7.3平行线的证明 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平行线的证明，系统呈现平行线性质定理（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）的证明过程，通过回顾判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补→两直线平行），以“两直线平行时角的关系”设问搭建知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以合作探究为核心，通过假设法证明同位角相等培养推理能力，对比性质与判定的互逆关系渗透数学思维，典例精析结合梯形角度计算等实例，归纳证明步骤（画图、写已知求证等）助力学生形成逻辑表达习惯。教师可提升教学效率，学生能深化几何证明理解。

7.3平行线的证明 第七章 证明 北师大版（2024） 1 素养目标 1.掌握平行线的性质定理，熟练完成“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程，逐步提升演绎推理能力； 重点 难点 2.深入理解平行线性质定理与判定定理之间的内在联系，深度感受互逆思维在几何证明中的应用，培养灵活转换思维的能力. 2 平行线的判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们. 3 合作探究 已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 【合作探究】 1.定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 合作探究 试证明： 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3截出的内错角. 求证：∠1=∠2. l3 l2 l1 【合作探究】 2.定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 合作探究 已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 证明：∵ l1∥l2（已知）. ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠2=∠3对顶角相等）. ∴∠1=∠2（等量代换）. 【合作探究】 2.定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 合作探究 议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ （1）理解题意； （2）根据题意正确画出图形； （3）根据题意写出“已知”和“求证”； （4）分析题意，探索证明的思路； （5）依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言，有条理、清晰地写出证明过程； （6）检查表达过程是否正确、完善. 【合作探究】 议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同伴进行交流. （1）理解题意； （2）根据题意正确画出图形； （3）根据题意写出“已知”和“求证”； （4）分析题意，探索证明的思路； （5）依据寻求的思路，运用数学符号和数学语音，有条理、清晰地写出证明过程； （6）检查表达过程是否正确、完善. 设计意图：引导学生回顾证明过程，梳理证明活动中的经验，以提升学生的证明能力. 典例精析 例 已知：如图，直线b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 证明：∵ a∥b（已知）. ∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵ c∥a（已知）. ∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. 得到定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【典例精析】 得到定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 类似地，还可以证明： 例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：因为梯形上、下底互相平行， 所以∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补. 即梯形的另外两个角分别是 80°，65°. 所以∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°， ∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°. A B C D 典例分析 例2.如图所示，已知∠OEB=130°，OF平分∠EOD，∠FOD=25°，AB∥CD吗？试说明. A E B C O D F 解：AB∥CD. 证明：∵OF平分∠EOD，∠FOD=25°(已知)， ∴∠EOD=2∠FOD=50°(角平分线的性质). ∵∠OEB=130°(已知)， ∴∠EOD+∠OEB=180°. ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 学以致用 1.如图，能判定EB∥AC的条件是(　　) A.∠C＝∠ABE 　　　　 B.∠A＝∠EBD C.∠C＝∠ABC 　　　　 D.∠A＝∠ABE D 2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b，则∠2等 于(　　) A.75° B.95° C.105° D.115° a b 1 2 C 归纳总结 一般地，我们有如下的定理： 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 应用格式： ∵b∥a，c∥a(已知)， ∴b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行). a b d c 17 【思考】完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 命题证明的步骤： (1) 根据题意，画出图形； (2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程. 18 典例分析 例2.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D. 求证：BD平分∠ABC. A B C D 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠DBC=∠D(两直线平行，内错角相等). 又∵∠ABD=∠D(已知)， ∴∠DBC=∠ABD(等量代换)， ∴BD平分∠ABC(角平分线的定义). 典例分析 例3.如图，已知DE∥BC，CD平分∠ACB，∠AED=80°， 求∠EDC的度数. A E D C B   如图所示，∠1 = 75°，要使 a∥b，则∠2 等于( ) A. 75° B. 95° C. 105° D. 115° a b 1 2 【解析】∠1 的同位角与∠2 互为补角，所以∠2 = 180° - 75° = 105°. C 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件 ____________________，则 a∥b. 2 1 3 a b c ∠2 = 150° 或∠3 = 30° 如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出　 ∥ ， 理由是 . (2) 从∠ABC +∠ = 180°，可以推出 AB∥CD，理由是 . A B C D 1 2 3 4 5 AB 内错角相等，两直线平行 CD BCD 同旁内角互补，两直线平行 (3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出 AD∥BC， 理由是 . (4) 从∠5 =∠ ，可以推出 AB∥CD， 理由是 . 3 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行 A B C D 1 2 3 4 5 $