专题16 多边形 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题16多边形暑假预习讲义 ①识记：掌握多边形定义，分清凸多边形与凹多边形，熟知多边形顶点、边、内角、外角、对角线各组成部分名称；掌握正多边形概念，明确正多边形各边相等、各内角相等。 ②计数：学会推导n边形对角线条数公式，能够准确数出简单多边形对角线数量，利用公式计算任意n边形对角线总数。 ③推导：理解多边形内角和推导思路（分割三角形法），牢记n边形内角和公式(n-2)×180，可正向、逆向运用公式求边数、内角和。 ④掌握：熟记任意凸多边形外角和恒为360，不受边数多少影响，区分内角和与外角和规律差异。 ⑤计算：结合内角和、外角和公式，求解正多边形单个内角度数、单个外角度数；已知内/外角度数反求多边形边数。 ⑥辨析：区分三角形、四边形、五边形等多边形特征，明确三角形是最简单的多边形，可作为多边形推导的基础图形。 ⑦实操：能将多边形分割为若干三角形，借助三角形内角和解释多边形内角和由来，体会转化数学思想。 ⑧应用：解决多边形内角、外角、边数相互求解的基础应用题，包含多边形缺角求角度类常见题型。 ⑨避错：规避高频易错点，记错内角和公式、误以为外角和随边数增大而变化、混淆对角线计数方法、忽略正多边形边角双重相等条件。 ⑩素养：学会将陌生多边形问题转化为熟悉的三角形问题，培养几何转化思想，完善平面几何图形知识体系。 预习必备 知识梳理 1.多边形核心概念 2.多边形分类 3.正多边形 4.多边形对角线相关公式 5.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.多边形的概念与分类 2.正多边形概念辨析 3.多边形截角后的边数问题 4.多边形的周长 5.网格中多边形面积比较 6.多边形对角线的条数问题 7.对角线分成的三角形个数问题 强化题型 解答题5题 知识点01:多边形核心概念 1. 多边形定义 在同一平面内，由不在同一条直线上的三条及以上线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做多边形。 四大必备条件：同一平面、线段、首尾顺次相连、封闭；曲线、开口图形都不是多边形。 2. 多边形各组成要素 元素 定义 数量 图示 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条 总条数：条 3.多边形命名与书写 按边数命名：3 条边 = 三角形，4 条边 = 四边形，5 条边 = 五边形，n 条边 = n 边形(n3)整数）； 表示方法：按顺时针 / 逆时针依次书写顶点字母， 例：五边形ABCDE。 知识点02.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。（初中主要研究凸多边形） 凹多边形：存在一条边所在直线，多边形分布在直线两侧。 区分技巧 凸多边形所有内角都小于180；凹多边形存在内角＞180。 知识点 03正多边形（高频概念辨析） 1.定义：各边相等，且各内角相等的多边形叫做正多边形。 ⚠️ 易错提醒：只满足一边相等或只满足角相等，不能判定为正多边形（例：长方形四角相等，但边长不等，不是正四边形；菱形四边相等，内角不等，不是正四边形）。 2.正 n 边形角度计算公式 角度类型 计算公式 单个内角 单个外角 拓展性质：正 n 边形有 n 条对称轴。 知识点04:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 例题提示：已知边数求对角线、已知对角线条数求边数，均直接套用公式。 知识点 05 高频易错点（课堂反复强调） 1.忽略多边形定义条件：把曲线图形、开口折线当成多边形； 2.对角线概念混淆：连接相邻顶点的线段不算对角线； 3.正多边形判定误区：只看边长相等 / 只看内角相等，忽略两者需同时成立； 4.计算对角线总数时忘记除以 2，出现重复计数； 5.凹多边形内角大于180，计算内角和时容易漏算。 题型1.多边形的概念与分类 【典例】在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，图中的凸四边形有________个． 3．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.正多边形概念辨析 【典例】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【跟踪专练1】如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的个数有（     ） ①钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为；②；③若，则OC是的平分线；④各边都相等的多边形叫做正多边形． A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练3】正六边形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2．像这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A． B． C． D． 题型3.多边形截角后的边数问题 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 【跟踪专练1】一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【跟踪专练3】一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 题型4.多边形的周长 【典例】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【跟踪专练2】用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【跟踪专练3】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 题型5.网格中多边形面积比较 【典例】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【跟踪专练3】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 题型6.多边形对角线的条数问题 【典例】一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 【跟踪专练1】从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【跟踪专练2】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有______条． 【跟踪专练3】如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 题型7.对角线分成的三角形个数问题 【典例】经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪专练2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【跟踪专练3】过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边形分成三角形的个数为，这个多边形的边数为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 解答题 1．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 2．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 4．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 5．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16多边形暑假预习讲义 ①识记：掌握多边形定义，分清凸多边形与凹多边形，熟知多边形顶点、边、内角、外角、对角线各组成部分名称；掌握正多边形概念，明确正多边形各边相等、各内角相等。 ②计数：学会推导n边形对角线条数公式，能够准确数出简单多边形对角线数量，利用公式计算任意n边形对角线总数。 ③推导：理解多边形内角和推导思路（分割三角形法），牢记n边形内角和公式(n-2)×180，可正向、逆向运用公式求边数、内角和。 ④掌握：熟记任意凸多边形外角和恒为360，不受边数多少影响，区分内角和与外角和规律差异。 ⑤计算：结合内角和、外角和公式，求解正多边形单个内角度数、单个外角度数；已知内/外角度数反求多边形边数。 ⑥辨析：区分三角形、四边形、五边形等多边形特征，明确三角形是最简单的多边形，可作为多边形推导的基础图形。 ⑦实操：能将多边形分割为若干三角形，借助三角形内角和解释多边形内角和由来，体会转化数学思想。 ⑧应用：解决多边形内角、外角、边数相互求解的基础应用题，包含多边形缺角求角度类常见题型。 ⑨避错：规避高频易错点，记错内角和公式、误以为外角和随边数增大而变化、混淆对角线计数方法、忽略正多边形边角双重相等条件。 ⑩素养：学会将陌生多边形问题转化为熟悉的三角形问题，培养几何转化思想，完善平面几何图形知识体系。 预习必备 知识梳理 1.多边形核心概念 2.多边形分类 3.正多边形 4.多边形对角线相关公式 5.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.多边形的概念与分类 2.正多边形概念辨析 3.多边形截角后的边数问题 4.多边形的周长 5.网格中多边形面积比较 6.多边形对角线的条数问题 7.对角线分成的三角形个数问题 强化题型 解答题5题 知识点01:多边形核心概念 1. 多边形定义 在同一平面内，由不在同一条直线上的三条及以上线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做多边形。 四大必备条件：同一平面、线段、首尾顺次相连、封闭；曲线、开口图形都不是多边形。 2. 多边形各组成要素 元素 定义 数量 图示 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条 总条数：条 3.多边形命名与书写 按边数命名：3 条边 = 三角形，4 条边 = 四边形，5 条边 = 五边形，n 条边 = n 边形(n3)整数）； 表示方法：按顺时针 / 逆时针依次书写顶点字母， 例：五边形ABCDE。 知识点02.多边形分类 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。（初中主要研究凸多边形） 凹多边形：存在一条边所在直线，多边形分布在直线两侧。 区分技巧 凸多边形所有内角都小于180；凹多边形存在内角＞180。 知识点 03正多边形（高频概念辨析） 1.定义：各边相等，且各内角相等的多边形叫做正多边形。 ⚠️ 易错提醒：只满足一边相等或只满足角相等，不能判定为正多边形（例：长方形四角相等，但边长不等，不是正四边形；菱形四边相等，内角不等，不是正四边形）。 2.正 n 边形角度计算公式 角度类型 计算公式 单个内角 单个外角 拓展性质：正 n 边形有 n 条对称轴。 知识点04:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 例题提示：已知边数求对角线、已知对角线条数求边数，均直接套用公式。 知识点 05 高频易错点（课堂反复强调） 1.忽略多边形定义条件：把曲线图形、开口折线当成多边形； 2.对角线概念混淆：连接相邻顶点的线段不算对角线； 3.正多边形判定误区：只看边长相等 / 只看内角相等，忽略两者需同时成立； 4.计算对角线总数时忘记除以 2，出现重复计数； 5.凹多边形内角大于180，计算内角和时容易漏算。 题型1.多边形的概念与分类 【典例】在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形、四边形、八边形都是多边形，圆不是多边形． 【跟踪专练1】如图，图中的凸四边形有________个． 【答案】 【详解】解：图中的凸四边形为四边形，四边形，四边形，共3个． 3．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 题型2.正多边形概念辨析 【典例】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 【跟踪专练1】如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 【跟踪专练2】下列说法中，正确的个数有（     ） ①钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为；②；③若，则OC是的平分线；④各边都相等的多边形叫做正多边形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据钟表角度计算、度分秒换算、角平分线定义、正多边形定义，需逐个判断每个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：① 钟表一圈为，时针每小时走，分针每分钟走， ∵11时20分时，时针总角度为，分针总角度为， ∴较小夹角为，①正确； ②∵， ∴，即，②错误； ③若在外部，即使满足，也不是的平分线，③错误； ④正多边形的定义是各边相等且各内角相等，仅各边相等不能判定为正多边形，如菱形各边相等但不是正四边形，④错误． 综上，正确的说法只有1个． 【跟踪专练3】正六边形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2．像这样连续翻转，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形边长和周长，再计算2026与起始点F的距离，利用周期性确定对应点． 【详解】解： 点，对应的数分别为， 正六边形边长 正六边形周长为 初始位置点对应数为，且每翻转6次为一个循环，向右移动12个单位 计算与的距离： 数轴上对应的点相当于从点开始顺时针翻转，移动个单位长度所对应的点 数轴上2026这个数所对应的点是 题型3.多边形截角后的边数问题 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 【答案】4、5或6 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6 【跟踪专练1】一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题涉及多边形截角后边数的变化情况，需要考虑不同的截角方式，分析得到的多边形可能的形状． 【详解】解：A、当截线经过长方形的两个不相邻的顶点时，得到三角形，符合题意； B、当截线经过长方形的一个顶点和它不相邻的一条边上的一点时，得到四边形，符合题意； C、当截线经过一个角所邻的两条边上的任意两点（不与顶点重合）时，得到五边形，符合题意； D、因为截去一个角后得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形，所以以上都有可能，符合题意． 故选： D． 【点睛】本题考查了多边形截角后边数的变化，解题关键是全面考虑不同的截角方式，分析得到的多边形的可能形状． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【跟踪专练3】一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 题型4.多边形的周长 【典例】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【跟踪专练2】用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 【跟踪专练3】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 题型5.网格中多边形面积比较 【典例】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【跟踪专练3】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 题型6.多边形对角线的条数问题 【典例】一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 【答案】21 【分析】先求出多边形的边数，再计算正多边形的周长即可． 【详解】解：从一个顶点可以引出条对角线， 这个多边形的边数为， 该正多边形的边长为， 这个正多边形的周长为． 【跟踪专练1】从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：从边形的一个顶点出发，最多可引出的对角线数量为条， ∵从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线， ∴， 解得． 【跟踪专练2】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有______条． 【答案】/九 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 【跟踪专练3】如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 【答案】B 【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据正多边形的对角线条数为 ， 代入计算即可． 【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数， 根据正多边形的对角线条数，得 （条）． 题型7.对角线分成的三角形个数问题 【典例】经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 【答案】九/9 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得： ， 解得； 故这个多边形是九边形． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成9个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 ， 解得 ． 【跟踪专练2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 【跟踪专练3】过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边形分成三角形的个数为，这个多边形的边数为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题利用多边形对角线的基本规律求解，先根据一个顶点引出的对角线数量求出多边形边数，再计算对角线分成三角形的个数． 【详解】解：对于边形，从任意一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点引对角线，因此可引出对角线的数量为条． ∵ 本题中从一个顶点共画出条对角线， ∴ ，解得， 又∵ 从边形一个顶点引出对角线，所得三角形个数为， ∴ ，即，． 解答题 1．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 2．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】 如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】略 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 4．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，可以将多边形分割成若干个小三角形．如图所示，给出了四边形的三种具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，这样我们就可以借助研究三角形的经验研究四边形了． 图①被分割成2个小三角形； 图②被分割成3个小三角形； 图③被分割成4个小三角形． (1)请按照上述三种方法分别将图中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数． (2)如果按照上述三种分割方法分别分割边形，请写出每种方法所得到的小三角形的个数．（用含的代数式写出结论即可，不必画图） 【答案】(1)三角形的个数分别是4个，5个，6个，见解析 (2)第一种分割法把边形分割成了个小三角形；第二种分割法把边形分割成了个小三角形；第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 【分析】本题是一道按照已知的分割方法将多边形分割成三角形的题目，根据分割成的三角形的个数找到规律． 从已知分割图中，图①是从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；图②是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；图③是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割． （1）根据上述方法分别进行分割，可以发现把六边形分割而成的三角形的个数分别是4个，5个，6个． （2）根据这样的两个特殊图形，发现：第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数． 【详解】（1）解：仿照已知的分割法，对六边形进行分割，见下图， 分割成的三角形的个数分别是4个、5个、6个； （2）解：结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把边形分割成了个小三角形； 第二种分割法把边形分割成了个小三角形； 第三种分割法把边形分割成了个小三角形． 5．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $