函数的单调性专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性的概念理解与综合应用，通过分层题型构建从定义辨析到性质应用的逻辑训练体系，培养数学推理能力与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|4题（单选1/6/8、多选9）|单调区间判断、单调性概念辨析|从函数图象与定义出发，理解单调性的直观特征与数学表达| |性质应用|8题（单选2-5/7、多选10-11、填空12-14）|参数范围求解、最值问题、不等式恒成立|结合分段函数、复合函数等载体，深化单调性在函数性质中的应用| |证明与综合|5题（解答15-19）|定义法证明单调性、图象分析、综合应用|通过定义证明与图象结合，构建单调性与函数值域、不等式的逻辑关联|

函数的单调性 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递减； 当时，， 要使得函数是上的减函数， 需满足，解得， 则的取值范围是， 故选：A 3．设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 所以， 故选：B. 4．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 5．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 6．函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得或，函数的定义域为， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：. 7．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分离常数法结合函数的单调性求，结合，计算即可． 【详解】关于的不等式在上有解， ， ， ， 令，， 且，有： ， ，， ， ，在单调递增， 当时，， ，即小于等于 ． 故选：C 8．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性 【答案】C 【详解】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确. 故选C. 要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A、B选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！ 二、多选题 9．下列命题中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 【答案】AD 【分析】根据二次函数的单调性判断A，根据特值判断B，根据函数定义域判断C，根据函数的单调性及同向不等式的性质判断D. 【详解】因为函数的对称轴为，开口向下，故函数在上单调递减，A正确； 函数在上单调递增，但在上不单调递增，例如，，但，故B错误； 函数要有意义，则，解得，即函数定义域为，故在上单调递增错误，故C错误； 是定义在上的减函数，若中，则，又， 所以，所以，故D正确. 故选：AD 10．已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据二次函数和一次函数的性质，结合最值的定义、单调递减函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD 11．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为， 因为函数是上的增函数， 所以，解得. 所以实数的取值可以是，. 故选：BC. 三、填空题 12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 13．函数的单调递减区间为______. 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 14．若函数在上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对表示与中的较小者，记为，画函数的图象，并求函数的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． 【答案】(1) (2)的图象如下： ，的单调递增区间为和；单调递减区间为和，值域为. 【分析】（1）根据解析式直接作出解析式即可； （2）根据的定义可得解析式和图象，结合图象可得单调区间和值域. 【详解】（1）略 （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下： 由图象可知：的单调递增区间为和；单调递减区间为和，值域为. 16．已知函数满足，函数． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递减； (3)求在上的值域． 【答案】(1)； (2) 由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）由配凑法即可得解； （2）先由（1）得到函数的解析式，再任取，作差计算得到即可证明； （3）先由（2）得到函数在上单调递减，求出其最值即可得解. 【详解】（1）由题可得， 所以的解析式为. （2）略 （3）由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 17． 设函数 (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)函数在上的单调递减,证明见解析； (2) 【分析】（1）利用单调性的定义即可； （2）根据函数的单调性求出值域. 【详解】（1）函数在上的单调递减，证明如下： ，且，则 ， 因为， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 所以函数在上的单调递减. （2）由（1）知函数在上的单调递减， 所以 所以在区间上的值域为. 18．已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)   (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）由二次函数的性质作出图象即可； （2）由二次函数的性质得到分段函数的单调区间即可； （3）由分段函数的单调性和图象可得； 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 19．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. (2)设，解不等式：. 【答案】(1) 因为函数， 任取，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在上单调递减. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义结合作差法分析证明即可； （2）根据函数单调性可得，解二次不等式即可. 【详解】（1）略 （2）因为，则， 又因为在上单调递减，且， 则，解得， 所以的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的单调性 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 5．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 6．函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 7．设，若关于的不等式在上有解，则（   ） A． B． C． D． 8．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是(　　)　　 A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上没有单调性 二、多选题 9．下列命题中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上是增函数 C．函数在上单调递增 D．已知是定义在上的减函数，若，则 10．已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 11．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________. 13．函数的单调递减区间为______. 14．若函数在上单调递减，则的取值范围是______． 四、解答题 15．已知函数． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对表示与中的较小者，记为，画函数的图象，并求函数的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． 16．已知函数满足，函数． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递减； (3)求在上的值域． 17． 设函数 (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)求在区间上的值域. 18．已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 19．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. (2)设，解不等式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $