第12讲用一元一次方程解决实际问题（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册暑假预习讲义

第12讲 用一元一次方程解决实际问题 目录 知识点1 列一元一次方程解应用题通用步骤 2 知识点2 应用题核心解题思想 2 知识点3 常见基础公式储备 2 题型1 配套问题 (一元一次方程的应用) 3 题型2 工程问题 (一元一次方程的应用) 5 题型3 销售盈亏 (一元一次方程的应用) 8 题型4 比赛积分 (一元一次方程的应用) 11 题型5 方案选择 (一元一次方程的应用) 13 题型6 数字问题 (一元一次方程的应用) 17 题型7 几何问题 (一元一次方程的应用) 22 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 25 题型9 和差倍分问题 (一元一次方程的应用) 31 题型10 电费和水费问题 (一元一次方程的应用) 33 题型11 行程问题 (一元一次方程的应用) 37 题型12 比例分配 (一元一次方程的应用) 40 题型13 日历问题 (一元一次方程的应用) 44 题型14 古代问题 (一元一次方程的应用) 49 题型15 其他问题 (一元一次方程的应用) 51 1. 知识目标：掌握列一元一次方程解应用题的通用步骤，熟记各类实际问题的等量关系模型，熟悉常见应用题题型特征。 2. 能力目标：能精准审题找等量关系、规范设数列方程，熟练求解配套、行程、销售、工程等15类常见应用题，会处理方案选择、动点综合问题。 3. 素养目标：建立方程建模思想，学会用数学方程解决生活实际问题，提升审题分析、逻辑推理与综合应用能力。 知识点1 列一元一次方程解应用题通用步骤 1. 审题：读懂题意，找出已知量、未知量，抓取核心数量关系。 2. 设元：一般直接设所求量为x，复杂题型可间接设未知数。 3. 列方程：根据题目不变量、等量关系，列出一元一次方程。 4. 解方程：按照标准步骤求解未知数。 5. 检验：检验解是否符合方程、符合实际意义（正数、整数、取值范围）。 6. 作答：规范书写答案，对应题目问题作答。 知识点2 应用题核心解题思想 1. 不变量思想：多数应用题存在不变量，如总工程量、总人数、总路程、配套总数、总价等，以此构建等量关系。 2. 建模思想：将生活文字语言转化为数学方程语言，用方程替代算术解题。 3. 分类思想：方案选择、分段计费问题需分类讨论，对比最优结果。 知识点3 常见基础公式储备 1. 行程问题：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×时间；追及路程=速度差×时间。 2. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为1。 3. 销售问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100%；售价=标价×折扣。 4. 计费问题：总费用=基础费用+超额费用，分段分段计算。 题型1 配套问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓配套比例、定倍数关系、总量匹配） 1. 核心等量：配套物品数量满足固定比例（如1螺栓配2螺母）。 2. 解题关键：根据配套比例，让两种产品总量符合配比倍数关系。 3. 常设未知：设生产其中一种产品的人数、时间为x，另一种用总量表示。 4. 列式核心：A产品数量×配比数=B产品数量×配比数，杜绝比例颠倒。 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 2．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据配套时总套数相等的关系列方程即可． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则剩余千克做茶杯， 千克瓷泥做个茶壶，千克共做个茶壶， 千克瓷泥做只茶杯，千克共做只茶杯， 每套茶具需要个茶壶、只茶杯， 代入得方程：． 3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 4．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 题型2 工程问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（总量设为1、效率叠加、按时建模） 1. 无具体总量时，统一设工作总量为单位“1”。 2. 单人效率=1÷单独完成总时间，多人合作效率直接相加。 3. 等量关系：部分工作量之和=总工作量1。 4. 注意休息、交替工作场景，分段计算工作时长。 5．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 【答案】C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 6．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 7．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 【答案】该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 8．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 题型3 销售盈亏 (一元一次方程的应用) 解题技巧（熟记公式、抓进价核心、区分盈亏） 1. 核心公式灵活套用：利润=售价-进价、售价=原价×折扣、利润率=利润/进价。 2. 盈利：售价＞进价；亏损：售价＜进价；不盈不亏：售价=进价。 3. 常设进价、标价为未知数，根据盈亏金额列方程。 4. 多商品买卖问题，分别计算盈亏，最后合计判断总盈亏。 9．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 10．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 【答案】 480元 【分析】以32元利润对应的成本百分率为突破口，先求成本，再计算定价； 【详解】解：设该商品的成本为元， ∵商品按的利润定价， ∴定价为元， ∵按九折出售， ∴实际售价为元， ∵实际获利32元， ∴，解得， ∴定价为（元）， 答：这一商品的定价是480元． 11．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 12．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型4 比赛积分 (一元一次方程的应用) 解题技巧（固定积分、场次拆分、总分求和） 1. 拆分总场次：胜场+平场+负场=总比赛场次。 2. 积分规则固定：胜、平、负对应固定分值，不混淆积分标准。 3. 等量关系：胜场总分+平场总分-扣分=最终总积分。 4. 结果必须为非负整数，求出解后检验实际合理性。 13．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 14．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 15．为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 16．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 题型5 方案选择 (一元一次方程的应用) 解题技巧（求分界值、分段对比、择优选择） 1. 先设未知量，分别列出两种或多种方案的费用表达式。 2. 令两方案费用相等，求出分界临界点数值。 3. 分区间讨论：大于、小于、等于临界值，判断最优方案。 4. 结合题目取值范围（整数、正数），确定最终选择。 17．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 18．某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 200 500 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 19．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 20．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 题型6 数字问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（位值原理、拆分数字、整体代换） 1. 两位数表示：十位数字×10+个位数字；三位数同理百位×100。 2. 常设较小数位数字为x，用x表示其他数位。 3. 翻转数字、数字和差、倍数问题，根据数值关系列方程。 4. 数位数字取值0-9，首位不能为0，结果需符合数位规则。 21．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 22．在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作．小月就能说出同学最初想的那个数，如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是3，那么小红所想的数是_______． 【答案】 【分析】先设这个数为x，然后根据运算步骤，结果等于3，即可得出一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：设小红所想的数是x， 由题意得：， 解得：． 23．阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 24．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②的“友好数”为______． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为，的倒数为，的“友好数”为，的倒数为……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，……，．当时，求的值． 【答案】(1)①与3互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3互为“友好数”； ② (2) (3) 【分析】（1）①根据“友好数”的定义即可求解； ②根据“友好数”的定义即可求解； （2）根据有理数与互为“友好数”，与互为相反数，得出，再化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①略 ②设的“友好数”为x，根据题意得： ， 解得：， 即的“友好数”为； （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数以，，，，，4为周期循环，周期为6， ∵， ∴对应周期中第4个数，值为． 题型7 几何问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（套用公式、设边长未知、利用不变量） 1. 熟记周长、面积公式，根据图形特征列等量关系。 2. 常见不变量：图形拼接、裁剪、平移前后周长或面积不变。 3. 设边长、宽、高为未知数，代入公式构建方程。 4. 角度问题利用直角、平角、三角形内角和180°列等式。 25．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】可分别设长方形地砖的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答． 【详解】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得，即长方形地砖的宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得． ∴长方形地砖的长为，宽为． 26．如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 【答案】 8 【详解】解：∵两个长方形的面积相等 ∴ 解得； ∴图形的周长是． 27．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 28．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 解题技巧（以静制动、分段讨论、路程建模） 1. 设运动时间为x秒，用速度×时间表示动点运动路程。 2. 根据相遇、追及、距离定值、周长遍历等场景找等量。 3. 动点往返、分段运动，按时间段拆分讨论，避免漏解。 4. 结合图形边长、轨道总长，限定时间取值范围。 29．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 30．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 【答案】或 【分析】分六种情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别进行求解即可． 【详解】解：长方形中，厘米，厘米， 设运动时间为t秒， 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 当时，点Q在上，点P在上，根据题意得： ， 解得：； 当时，点Q在上，点P在上，、两点的连线不可能将长方形的面积平分； 综上，运动时间为6秒或18秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 31．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 32．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)26 (2) (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算公式求解即可； （2）求出点P到点O和到点C的时间，求出点Q到点C和点O的时间，从而可确定点P与点Q的相遇点一定在上，据此用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可； （3）分四种情况：、、和，用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数为； （2）解：由题意得，秒，秒，秒，秒， ∴点P运动到点O的时间为5秒，运动到点C的时间为秒， 点Q运动到点C的时间为8秒，运动到点O的时间为秒， ∴点P与点Q的相遇点一定在上， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为； （3）解：由（2）可知，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为0，此时点P与点Q的距离为11， 当时，点Q过点O向数轴负方向运动，此时点P与点Q的距离大于11，故不满足题意； 综上所述，或． 题型9 和差倍分问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓关键词、直译列式、标准建模） 1. 关键词翻译：和→加、差→减、倍→乘、分→除、多/少→加减。 2. 常设标准量、一倍量为x，其余量用含x式子表示。 3. 核心等量：大数±小数=差值、各部分和=总量。 4. 题型简单但易错，杜绝倍数、多少关系翻译颠倒。 33．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 【详解】解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 34．仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 【答案】 （或） 【分析】设原来面粉重量为未知数，根据大米与面粉的重量关系表示出原来大米重量，再根据减少5吨后的重量关系列方程求解． 【详解】解：设仓库原来面粉有吨， ∵原来大米比面粉多， ∴原来大米的重量为吨， 大米和面粉各减少吨后，大米重量为吨，面粉重量为吨， ∵此时面粉比大米少，即面粉重量是减少后大米重量的， ∴列方程得， 两边同乘去分母得， 展开，得， 移项整理，得， 解得， 将代入，得原来大米重量为吨． 35．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 【答案】所包的馅饼有19个，饺子有81个． 【分析】设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个，根据一共制作了100张大小不同的圆形面皮列方程解答即可． 【详解】解：设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个， 根据题意得， 解得， ． 答：所包的馅饼有19个，饺子有81个． 36．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方80个，数独棋40个 (2)该商店共获利360元 【分析】（1）设该商店购进数独棋x个，则购进魔方个，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该商店购进数独棋的个数），再将其代入中，即可求出该商店购进魔方的个数； （2）利用总利润每个魔方的销售利润购进魔方的个数每个数独棋的销售利润购进数独棋的个数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设数独棋x个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方（个）， 答：该商店购进魔方80个，数独棋40个； （2）解：由题意得，商店共获利： （元）， 答：该商店共获利360元． 题型10 电费和水费问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（分段计费、分界定量、逐段累加） 1. 此类问题均为分段收费，不同用量对应不同单价。 2. 先判断用量是否超过分段临界值，再设未知数列方程。 3. 总费用=基础段费用+超额段费用，分段累加求和。 4. 已知总费用反求用量，逆向分段计算，精准定位区间。 37．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，可推出该户去年一年的用电量在第二档，设该户去年一年的用电量是，分别表示出第一档和第二档的费用，二者的和为1834元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴该户去年一年的用电量在第二档， 设该户去年一年的用电量是， 由题意得，， 解得， ∴该户去年一年的用电量是， 故选：B． 38．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 39．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 40．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型11 行程问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（三类模型、固定等量、画图辅助） 1. 相遇问题：两者路程和=总距离。 2. 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离差。 3. 航行问题：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速。 4. 画图梳理运动轨迹，杜绝路程关系混淆。 41．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 42．已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 【答案】1或/或1 【分析】设出发小时后两车相距，分两种情况讨论，根据路程和的等量关系列方程求解． 【详解】解：设出发小时后两车相距， 分两种情况讨论：当相遇前两车相距时， 根据题意得， 解得； 当相遇后两车相距时， 根据题意得， 解得； 综上，出发小时或小时两车相距． 43．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据路程速度时间，结合总路程等于三段路程之和，列出一元一次方程，进而求出甲乙两地的距离． 【详解】解：设甲、乙两地相距米， 千米米， 原来的骑行速度为：（米/分钟）， 列方程：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 米千米， 答：甲、乙两地相距千米． 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 题型12 比例分配 (一元一次方程的应用) 解题技巧（设比例系数、按份分配、总和定值） 1. 已知比例a:b:c，直接设每份为x，各量表示为ax、bx、cx。 2. 核心等量：所有分量相加=总量。 3. 求出每份x后，再分别求出各部分具体数值。 4. 适用于人数、物资、角度、长度各类分配场景。 45．如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据三个村出工人数的比例，对每种设未知数方式分别列方程，再判断正误即可． 【详解】解：①设甲、乙、丙三村分别派，，人，满足，总人数和为，正确； ②设甲村派人，由比例关系可得乙村应出人，丙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误； ③由②的推导可知，所给方程符合题意，正确； ④设丙村派人，由比例关系可得甲村应出人，乙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误． 综上，正确的是①③． 46．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，今年5月，铜梁区在“原乡中央公园”开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、30元和10元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______． 【答案】/ 【分析】根据原有三个区域摊位数量比设出原有摊位数量，再设新增总摊位数量和百货区新增摊位数量，利用餐饮区摊位占总摊位的比例得到新增总数与原有摊位的关系，再根据管理费变化列出方程求解百货新增摊位，最后计算所求比值． 【详解】解：设原有餐饮区、百货区、杂项区摊位数量分别为、、，6月份新增总摊位数量为，百货区新增摊位数量为，则杂项区新增摊位数量为， 由题意得，餐饮区现有摊位数量为，总摊位数量为，且餐饮区摊位占总摊位的，因此：，整理得， 5月份总管理费为：， 6月份总管理费比5月增加，因此6月总管理费为：， 6月各摊位管理费单价为：餐饮区元/个，百货区元/个，杂项区元/个， 列出总管理费方程：， 将代入上式：， ， 解得， 夜市6月份总摊位数量为， 因此百货区新增摊位数量与总摊位数量之比为． 47．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 48．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 题型13 日历问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（掌握日历规律、统一设元、求和建模） 1. 日历规律：左右相邻差1，上下相邻差7。 2. 常设中间数、第一个数为x，其余数用x±1、x±7表示。 3. 根据数字和、倍数关系列方程求解。 4. 结果必须符合日历日期范围（1-31整数），舍去不合理解。 49．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设框中最小数为，推出其他四个数从小到大依次为，，，，求和得总和，将四个选项数值分别代入总和求出对应的，得出每组五个数中有不在内的就不可能是框架框住的五个数字之和． 【详解】解：设框住的五个数中最小的数为，则其他四个数从小到大依次为，，，， 这五个数字之和为， A、，解得，这五个数分别为，，，，； B、，解得，这五个数分别为，，，，； C、，解得，这五个数分别为，，，，； D、，解得，这五个数分别为，，，，，因为不可能出现在年月份的日历表中，故选D． 50．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【答案】24 【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为， 即：， 解得：． 51．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． 题型14 古代问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（古文翻译、剥离场景、转化常规题型） 1. 先翻译古文题意，剥离文字包装，还原基础题型（和差倍分、分配、盈亏）。 2. 找准等量关系，摒弃晦涩文言，转化为普通方程应用题。 3. 按标准设元、列方程、求解、检验步骤完成。 4. 重点在审题翻译，数学模型与现代基础题型完全一致。 53．《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以鸡的价钱为不变量，根据两种出钱情况分别表示鸡价，列方程． 【详解】解：设有人共同买鸡． ∵每人出8文，多出10文， ∴鸡价可表示为， ∵ 每人出6文，还差14文， ∴ 鸡价可表示为， ∴ 可列方程为． 54．路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 【答案】 【分析】由于总人数不变，根据题意列方程即可． 【详解】解：设有辆车，五人同车三车空，四人同车九步行，总人数是不变的， ． 55．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 56．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 题型15 其他问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓不变量、通用六步、灵活建模） 1. 通用解题逻辑：审题→找不变量→设元→列方程→求解→检验。 2. 常见场景：人数调动、物资转移、平均变化、统计类问题。 3. 始终抓住“变化前后相等、总量不变、平均等量”核心关系。 4. 无固定模型时，直译文字关系，构建等式即可解题。 57．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是梳理调动人员后两个队伍的人数，再根据题目给出的等量关系列方程． 【详解】解：∵把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中 ∴调动后，安全维护志愿者剩余人数为，交通引导志愿者人数变为． 根据题意，调动后安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，可得方程 ． 58．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 【答案】84 【分析】设丢番图寿命为岁，根据各阶段年龄和等于总寿命列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设丢番图的寿命为岁，根据题意列方程得： ， 方程两边同乘去分母，得： ， 合并同类项得： ， 移项得：， 解得：， 即丢番图的寿命是84岁． 59．推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 【答案】(1)清越家该月的耗电量为，自来水使用量为 (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列一元一次方程即可求解； （2）用每千米减少的碳排放量每天上下学的往返距离即可求解； （3）用整个学年减少的总碳排放量一棵树一年吸收的量即可求解． 【详解】（1）解：设清越家该月的耗电量为，自来水使用量为， 由题意得，， 解得，， 则自来水使用量为， 答：清越家该月的耗电量为，自来水使用量为； （2）解：每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量； （3）解：她减少的碳排放量大约相当于种植了． 60．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过实验，将有关信息记录在表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 __________ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 __________ 解决问题 (1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示； (2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 (3)借助以上相关数据，若天平左边有10个乒乓球和2个一次性纸杯，天平右边有1个10克的砝码和若干个一次性纸杯，那么天平右边需要几个纸杯能使天平平衡？ 【答案】(1)， (2)一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克 (3)17个纸杯 【分析】（1）根据表格中的记录列式即可； （2）根据（1）所得式子列方程求解即可； （3）设纸杯个数为个，结合（2）求出的单个质量列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，记录一：5个乒乓球1个10克的砝码与15个一次性纸杯的质量相同， 则一次性纸杯的总质量为； 记录二：3个乒乓球与1个一次性纸杯1个10克的砝码的质量相同， 则一次性纸杯的总质量为； （2）解：由题意得：， 解得， 所以． 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克． （3）解：设天平右边需要个纸杯能使天平平衡， 由题意，得， 解得． 答：天平右边需要个纸杯能使天平平衡． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 用一元一次方程解决实际问题 目录 知识点1 列一元一次方程解应用题通用步骤 2 知识点2 应用题核心解题思想 2 知识点3 常见基础公式储备 2 题型1 配套问题 (一元一次方程的应用) 3 题型2 工程问题 (一元一次方程的应用) 4 题型3 销售盈亏 (一元一次方程的应用) 5 题型4 比赛积分 (一元一次方程的应用) 5 题型5 方案选择 (一元一次方程的应用) 7 题型6 数字问题 (一元一次方程的应用) 8 题型7 几何问题 (一元一次方程的应用) 9 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 11 题型9 和差倍分问题 (一元一次方程的应用) 12 题型10 电费和水费问题 (一元一次方程的应用) 14 题型11 行程问题 (一元一次方程的应用) 15 题型12 比例分配 (一元一次方程的应用) 16 题型13 日历问题 (一元一次方程的应用) 17 题型14 古代问题 (一元一次方程的应用) 19 题型15 其他问题 (一元一次方程的应用) 20 1. 知识目标：掌握列一元一次方程解应用题的通用步骤，熟记各类实际问题的等量关系模型，熟悉常见应用题题型特征。 2. 能力目标：能精准审题找等量关系、规范设数列方程，熟练求解配套、行程、销售、工程等15类常见应用题，会处理方案选择、动点综合问题。 3. 素养目标：建立方程建模思想，学会用数学方程解决生活实际问题，提升审题分析、逻辑推理与综合应用能力。 知识点1 列一元一次方程解应用题通用步骤 1. 审题：读懂题意，找出已知量、未知量，抓取核心数量关系。 2. 设元：一般直接设所求量为x，复杂题型可间接设未知数。 3. 列方程：根据题目不变量、等量关系，列出一元一次方程。 4. 解方程：按照标准步骤求解未知数。 5. 检验：检验解是否符合方程、符合实际意义（正数、整数、取值范围）。 6. 作答：规范书写答案，对应题目问题作答。 知识点2 应用题核心解题思想 1. 不变量思想：多数应用题存在不变量，如总工程量、总人数、总路程、配套总数、总价等，以此构建等量关系。 2. 建模思想：将生活文字语言转化为数学方程语言，用方程替代算术解题。 3. 分类思想：方案选择、分段计费问题需分类讨论，对比最优结果。 知识点3 常见基础公式储备 1. 行程问题：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×时间；追及路程=速度差×时间。 2. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为1。 3. 销售问题：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100%；售价=标价×折扣。 4. 计费问题：总费用=基础费用+超额费用，分段分段计算。 题型1 配套问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓配套比例、定倍数关系、总量匹配） 1. 核心等量：配套物品数量满足固定比例（如1螺栓配2螺母）。 2. 解题关键：根据配套比例，让两种产品总量符合配比倍数关系。 3. 常设未知：设生产其中一种产品的人数、时间为x，另一种用总量表示。 4. 列式核心：A产品数量×配比数=B产品数量×配比数，杜绝比例颠倒。 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 2．汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 4．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 题型2 工程问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（总量设为1、效率叠加、按时建模） 1. 无具体总量时，统一设工作总量为单位“1”。 2. 单人效率=1÷单独完成总时间，多人合作效率直接相加。 3. 等量关系：部分工作量之和=总工作量1。 4. 注意休息、交替工作场景，分段计算工作时长。 5．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 6．某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 7．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 8．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 题型3 销售盈亏 (一元一次方程的应用) 解题技巧（熟记公式、抓进价核心、区分盈亏） 1. 核心公式灵活套用：利润=售价-进价、售价=原价×折扣、利润率=利润/进价。 2. 盈利：售价＞进价；亏损：售价＜进价；不盈不亏：售价=进价。 3. 常设进价、标价为未知数，根据盈亏金额列方程。 4. 多商品买卖问题，分别计算盈亏，最后合计判断总盈亏。 9．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．某种商品按照的利润定价，然后又按九折出售，结果赚了32元，该商品的定价是______． 11．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 12．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型4 比赛积分 (一元一次方程的应用) 解题技巧（固定积分、场次拆分、总分求和） 1. 拆分总场次：胜场+平场+负场=总比赛场次。 2. 积分规则固定：胜、平、负对应固定分值，不混淆积分标准。 3. 等量关系：胜场总分+平场总分-扣分=最终总积分。 4. 结果必须为非负整数，求出解后检验实际合理性。 13．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 14．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 15．为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 16．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 题型5 方案选择 (一元一次方程的应用) 解题技巧（求分界值、分段对比、择优选择） 1. 先设未知量，分别列出两种或多种方案的费用表达式。 2. 令两方案费用相等，求出分界临界点数值。 3. 分区间讨论：大于、小于、等于临界值，判断最优方案。 4. 结合题目取值范围（整数、正数），确定最终选择。 17．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 18．某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 19．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 20．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 题型6 数字问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（位值原理、拆分数字、整体代换） 1. 两位数表示：十位数字×10+个位数字；三位数同理百位×100。 2. 常设较小数位数字为x，用x表示其他数位。 3. 翻转数字、数字和差、倍数问题，根据数值关系列方程。 4. 数位数字取值0-9，首位不能为0，结果需符合数位规则。 21．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 22．在数学小组探究活动中，小月请同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作．小月就能说出同学最初想的那个数，如果小红想了一个数，并告诉小月操作后的结果是3，那么小红所想的数是_______． 23．阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 24．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②的“友好数”为______． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数x（且），设x的“友好数”为，的倒数为，的“友好数”为，的倒数为……；依次按如上的操作，得到一组数，，，，……，．当时，求的值． 题型7 几何问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（套用公式、设边长未知、利用不变量） 1. 熟记周长、面积公式，根据图形特征列等量关系。 2. 常见不变量：图形拼接、裁剪、平移前后周长或面积不变。 3. 设边长、宽、高为未知数，代入公式构建方程。 4. 角度问题利用直角、平角、三角形内角和180°列等式。 25．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 26．如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 27．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          28．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 题型8 动点问题（一元一次方程的应用） 解题技巧（以静制动、分段讨论、路程建模） 1. 设运动时间为x秒，用速度×时间表示动点运动路程。 2. 根据相遇、追及、距离定值、周长遍历等场景找等量。 3. 动点往返、分段运动，按时间段拆分讨论，避免漏解。 4. 结合图形边长、轨道总长，限定时间取值范围。 29．如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 30．如图，在长方形中，厘米，厘米．两动点、同时从点出发，沿长方形的边按如图所示的方向，分别以厘米/秒的速度匀速绕行，当运动一周回到点位置时，两动点同时停止．则运动时间为______秒时，、两点的连线恰好平分长方形的面积． 31．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 32．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 题型9 和差倍分问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓关键词、直译列式、标准建模） 1. 关键词翻译：和→加、差→减、倍→乘、分→除、多/少→加减。 2. 常设标准量、一倍量为x，其余量用含x式子表示。 3. 核心等量：大数±小数=差值、各部分和=总量。 4. 题型简单但易错，杜绝倍数、多少关系翻译颠倒。 33．某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 34．仓库大米比面粉多，当大米和面粉都减少5吨后，面粉比大米少，问：仓库原来大米有_______吨． 35．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 36．魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 题型10 电费和水费问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（分段计费、分界定量、逐段累加） 1. 此类问题均为分段收费，不同用量对应不同单价。 2. 先判断用量是否超过分段临界值，再设未知数列方程。 3. 总费用=基础段费用+超额段费用，分段累加求和。 4. 已知总费用反求用量，逆向分段计算，精准定位区间。 37．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准：某户去年一年的电费是1834元，则该户去年一年的用电量是（   ） 计费档 户年用电量 单价/[元/] 第一档 第二档 第三档 A．2800 B．3400 C．4400 D．5200 38．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 39．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 40．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型11 行程问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（三类模型、固定等量、画图辅助） 1. 相遇问题：两者路程和=总距离。 2. 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离差。 3. 航行问题：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速。 4. 画图梳理运动轨迹，杜绝路程关系混淆。 41．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 42．已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 43．某人骑自行车从甲地到乙地，他从甲地出发，用分钟走完全程的，然后加快速度，每分钟比原来多行了米，又走了分钟后，离乙地还有千米．甲、乙两地相距多少千米？ 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 题型12 比例分配 (一元一次方程的应用) 解题技巧（设比例系数、按份分配、总和定值） 1. 已知比例a:b:c，直接设每份为x，各量表示为ax、bx、cx。 2. 核心等量：所有分量相加=总量。 3. 求出每份x后，再分别求出各部分具体数值。 4. 适用于人数、物资、角度、长度各类分配场景。 45．如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 46．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，今年5月，铜梁区在“原乡中央公园”开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、30元和10元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______． 47．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 48．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 题型13 日历问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（掌握日历规律、统一设元、求和建模） 1. 日历规律：左右相邻差1，上下相邻差7。 2. 常设中间数、第一个数为x，其余数用x±1、x±7表示。 3. 根据数字和、倍数关系列方程求解。 4. 结果必须符合日历日期范围（1-31整数），舍去不合理解。 49．如图是年月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为、、、、），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A． B． C． D． 50．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 51．下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 题型14 古代问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（古文翻译、剥离场景、转化常规题型） 1. 先翻译古文题意，剥离文字包装，还原基础题型（和差倍分、分配、盈亏）。 2. 找准等量关系，摒弃晦涩文言，转化为普通方程应用题。 3. 按标准设元、列方程、求解、检验步骤完成。 4. 重点在审题翻译，数学模型与现代基础题型完全一致。 53．《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 54．路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 55．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 56．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 题型15 其他问题 (一元一次方程的应用) 解题技巧（抓不变量、通用六步、灵活建模） 1. 通用解题逻辑：审题→找不变量→设元→列方程→求解→检验。 2. 常见场景：人数调动、物资转移、平均变化、统计类问题。 3. 始终抓住“变化前后相等、总量不变、平均等量”核心关系。 4. 无固定模型时，直译文字关系，构建等式即可解题。 57．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 58．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 59．推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 60．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过实验，将有关信息记录在表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 __________ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 __________ 解决问题 (1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示； (2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 (3)借助以上相关数据，若天平左边有10个乒乓球和2个一次性纸杯，天平右边有1个10克的砝码和若干个一次性纸杯，那么天平右边需要几个纸杯能使天平平衡？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $