备________种不同的车票，在往返的过程中，需要准备________种不同的车票，最多有________种不同的票价（距离相等时，票价相同）． 题型2 直线相交的交点个数问题 解题技巧（无重合、无平行、公式速算） 1. 任意两条直线不重合、不平行，最多产生1个交点。 2. n条直线最多交点数公式：。 3. 存在平行、共点情况时，交点数量减少，按实际图形统计。 4. 区分最多交点、最少交点（全部共点时最少为1）。 5．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 8．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 题型3 线段的应用 解题技巧（抓线段可度量、建模转化） 1. 生活测距、长度计算、路径选取，均依托线段可度量的特征解题。 2. 将实际长度问题转化为线段和差、长度计算问题。 3. 结合两点之间线段最短，解决生活路径优化问题。 9．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 10．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 11．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则________mm. 12．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 ___种车票． 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 解题技巧（三查对比、端点延伸、度量区分） 1. 查端点：直线0个、射线1个、线段2个。 2. 查延伸：直线双向延伸、射线单向延伸、线段不可延伸。 3. 查度量：仅线段可测量长度，直线、射线不可度量。 4. 查表示：射线端点在前，字母顺序不可颠倒。 13．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 14．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 15．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 16．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 题型5 画出直线、射线、线段 解题技巧（规范作图、特征到位、标注完整） 1. 直线：两端无端点，向两端无限延伸，标注直线字母。 2. 射线：一端实心端点，一端延伸，端点字母在前。 3. 线段：两端均为实心端点，无延伸，标注两端点字母。 4. 严格贴合几何规范，不随意增减端点、延伸方向。 17．以下说法中正确的是（     ） A．延长射线 B．延长线段到 C．直线的端点之一是 D．延长射线到 18．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 19．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 20．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为______． 题型6 点与线的位置关系 解题技巧（直观判定、规范表述、两类区分） 1. 点在直线上：点落在直线轨迹上，直线经过该点。 2. 点在直线外：点脱离直线轨迹，直线不经过该点。 3. 几何语言规范表述，杜绝口语化描述。 21．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 22．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 23．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 24．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 题型7 两点确定一条直线 解题技巧（熟记事实、场景匹配、精准应用） 1. 核心结论：两点有且只有一条直线，是直线定位唯一依据。 2. 生活场景：钉木条固定、瞄准、拉线对齐均利用该原理。 3. 只要确定两个定点，即可唯一确定一条直线。 25．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 26．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 27．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 28．为了把所有树都种在一条直线上，我们首先需要确定两棵树的位置，这样做的数学依据是________________． 题型8 线段的和与差 解题技巧（看图列式、位置优先、顺次计算） 1. 点在线段上：总长=两段短线段之和。 2. 点在线段外：长线段=短线段+延伸段，短线段=长线段-延伸段。 3. 先判断点的位置，再列和差关系式，分步计算长度。 4. 多条线段叠加，依次逐层运算，不跳步。 29．如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 30．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 31．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 32．如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 题型9 线段中点的有关计算 解题技巧（中点等分、等量代换、倍数计算） 1. 中点核心：平分线段，两段长度完全相等。 2. 知总长求分段：分段长度=总长÷2。 3. 知分段求总长：总长=分段长度×2。 4. 多中点叠加，逐一代入等量关系，层层推导。 33．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 35．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 36．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 题型10 线段 n 等分点的有关计算 解题技巧（均分等长、比例分配、统一份数） 1. n等分点将线段平均分为n份，每份长度完全相等。 2. 单段长度=线段总长÷n。 3. 第k段总长=单段长度×k。 4. 结合图形位置，精准求取对应区间线段长度。 37．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 38．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 39．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 40．如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 题型11 线段之间的数量关系 解题技巧（看图推导、等式变形、整体代换） 1. 根据点的排布位置，推导线段之间倍数、和差关系。 2. 利用中点、等分点性质，进行等量替换。 3. 无需算出具体长度，重点推导恒成立数量关系式。 4. 复杂图形拆分多段，分步找关联。 41．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 42．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 43．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 44．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 题型12 与线段有关的动点问题 解题技巧（设时间变量、动态化静态、分段讨论） 1. 设运动时间为t，用速度×时间表示动点移动路程。 2. 将动态线段长度转化为含t的代数式。 3. 根据动点位置分段讨论（未到端点、到达端点、折返）。 4. 结合中点、和差关系列方程求解，限定取值范围。 45．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 46．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（    ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 47．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 48．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 题型13 两点之间线段最短 解题技巧（熟记公理、对比路径、直接判定） 1. 核心公理：两点之间所有连线中，线段最短。 2. 折线、曲线长度均大于线段长度。 3. 所有最短路径判定，优先选取直连线段。 49．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 50．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 51．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 52．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 题型14 两点间的距离 解题技巧（区分图形数值、精准定义、规范作答） 1. 距离是线段长度数值，不是线段本身。 2. 求两点距离即求两点之间线段的长度。 3. 可通过线段和差、中点公式、方程求解长度。 53．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 55．如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 56．如图，线段上有三个点，点是的中点，．则线段______． 题型15 最短路径问题 解题技巧（化折为直、依托公理、定点连线） 1. 同侧、异侧最短路径，核心思想：化折线为直线。 2. 定点之间直接连线，路径最短。 3. 含动点路径，利用线段最短公理，锁定最优点位。 57．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 58．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 59．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 60．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 题型16 作线段 (尺规作图) 解题技巧（尺规规范、无刻度截取、保留痕迹） 1. 直尺只画线、不量长度，圆规负责截取等长线段。 2. 作等长线段：圆规截取已知线段长度，在射线上定点。 3. 作线段和差：依次截取叠加或截取删减，保留作图痕迹。 4. 作图后标注端点、线段名称，规范完整。 61．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 62．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 63．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 64．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 直线、射线、线段 目录 知识点1 直线、射线、线段基本概念与区别 2 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 2 知识点3 两大几何基本事实 3 知识点4 点与直线的位置关系 3 知识点5 线段的和差与等分点 4 知识点6 两点间的距离 4 知识点7 尺规作线段基础 4 题型1 直线、线段、射线的数量问题 4 题型2 直线相交的交点个数问题 6 题型3 线段的应用 9 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 11 题型5 画出直线、射线、线段 14 题型6 点与线的位置关系 17 题型7 两点确定一条直线 18 题型8 线段的和与差 20 题型9 线段中点的有关计算 22 题型10 线段 n 等分点的有关计算 24 题型11 线段之间的数量关系 27 题型12 与线段有关的动点问题 31 题型13 两点之间线段最短 36 题型14 两点间的距离 38 题型15 最短路径问题 39 题型16 作线段 (尺规作图) 42 1. 知识目标：掌握直线、射线、线段的定义、区别与规范表示方法，理解两大几何基本事实，熟练掌握线段和差、中点、等分点核心知识点。 2. 能力目标：能准确识图计数、规范作图，熟练求解线段长度、处理线段动点、最短路径问题，掌握基础尺规作图方法。 3. 素养目标：建立几何图形直观认知，规范几何语言表达，培养数形结合、几何推理与空间建模能力。 知识点1 直线、射线、线段基本概念与区别 1. 直线：无端点，向两端无限延伸，不可度量长度。 2. 射线：1个端点，向一端无限延伸，不可度量长度，端点决定射线位置与方向。 3. 线段：2个端点，不能延伸，可以度量长度，是三者中唯一可测量的图形。 4. 表示规范：直线、线段字母无顺序；射线端点字母必须在前，顺序不可颠倒。 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 1. 线段：线段AB（BA通用）、线段a，无顺序要求，可互换。 基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 要点诠释： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2. 射线：射线OA（端点字母必须在前，不可写射线AO）、射线l，端点固定，方向唯一。 3. 直线：直线AB（BA通用）、直线l，无端点无方向，字母可互换。 核心禁忌：射线表示端点前置，三类图形命名必须带专属前缀（线段/射线/直线）。 知识点3 两大几何基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线（常用于固定木条、确定直线位置）。 2. 两点之间线段最短：两点之间所有连线中，线段长度最短，是最短路径问题核心依据。 知识点4 点与直线的位置关系 1. 点在直线上（直线经过该点）。 2. 点在直线外（直线不经过该点）。 知识点5 线段的和差与等分点 1. 线段和差：同一直线上的线段，可根据位置关系进行加减运算，满足图形位置逻辑。 2. 线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，若M是AB中点，则AM=BM=。 3. n等分点：将线段平均分成n段，每段长度相等，相邻分点间距一致。 知识点6 两点间的距离 1. 定义：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 2. 注意：距离是长度数值，不是线段图形本身。 知识点7 尺规作线段基础 1. 工具：无刻度直尺、圆规。 2. 核心操作：可作一条线段等于已知线段，可进行线段的截取、延长、拼接作图。 题型1 直线、线段、射线的数量问题 解题技巧（定点分类、不重不漏、按规计数） 1. 直线：两点确定一条直线，图形中直线数量极少，直接观察贯穿直线即可。 2. 线段：数两个端点组成的有限线段，按顺序逐段统计，避免重复漏数。 3. 射线：一个端点对应两个方向射线，每个端点双向计数，注意区分方向、不重复。 4. 通用公式：n个点在同一直线上，线段总条数=。 1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 2．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 3．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 4．如图，往返于两地的火车，从地到地时，需要准备________种不同的车票，在往返的过程中，需要准备________种不同的车票，最多有________种不同的票价（距离相等时，票价相同）． 【答案】 10 20 10 【分析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价；考虑往返情况，乘以2就可以求解. 【详解】解：（种） （种） （种） 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的定义，解决问题的关键是要求学生学会查找线段的条数，要做到不重不漏，以及知道来回车票是不一样的． 题型2 直线相交的交点个数问题 解题技巧（无重合、无平行、公式速算） 1. 任意两条直线不重合、不平行，最多产生1个交点。 2. n条直线最多交点数公式：。 3. 存在平行、共点情况时，交点数量减少，按实际图形统计。 4. 区分最多交点、最少交点（全部共点时最少为1）。 5．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内直线相交的点的个数，根据题目中提供的条件得到规律是解题关键． 先根据两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……得到n条直线相交最多有个交点，再把代入即可求值． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 6．观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查基本的几何图形：经过两点能且只能作一条直线；一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示；三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个；两点之间，线段最短． 【详解】①经过两点能且只能作一条直线，说法错误； ②一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示，说法正确； ③三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个，说法错误； ④两点之间，线段最短，说法正确． 综上所述，正确的说法为②④，正确的个数为个． 故选：B 7．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 8．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及直线的交点问题，能根据题意发现最多交点个数的变化规律是解题的关键． 根据题意，依次求出图形中最多的交点个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：， …， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，． 即10条直线相交，最多的交点个数为45个． 故答案为：45． 题型3 线段的应用 解题技巧（抓线段可度量、建模转化） 1. 生活测距、长度计算、路径选取，均依托线段可度量的特征解题。 2. 将实际长度问题转化为线段和差、长度计算问题。 3. 结合两点之间线段最短，解决生活路径优化问题。 9．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 10．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 11．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则________mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 12．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 ___种车票． 【答案】20 【分析】根据题意，作出图形，根据线段的知识解决问题即可． 【详解】如图： 共有10条线段，, 又题中是往返列车，往返的车票都不相同， 所以共有10×2＝20种车票， 故答案为20． 【点睛】本题主要考查运用直线、射线、线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． 题型4 直线、射线、线段的联系与区别 解题技巧（三查对比、端点延伸、度量区分） 1. 查端点：直线0个、射线1个、线段2个。 2. 查延伸：直线双向延伸、射线单向延伸、线段不可延伸。 3. 查度量：仅线段可测量长度，直线、射线不可度量。 4. 查表示：射线端点在前，字母顺序不可颠倒。 13．下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的基本概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 14．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 15．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了直线、射线和线段的定义，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线、射线和线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：①直线是无限长的，无法延长，故错误； ②射线是无限长的，无法延长，故错误； ③线段可以延长到点M，故正确； ④直线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑤射线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑥线段可以画出长的线段，故正确； ⑦射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故错误； 故答案为：③⑥． 16．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 题型5 画出直线、射线、线段 解题技巧（规范作图、特征到位、标注完整） 1. 直线：两端无端点，向两端无限延伸，标注直线字母。 2. 射线：一端实心端点，一端延伸，端点字母在前。 3. 线段：两端均为实心端点，无延伸，标注两端点字母。 4. 严格贴合几何规范，不随意增减端点、延伸方向。 17．以下说法中正确的是（     ） A．延长射线 B．延长线段到 C．直线的端点之一是 D．延长射线到 【答案】B 【分析】直线没有端点，两端可无限延伸；射线有1个端点，端点外另一端可无限延伸；线段有2个端点，长度有限，可延长． 【详解】解：∵ 射线的端已无限延伸，不能延长，故A错误． ∵ 线段长度有限，可以延长线段到C，故B正确． ∴ 正确选项为B． ∵ 直线没有端点，故C错误． ∵ 射线的端已无限延伸，不能延长到，故D错误． 18．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 19．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 20．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为______． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 题型6 点与线的位置关系 解题技巧（直观判定、规范表述、两类区分） 1. 点在直线上：点落在直线轨迹上，直线经过该点。 2. 点在直线外：点脱离直线轨迹，直线不经过该点。 3. 几何语言规范表述，杜绝口语化描述。 21．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 22．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 23．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 24．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 题型7 两点确定一条直线 解题技巧（熟记事实、场景匹配、精准应用） 1. 核心结论：两点有且只有一条直线，是直线定位唯一依据。 2. 生活场景：钉木条固定、瞄准、拉线对齐均利用该原理。 3. 只要确定两个定点，即可唯一确定一条直线。 25．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 26．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 27．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】 两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 28．为了把所有树都种在一条直线上，我们首先需要确定两棵树的位置，这样做的数学依据是________________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，解题的关键是掌握“两点确定一条直线”的意义． 根据“两点确定一条直线”即可进行解答． 【详解】在平面几何中，直线由两点唯一确定，即经过两点有且只有一条直线. 因此，为了将所有树种植在一条直线上，首先需要确定两棵树的位置，以确保直线被明确界定. 故答案为：两点确定一条直线． 题型8 线段的和与差 解题技巧（看图列式、位置优先、顺次计算） 1. 点在线段上：总长=两段短线段之和。 2. 点在线段外：长线段=短线段+延伸段，短线段=长线段-延伸段。 3. 先判断点的位置，再列和差关系式，分步计算长度。 4. 多条线段叠加，依次逐层运算，不跳步。 29．如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数据计算即可． 【详解】解：由图可知，的长度约为：（cm）． 30．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 31．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 32．如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【答案】/7厘米 【分析】设，则，，根据线段中点的定义得到，，根据求出x的值，根据计算即可． 【详解】解：∵C、D两点将线段从左到右依次分成三部分， ∴设，则，． ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴． ∴． 题型9 线段中点的有关计算 解题技巧（中点等分、等量代换、倍数计算） 1. 中点核心：平分线段，两段长度完全相等。 2. 知总长求分段：分段长度=总长÷2。 3. 知分段求总长：总长=分段长度×2。 4. 多中点叠加，逐一代入等量关系，层层推导。 33．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 34．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 35．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 36．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 题型10 线段 n 等分点的有关计算 解题技巧（均分等长、比例分配、统一份数） 1. n等分点将线段平均分为n份，每份长度完全相等。 2. 单段长度=线段总长÷n。 3. 第k段总长=单段长度×k。 4. 结合图形位置，精准求取对应区间线段长度。 37．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 38．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 39．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 40．如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型11 线段之间的数量关系 解题技巧（看图推导、等式变形、整体代换） 1. 根据点的排布位置，推导线段之间倍数、和差关系。 2. 利用中点、等分点性质，进行等量替换。 3. 无需算出具体长度，重点推导恒成立数量关系式。 4. 复杂图形拆分多段，分步找关联。 41．如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 【详解】解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 42．如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 43．已知线段的长为10，点C为线段的中点，D为线段上一点，且，若点P为直线上一点，且，则___________． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查线段的计算，准确地作图，合理分类讨论是解题的关键．先确定点C、D在线段上的位置，再通过分类讨论点P在直线上的不同位置，结合线段的和差关系列方程求解． 【详解】解：∵，点C为线段的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ①当点P在点B的右侧，如图1，    设， 则，， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ②当点P在点A的左侧，如图2，    设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴； ③当点P在之间，如图3，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； ④当点P在之间，如图4，    设， 则， ∵， ∴， 解得（不符题意，舍去）； ⑤当点P在之间，如图5，    设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴（不符题意，舍去）； 综上，或7． 故答案为：1或7． 44．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的定义、线段的和差计算以及分类讨论的数学思想，熟练掌握线段中点的性质和折中点的定义，并能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 先根据中点的定义求出的长度，再分两种情况讨论折中点的位置，利用折中点将折线分成两等份的性质，分别建立等式求出的长度． 【详解】解：∵为线段的中点，且， ∴． 情况一：当在上时， ∵， ∴． ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴． 情况二：当在上时， ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 题型12 与线段有关的动点问题 解题技巧（设时间变量、动态化静态、分段讨论） 1. 设运动时间为t，用速度×时间表示动点移动路程。 2. 将动态线段长度转化为含t的代数式。 3. 根据动点位置分段讨论（未到端点、到达端点、折返）。 4. 结合中点、和差关系列方程求解，限定取值范围。 45．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 46．已知有理数a，b满足：，如图，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），，，下列结论中正确的是（    ） ①，； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，数轴以及绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握数形结合的思想． ①利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； ②利用线段中点的定义进行判断即可； ③画出图形，利用线段的和差进行判断即可； ④借助数轴，令点对应数轴上的实数为0，假设点对应数轴上的实数为，表示出相关点对应的数，利用两点之间的距离表示出线段的长度即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，， 故①正确； ②当点B与点O重合时， ， ∴点C恰好为线段的中点， 故②正确； ③如图所示，点B与点A重合， ∴， ∴ ， 故③正确； ④如图所示，令点对应数轴上的实数为0，则点对应数轴上的实数为4， 假设点对应数轴上的实数为，则点对应数轴上的实数为， ∵点M为线段的中点， ∴点对应数轴上的实数为； ∵点N为线段的中点， ∴点对应数轴上的实数为； ∴线段的长度为， ∴线段的长度不变， 故④正确； 综上，正确选项为①②③④， 故选：D． 47．数轴上的点、、、所表示的数如图所示，点为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点沿数轴以每秒个单位长度向左平移．当点和点重合时同时停止运动、若在运动过程中始终满足，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，可得开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：． 故答案为：4 48．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【答案】或或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用和分类讨论思想．关键是根据点、的运动方向分四种情况：均向右运动、向左向右、向右向左、均向左运动，用时间表示出、的相对位置，进而列出关于的方程求解． 【详解】解：设经过秒时，线段的长为． 已知，，点的速度为，点的速度为，则，． 以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为． ①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，，解得； 当时，(舍去)； ④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，解得； 当时，(舍去)； 综上，满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 题型13 两点之间线段最短 解题技巧（熟记公理、对比路径、直接判定） 1. 核心公理：两点之间所有连线中，线段最短。 2. 折线、曲线长度均大于线段长度。 3. 所有最短路径判定，优先选取直连线段。 49．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确． 50．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 51．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】 两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． 52．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 题型14 两点间的距离 解题技巧（区分图形数值、精准定义、规范作答） 1. 距离是线段长度数值，不是线段本身。 2. 求两点距离即求两点之间线段的长度。 3. 可通过线段和差、中点公式、方程求解长度。 53．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线、线段、两点间距离、线段中点的基础概念，只需根据对应定义逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①∵射线的端点是A，射线的端点是B，端点不同，延伸方向也不同， ∴二者不是同一条射线，说法①错误； ②∵两点之间，线段最短，直线不可度量，∴说法②错误； ③∵连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，不是线段本身，∴说法③错误； ④∵根据线段中点的定义，若点P是线段的中点，则，∴说法④正确； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 54．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 55．如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．先求出，再根据中点得到． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， 故答案为：3． 56．如图，线段上有三个点，点是的中点，．则线段______． 【答案】6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，线段的数量关系，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 题型15 最短路径问题 解题技巧（化折为直、依托公理、定点连线） 1. 同侧、异侧最短路径，核心思想：化折线为直线。 2. 定点之间直接连线，路径最短。 3. 含动点路径，利用线段最短公理，锁定最优点位。 57．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 58．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是掌握该定理． 利用两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 59．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 60．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 题型16 作线段 (尺规作图) 解题技巧（尺规规范、无刻度截取、保留痕迹） 1. 直尺只画线、不量长度，圆规负责截取等长线段。 2. 作等长线段：圆规截取已知线段长度，在射线上定点。 3. 作线段和差：依次截取叠加或截取删减，保留作图痕迹。 4. 作图后标注端点、线段名称，规范完整。 61．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 62．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 【详解】解：由作图得：， ． 63．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 【答案】(1) ；2；； (2)；6 【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差关系补充即可； （2）在点左侧作，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在点左侧作，则， ∴点即为所求， ，点为线段的中点， ， ， ． 64．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $